Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений (2004), страница 4

Проверьте, имеет ли однородная СЛАУ следующие частные решения: 1) х1 = — б, хг = -2, хз = — 10; 2) хз = 9, хг = 3, хз = 15, Используя результат этой проверки, запишите ФСР, 2. Решите СЛАУ: 2хз — ха+ 8хз — 8хз = О, г) хг — Зхг + 4хз Ох4 = О, .4х1+ Зхг+ хз = О 3. Докажите, что плоскости Р1 . х + г = О, Рг .

а + 9 + 2з = О, Рз . х — 29 — з = О пересекаются по общей прямой. Проходит ли эта прямая через начало координат? Напишите ее параметрические уравнения, 4.1. Решение неоднородных СЛАУ методом элементарных преобразований Рассмотрим теперь неоднородную СЛАУ: или в матричной форме АХ = В, матрица системы (основная), вектор неизвестных и вектор правых частей соответственно. Расширенная матрица системы (4,1) имеет вид: ь Ьз а а ...

а 11 зз зв аш а аз ... аз а~1 абаз " ата ~та В соответствии с теоремами з 1.2, при решении неоднородной СЛАУ (4.1) возникают следующие варианты. — Ранг расширенной матрицы равен рангу основной и равен числу неизвестных: т'=г =ц. В этом случае система совместна и имеет единственное решение. — Ранг расширенной матрицы равен рангу основной и меньше числа неизвестных: г'= г <аь В этом случае система совместна и имеет бесконечное множество решений. — Ранг расширенной матрицы больше ранга основной: г' > г. В этом случае система несовместна, т, е. не имеет решений. Отметим, что подобно случаю однородной СЛАУ, при элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы неоднородной СЛАУ получается матрица, соответствующая эквивалентной системе. Сформулируем метод решения неоднородной СЛАУ (4,1) с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса) и продемонстрируем его действие на примерах.

1. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду методом элементарных преобразований. При этом основная матрица системы также преобразуется к ступенчатому виду, так как она образована первыми п столбцами расширенной матрицы. 2. Найдем ранги расширенной г' и основной т матриц системы и сравнив их, сделаем вывод о совместности или несовместности системы. 3, Если система совместна (г' = г), сравним ранг т с числом неизвестных п и выясним, имеет система единственное решение или бесконечное множество решений. 4, В случае бесконечного множества, решений выберем базисный минор ступенчатой матрицы, разделив тем самым базисные и свободные неизвестные; отбросив нулевые строки в ступенчатой расширенной матри- це, выпишем соответствующую ей систему и разрешим эту систему относительно базисных неизвестных; запишем общее решение, т.

е, столбец неизвестных, в котором вместо базисных неизвестных подставлены их выражения че- рез свободные. 5. В случае единственного решения выпишем систему, соответствующую ступенчатой расширен- ной матрице (предварительно отбросив нулевые строки этой матрицы); решим эту систему методом подстановки. — О, — — 1, 3. хз+хз 2хз — хз -хз + Зхз + бхз (4.3) Решение. Выпишем и приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: О -1 11 — 21 3 П1+1 1 О 1 А'= 2 — 1 О -1 3 5 Пример 4.1. Найти общее решение системы линейных неодно) родных уравнений 30 получим о о о з б о — 1 З П1+ ЗП < х1 —— -С, хз = 1 — 2С. о о о о о о 1О1Π— -и- О 121 о оооо .4- О 12 с х|+ха = О, ха+ 2хз = 1.

Хоо = Хоо+Хоо хз = С, 33 32 Очевидно, что ранг расширенной матрицы т' = 2. Заметим од- Ф пако, что приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду, мы, тем самым, привели к ступенчатому виду также и основную матрицу системы: Ранг основной матрицы т = 2, Итак, мы пришли к следующему: ( т = т, следовательно, система совместна (имеет решение); число неизвестных и = 3, поэтому т < и, следовательно, систе- ма имеет бесконечное множество решений.

