Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений (2004)

В МОСКОВСКИИ ГОСУДАРС1ВВННЫВ ТБХНИЧВСКНЯ УННВВРСИтвт ии Н Э БАУМАНА А.В, Гласко, И.Л. Покровский, В.В, Станцо СИСТБМЫ ЛИНБЙНЫХ АЛГББРАИЧБСКИХ УРАВНБНИЙ ,у ~ и фр ф.~ я / ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока Внаййа» М ярд~а Ф ( ~ай ! Ме>поди ческие указания к выполнелию типового рае <ета , ~ииоснии ~4: ~:и Москва Издательство МГТУ им. Н.Э, Б$умана 2004 ь ',Наин~и' УДК 512,8 ББК 22.143 Г52 РецеизентВ,С !?оиое 1ЗВ?ч 5-7033-2543-1 < 2х1+хг = О, х1 — хг = 2 УДК 512.8 ВБК 22Л43 Агщрей Владленовнч Глвско Илья Леонидович Покровский Виталий Влядимироинч Станцо Редактор ?!.Г. Кое!а!ееекая Корректор Л.И,Малнллнна Компьютерная верстка Л.И. ?оеегаонаг !БВ!4 5-7038-2543-1 Главке А.В., Покровский ИЛч Ствнцо В.В, Г52 Системы линейных алгебраических уравнений: Методические указания к выполнению тнповщо расчета.

— М з Изд-во МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 2004. -боса ил, Приведены краткие теоретические сведения о системах линейных алгебраических уравнений. Описаны метод Крамера н матричный метод решения квадратных СЛАУ, Изложен метод решения однородных н неоднородных СЛАУ с помощью элементарных преобразований, Проведен анализ множества решений однородной СЛАУ и терминах линейного пространства. Даны упражнения для самоогоягельиой работы н варианты заданий типового расчета,атакмс примеры. Для студентов 1-го курса всех факультетов. Могут быть полезны ореподаввтеяям при проведении семинаров. Бнблногр. 3 паза, СИСТЕМЫ ЛИНБйНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕ1!Ий Уетадюгеекне указааня Подписано в печать 16.06.2004.

Формат бок И4?16, Бумаг» ойюегная, Печ. л. 3,75. Уел. печ, л. 3,49, Уч.-изд. л. 3,25. Тираж 300 зкз. Изд. № 23. Заказ !6,' Изхпеяьство МГТУ иль Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5 (с? МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004 1. ОБЩИК СВКДКНИЯ О СИСТКМАХ ЛИНКЙНЫХ АЛГКБРАИЧКСКИХ УРАВНКНИЙ 1.1, Основные понятия Из школьного курса вы знаете, что такое системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, — система двух уравнений с двумя неизвестными х1, хг. Нетрудно проверить, что ее решение х! = 1, тг = -2, Однако в школе изучаются только такие системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных.

Б общем случае система линейных алгебраических уравнений имеет вид: ОПХ1+ атгХг+ ... + атиХ„= 61> аггх1+ оггхг+ ." + агох„= бг, Ппз1Х1+аиггХг+ „, + атпХи = (Гпз, Число уравнений гл в ней может быть как больше, так и меньше числа неизвестных и. Числа а; (з = 1,2, ..., т, з' = 1,2, ...,и) называются коэффициентами системы (1.1), числа Ье — правыми частями или свободными членами уравнений системы, а переменные хы хг, .„х„— неизвестными. Определение 1,1, Упорядоченный набор значений хы хг, ..., х„, который при подстановке в уравнения системы (1.1) обращает их в тождества, называется решением этой системы.

Пример 1А, Система уравнений — О, 3 < 2х1 + хг+ хз х1 — Хг — ХЗ (1,4) хз = 0 (проверьте!). Отме- много других решений (все ь х1 Ь2 Х х2 аы агг .. аш агз йгг ". аг ! < Х1+ Хг Х1+ Хг аш! атг „, а ьй, (1.2) (1,3) 1 -1 ац = 0 с ХЗ+ Х2 бх! + Зхг хз — хг = 0 имеетрешениехз = 1, хг = тнм„что зта система имеет бесконечно они в дальнейшем будут описаны). Пример 1.2. Система уравнений ю не имеет решений, так как пеРвое ее Уравнение явно про- тиворечит второму. Определение 1.2. Система (1,1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система пе имеет ни одного решения, то она называется несовместной, Заметим, что множество рошепий совместной СЛАУ с п неиз вестными есть некоторое подмногкество пространства П", Определение 1.3, Система (1.!) называется однородной, если правые части всех уравнений этой системы равны нулю (Ь; = О, 1= = 1,...,гй): аыхз+ аггйг+" + ашхй = О, й21х! + й22хг + "° + агйхй = 0~ й~шх1 + йпвгхг +," + йтвихп =' О, В противном случае, т.

