Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений (2004), страница 3

Обратим внимание на структуру решения (3.8). Оно представляет собой линейную комбинацию двух линейно независимых частных решений системы (3.6), коэффициентами которой служат свободные неизвестные; Х =" С1Х1 + С2Х2 где 1 2 1 0 ,Х2= 0 1 (3.9) Х = С1Х1 + С2Л2 + " + С,Х„„, (3.10) где п — число неизвестных; г — ранг системы. В том, что векторы Х1 н Хз являются решениями системы (3,6), можно убедиться непосредственной подстановкой их в систему (см. ниже). Нетрудно также доказать их линейную независимость, В общем случае справедлива следующая теорема, Теорема 3,1. Общее решение системы линейных однородных уравнений представляет собой линейную комбинацию и — г линейно независимых решений этой системы, коэффициентами которой служат свободные неизвестные: 2х! — ха+ бхз 2х! + хз + 2хз Ззч — хз+ 8хз -т1+ 2хз — О, О, О, О, 2 — 1 5 2 1 2 3 -1 8 -1 О 2 2 -1 5 О 2 — 3 О 1 1 0 -1 9 П вЂ” 1 2Ш вЂ” 31 2%+1 2Ш вЂ” П 21Ч+ П 2 — 1 5 О 2 — 3 0 0 5 0 0 15 2 — 1 5 0 2 — 3 0 0 5 1У вЂ” 3П1 О 0 0 1 — 1=0, 2 — 2=0, 1 — 1=0, 3 — 3 = О.

2 — 2 4 — 1 — 3 2 — 1 — 1 5 †1 в О, О, О, О. 22 Определение ЗД. Совокупность и — т линейно независимых частных решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой системы уравнений. В примере 3,2 фундаментальная система решений состоит из векторов (3.9). В примере 3.1 ФСР исчерпывается единственным вектором Используя понятие ФСР, теорему 3, ! ма>кно переформулировать следующим образам; общее решение однородной СЛАУ— есть линейная комбинация решений фундаментальной системы Хы Хз,, Х„„са свободными неизвестными в качестве коэффициентов.

Замечание З.З, При выполнении проверки правильности нахождения общего решения нецелесообразно подставлять в систему общее решение целиком, Гораздо проще проверить, являются ян элементы ФСР решениями системы, В качестве примера проведем проверку решения (3.8). Проверив, (к примеру 3,2). Подставляя вектор Х! из (3,9) а систему (З,б), имеем Таким образом, вектор Л1 удовлетворяет системе (3.6), Подставив в систему (З.б) вектор Хз из (3.9), получим; Мы видим, что и Хз удовлетворяет системе.

Следовательно, линейная комбинация (3.8) векторов Х1 и Хз также удовлетворяет системе (3,6) прн шобых Сз и Сз и является ее решением. Замечание 3,4, Фундаментальная система решений определена неоднозначно. Поэтому, решая одну и ту же однородную СЛАУ, два разных человека могут получить два совершенно различных по виду (но тем не менее верных!) ответа, Пример З.З. Найти общее решение системы линейных однородных уравнений Решение, Выпишем, как обычно, матрицу системы н приведем ее к ступенчатому виду.

2 -1 5 0 2 -3 О 0 1 О 0 0 В данном случае ранг т = 3, на а то же время и число неизвестных и = 3. Таким образам, т = и, а следовательно, система имеет единственное решение; хз = 2СЫ х4 = ЗС». (3.1 1) При зтом система примет вид Решение. Матрица системь| < х1 = -х» — ЗСП х» = — 4С1+ С», Е х| = С1 — С», х» = -4С1+ С», нли в окончательной форме 2х1+2х»+Зхз = О, Зх» + бхз — х4 = О.

< Хз = — Х» — »ХЗ, з х2 = 2хз + зх4 А(ЛХ) =ЛАХ=Л О=о. 25 Пример 3.4. Найти общее решение системы линейных однородных уравнений 2хз+2х»+Зхз = О, — Зх1 + и» + бхз Зх4 = 0) -2х1+ 4х»+ Охз — 2х4 = О. 2 2 3 0 2 2 3 0 ,4 = -3 1 6 — 3 П+ 41 О 0 13 -3 ПД -2 4 9 -2 1П+1 0 6 12 — 2 1П/2 0 3 6 -1 П1 — П 0 0 0 О В данном случае ранг г = 2, число неизвестных и = 4, Так как и > г, то система имеет бесконечное множество решений, Базисных неизвестных у системы г = 2, свободных п — т = 2, В качестве базисного минора удобно выбрать минор, образованный пересечением двух первых строк и двух первых столбцов: Этому минору соответствуют базисные неизвестные хм х», а неизвестные хз, х4 оказываются свободными, Система, соответствующая ступенчатой матрице, имеет вид Выразим из нее, как обычно, базисные неизвестные через свободные.