Число базисных неизвестных т = 2, Число свободных и-т = 1, В качестве базисного минора возьмем наиболее удобный минор порядка т, расположенный в левом верхнем углу ступенчатой ма- трицы: Соответственно, наши базисные неизвестные — хм ха, а свободное — хз. Запишем систему, соответствующую ступенчатой матрице: Выразив из этой системы базисные неизвестные через свободное и введя обозначение Запишем, наконец, общее решение системы в векторной форме: Х = 1 — 2С = 1 +С 2, (4.4) где Се Й. Обратим внимание на структуру полученного решения, Система (4.3) отличается от однородной системы (3,3) толька тем, что вектор правых частей не нулевой. С другой стороны, решение (4.4) представляет собой сумму некоторого числового вектора и общего решения (3.5) однородной системы (3,3), Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что числовой вектор является частным решением неоднородной системы (4.3), Таким образом, общее решение неоднородной системы (4,3) складывается из частного решения этой системы Хаа и общего решения Х„соагвввтшлвуюшвй ей однородной системы (З.З).

Общее решение неоднородной системы всегда имеет такую структуру. Теорема 4.1. Общее решенин системы линейных неоднородных уравнений представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей системы линейных однородных уравнений; в систему (4,3), получаем 0 = О, -1 = -1, 3 = 3. х1 — хз — 5х4 2х1 — Зхз + 4хз — 7х4 х1 — 2х2 + Зхз — ЗХ4 — 2, (4.5) -5 ) 1 0 — 1 -5 А'= 2 — 3 4 -7 1 -2 3 -3 2 — 5 П вЂ” 21 -4 П1 — 1 Х1= -2 — 1 -5 2 6 3 — а 4 2 -6 31П вЂ” 2П 0 -3 1 0 0 -3 0 0 -а П!(-3)- Π— 1 -5 6 3 0 Π— 1+1 = О, -2+2 = О, 1 — б+5 = О, 34 Замечание 4,1. При проверке правильности решения неодио родной системы не следует подставлять решение Х„в систему целиком, Это приведет к слишком громоздким выкладкам, Достаточно проверить, что Х„„удовлетворяет неоднородной системе, а векторы фундаментальной системы решений, из которых складывается Х„, удовлетворяют соответствующей однородной системе, В качестве примера приведем проверку полученного выше е решения.

Проверка к примеру 4.1, Убедимся в том, чта вектор (4,4) является решением системы (4,3). Подставляя вектор Таким образом„этот вектор действительно является частным решением неоднородной системы (4.3). Подставляя далее вектор в однородну1о систему (3.3), получаем т. е. ФСР удовлетворяет однородной системе, Следовательно, вектор (4.4) — есть решение системы (4.3).

Замечание 42. В отличие от множества решений однородной СЛАУ множество решений неоднородной СЛАУ не является линейным пространством. Действительно, покажем, например, чта это множество не замкнуто относительно операции сложения. Пусть векторы Х1 и Хз — решения системы (42), а вектор Х вЂ” сумма этих решений, Тогда .4Х = А(Х1 + Х2) = 4Х1+ 4Х2 = В + В = 2В. Равенство 2В = В, очевидно, может выполняться только в том случае, если В = О, т. е, если СЛАУ однородная, Заметим, тем не менее, что множество решений неоднородной СЛАУ вЂ” это подмножество В", Действительно, любое решение неоднородной СЛАУ есть и-компонентный числовой вектор (см, напр, (4.4)). Пример 4.2, Найти общее решение системы линейных неоднородных уравнений Решение.

Расширенная матрица системы Ранграсширешюй матрицы г' = г = 2, следовательно, решение существуст, Число неизвестных и = 4, т, е, т < и, значит, решений бесконечное мноакество, Базисных неизвестных г = 2, свободных н — г = 2. Базисный минор Соотвстственаао, базисные неизвестные — ха, хз, свободные— ха~ хл Ступенчатой матрице соответствует система с ха — хз — 5хл = 2, ха — 2хз — хл = 3, Выразив базисные неизвестные через свободные и введя замену хз — Са хл — Сз получим." ха = 2+Са+бсз, З+2С +С„.