е. если правая часть хотя бы одного нз уравнений отлична от нуля, система называется неоднородной, Пример 1.3. Система — неоднородная, так как правая часть последнего уравнения отлич- на от нуля. Систему линейных алгебраических уравнений (1.1) можно записать в матричной форме: Определенна 1.4.

Матрица А называется матрицей системы (1.1), вектор-столбец  — вектором правых частей (правой частью) этой системы, а вектор-столбец Х вЂ” вектором неизвестных. В противоположность матричной форме записи СЛАУ (1.4) форму записи (!. !) называют координатной. Чтобы убедиться в эквивалентности матричной и координатной форм записи системы, подставим в уравнение (1.4) матрицы А, Х н В. Умножая теперь матрицу А иа вектор Х и используя определение равенства матриц, получим систему (1,1), Пример 1.4.

Запишем систему из примера 1.3 в матричной форме, Матрица системы, вектор правых частей и вектор неизвестных в данном случае следующие: А= 1 -1, В О Х ™ Значит, в матричной форме записи система имеет вид Убедимся в этом. Перемножив матрицы левой части равенства (! .5), получим Приравннваятеперь со ь соответствующие элементы столбцов, придем к уравнениям исходной системы.

Как отмечалось выше (см. пример 1.1), система (1.1) может, вообще говоря, иметь е ть бесконечное множество решений. В этом случае задача решения сис системы состоит в отыскании множества всех ое решений, не 1.5, Множество всех решений системы (1.1) нн- Определенне зывается о щим реше б ешением этой системы. Элементы этого множества, чтобы отличать ать их от общего решения, называются частншмзк решениями. Если система име еет единственное решение, то оно является общим ршленнем сн м системы, Если система несовместна, то общее решение — пустое множество.

Определение ., в 1.6, Две системы пазывиотся эквивалентиыьык, или равносильными, если нх общие решения совпадшот. Например. система и Н, стема из примера 1.1 очевидно, эквивалентна системе с 2хт+ ха+ хз = О Зхз — Зхз — Зхз 4х~ + 2хз + 2хз = О, полученпо з нз нее умп Г умноженном обеих частей второго уравнения па 3 н присоединением ~иом 3-го уравнения полученного домножепнмм обеих частей первого уравнения на 2, 1.2, Теорема Кронекера — Капелли Исследуем вопрос о совместности СЛЛУ (, ).

1,! ). Определенна 1,7. Расширенной матрицсй системы (1.1) называется матрица ад а~з .„аьп азз азз " азп апн ип,з " а пп Матрицу системы аы азз .. аьп азт азз ° азп ата1 атпз ., а~п называют основной матрицей, чтобы отличать от расширенной. Теорема 1.1, (Теорема Кронекера — Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (1,1) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее расширенной матрицы т' равен рангу основной т =т.

/ Замечание 1.1. Зная определение ранга, нетрудно видеть, что ранг расширенной матрицы не может быть меньше ранга основной: т'>т (более точно он может быть либо равен рангу основной матрицы (т' = т), либо быть больше ного на единицу (т' = т + 1)). Поэтому теорема Кронекера — Капелли означает, что если т' = т, то система совместна, если ясе т' > т (т,е. т' = т+ 1), то система несовместна.

Замечание 1.2, Легко видеть также, что в случае однородной системы ранг расширенной матрицы всегда равен рангу основной, поэтому однородная система всегда имеет хотя бы одно решение, В этом можно убедиться и непосредственно: очевидно, что однородная СЛАУ (1,3) всегда имеет нулевое решение называемое тривиальным решением, Действительно, какими бы ни были коэффициенты ау системы (1,3), подставляя вместо неизвестных х нули в уравнения системы, мы получаем тождества.

т=п, неизвестных, < 2х1+ хг — -хз~ х1 — хг = 3+ хз аых1 +а1гхг + ... + а1„х„ гзх! + аггхг+ ., + агах„ (2.1) х1= 1, хг= — 2 — хз, аг' г+ "'+ аааха = ба. Определение 1.в. Пусть система (1, !) совместна, Тогда рангом системы( . ) назовем р (!.1) зовем ранг ее основной (и, следовательно, расширенной) матрицы. Теорема .. ели р 1.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных: то эта система имеет едт е единственное решение. Если же ее ранг меньше числа неизвестных: г<п, то опа имеет бесконечное мноя!ество решений.

Замечание 1.З. Легко видеть, что третий вариант исключен; ранг системы не мож может быть больше числа неизвестных. 1.3. Базисные и свободные неизвестные Для отыскания о щ г общего решения системы, имеющей бесконечное множество решени, н ений, необходимо ввести понятия базисных и свободных неизвестных, Определение ., в 1.9, Свободиымп неизвестными совместной СЛАУ аются те неизвестные, которым можно придать лю- АУ называют я быс наперед заданные зна зые значения так, чтобы после этого значения оставшихся неизвестных о ° . х опредолялись однозначно.