Таким образом, общее решение имеет вид: илн 2+ Са+ 5сз 3 + 2са + Сз Са Сз 2 з гс, О + С 0 5Сз Сз 0 Сз Проведем анализ структуры полученного решения. Решение складывается из частного решения неоднородной системы (4.5) 2 3 Х„„= О О н общего решения соответствующей ей однородной системьа, по- лученной из системы (4.5) путем обращения в нуль правых частей всех уравнений, Пример 4,3. Найти общее решение системы линейных неоднородных уравнений ха — 4хз+ Зхз+ 2хл ха — бхз+ 2хз+ 7хл 2ха — бхз+ 7хз+ Зхл ха — 2хз + 4хз — Зхл (4.6) Решение.

Выпишем, как обычно, расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: П вЂ” 1 П1 — 21 1аг — 1 1 2 Х„= Са О 1 — 4 3 2 1 -6 2 7 2 -6 7 3 1 — 2 4 — 3 1 -1 10 6 5 1 О 1 где Са, Сз б д 2 1 3 2 О а 1 0 0 5 1 + Сз 1 1 — 4 3 0 — 2 — 1 0 2 1 0 2 1 2 5 — 1 -б 1 1 -4 3 2 -2 0 -2 -1 5 8 П1+П 0 О О 4 5 1Ч+П 0 0 О 0 1 -2 б 3 Ранг расширенной матрицы т' = 4.

Ранг основной т = 3, Таким образом, т' > т, следовательно, на основании теоремы Кроиекера — Капелли система несовместна, т, е, не имеет решений, В этом легко убедиться и не используя теорему Кронекера— Капелли. Действительно, выпишем, как обычно, систему, соответствующую ступенчатой матрице: 2 О 3 4 — 1 0 О 1 б 17+ 61П 0 О 0 — 1 ) — 2 ) — 6, — 3, Последнее уравнение этой системы, очевидно, не может быль удовлетворено пи при каких значениях неизвестных хы хя, хз, ха, Это говорит о том, что одно из уравнений исходной системы (4,6) противоречит трем другим, подобно тому как это было в простейшем примере (1.2). Пример 4.4.

Найти общее решение системы линейных неоднородных уравнений х1+2хя+Зхз = 2) Зхя+ 4хз = 2, хз (4.8) 1 1 хя = -(2 — 4хз) = -(2+ 4) = 2. 3 3 (4,7) Решение, Расширенная матрица системы ний; 1 А О 2 -1 2 3 2 3 4 2 4 9 1 1П вЂ” 21 1 -5 6 1Ч+1 х х) = 1, хя = 2, хз 1 2 3 0 3 4 0 О 3 0 3 — 2 2 2 -3 П1/3 8 1Ч вЂ” П 38 хт — 4хя + Зхз + 2х~ -2хя — хз + бха -4х4 0 хз + 2хя + Зхз Зтя+ 4хз 2х| + 4хя + Охз -х|+ хя — 5хз — 2, — 2, — 1) — б.

1 2 3 0 3 4 О 0 1 ΠΠ— 6 Ранг расширенной матрицы т' = т = 3, следовательно система совместна, Ранг т = и = 3, нз чего следует, что система имеет единственное решение. Исходная система четырех уравнений с тремя неизвестными сводится к системе трех линейно независимых уравнений с тремя неизвестными: Решим эту систему методом подстановки. Подставляя значение хз — — — 1 во второе уравнение системы, получим,' Подставляя теперь значения хя и тз в первое уравнение, найдем: х| = 2 — 2хя — Зхз = 2 — 4 + 3 = 1.

Таким образом, мы получили решение исходной системы уравне- В векторной форме оно имеет вид: как этот минор нулевой; Пример 4.5. Найти общее решение системы линейных неоднородных уравнений 5 2 1 О 0 2 О О О бх~ + 2хз+ хз+ бха 10хг + 4хз + Зхз + 7ха бхг + 2хз + 4хз + 4хе -бх1 — 2тз+ 5хз — 9ха 3! 12, 6, 3. 2 1 5 0 2 -1 ФО, 0 0 1 Решение, Расширенная матрица системы 5 2 1 5 3 10 4 8 7 12 П вЂ” 21 5 2 4 4 6 П1 — 1 — 5 — 2 5 — 9 3 1Ч+1 5 2 1 5 0 0 6 — 3 О О 3 -1 О О б — 4 бх1+ 2хз+ ха +бхя = 3~ 2хз — ха = 2, х4 = О.