После очевидных преобразований имеем Обратим внимание, что в получившихся уравнениях имеются дроби, Чтобы избавиться от дробей и, тем самым, упростить дальнейшие выкладки, введем следующие обозначения: Исключив из первого уравнения базисное неизвестное х», получим; Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид С1 — С» -4С1 + С» 2С1 ЗС» 1 — 4 2 О 32.

Пространство решений однородной СЛАУ Из матричной формы записи однородной СЛАУ (3.2) легко видеть следующее. 1. Если вектор Х является решением данной системы, а Л— некоторое число, то вектор ЛХ также является решением системы. Действительно, 2. Если векторы Х1 и Хз являются решениями данной систе- мы, то их сумма Х = Хт + Хз — также решение этой системы, Действительно, АХ = А(Х1 + Хз) = АХ1 + АХз = 0 + 0 = О. Таким образом, множество решений однородной СЛАУ замкнуто относительно операций сложения и умнглкения на число, т, е, является линейным пространством, В соответствии с теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ общее решение представляет собой линейную комбинацию и — г линейно независимых частных решений (элементов ФСР) этой системы (3.10).

Поскольку общее решение есть множество всех решений однородной СЛАУ, то зто означает, что, выбирая в (3,10) ту или иную совокупность параметров Со можно получить любое частное решение системы. Другими словами, любое решение однородной СЛАУ может быть представлено в виде линейной комбинации векторов ФСР, Это значит, что фундаментальная система решений однородной СЛАУ есть базис линейного пространства ее решений, а размерность этого пространства равна п — г.

Таким образом, смысл теоремы 3.1 о структуре общего решения однородной СЛАУ заключается в том, что любой вектор простанства решений однородной СЛАУ можно разложить по базису этого пространства, причем координатами этого вектора являются свободные переменные Сь Естественно, что фундаментальная система решений не единственна.

Действительно, в любом линейном пространстве базис можно выбрать бесконечным числом способов. Сказанное позволяет сформулировать еще один метод решении однородной СЛАУ, основанный на построении общего решения по элементам ФСР (базиса пространства решений), Он отличается от вышеизложенного метода следующим. После разделения неизвестных на базисные н свободные и записи системы, соответствующей ступенчатой матрице («ступенчатой системы»), будем последовательно задавать наборы значений свободных неизвестных так, что 26 одно из них будет равно единице, а все остальные — нулю. Подставляя такие наборы в ступенчатую систему, получим соответствующие наборы значений базисных неизвестных и в результате найдем базисные векторы Хя (й = 1, 2, ..., п — г), Общее решение однородной СЛАУ запишем в виде Х = С Х1 + СзХз + ...

+ С„,Х„,, В качестве примера решим таким образом систему (З,б), Ступенчатая система в данном случае имеет вид (см. (3.7)); х1 -хз — 2хя = Р, ха+ хя = О, причем неизвестные х1 и хз — базисные„а неизвестные хз и х4— свободные. Положим сначала хз = 1, хя = О, Подставляя зти значения свободных неизвестных в ступенчатую систему, получим; Первый базисный вектор равен 1 1 Х1 = О 0 Положим теперь хз = О, хя = 1. Подставляя эти значения в ступенчатую систему, найдем: < х1 = 2, хз = — 1. Второй базисный вектор ранен 2 О Хз = 1 хг — хг — 2хз + Зх4 в) <х1 + 2хг — 4хя 2х1 + хг + 2хз — х4 о, — О, о; 1 О 0 г -1 О 1 4. НКОДНОРОДНЫЕ СЛАУ бм Ьг, аыхт+аггхг+ ..

+аз х„ аг1хг + аггхг + ... + аг„хв < х1+ 2хг — хз = О, 2хг + 9хг — Зхз = 0 а~гх1+ а~гхг+.„+ а1 „х„ (4.2) где 2хг+2хг+Зхз = хы а) 2х1+ 5хг+ бхз = хг, Зх1 + бхг + 10хз = хз; х1 51 Х хг бг В= аы агг .. аы аю агг ... аг„ аиз1 атг " амв хч О, О, — О, О; х1+ хг+ хз Зхг — хг+ 2хз х1 — 4хз — 2хг+ Зхг 28 Общее решение исходной однородной СЛАУ (14) запишем в виде Нетрудно видеть, что оно совпадает с решением (3,9), Отметим, что ФСР, полученнзл таким образом, т,е.

когда в каждом векторе ФСР одно из свободных неизвестных равно единице, а остальные — нулю, называется нормальной ФСР. Заметим, что множество решений однородной СЛАУ являетсл лодлросвранством В", Действительно, как уже было сказано в $ 1,), множество решений любой СЛАУ (в частности однородной) — это подмножество пространства )1". С другой стороны, как мы выяснили, множество решений однородной СЛАУ само по себе есть пространство. Упражнении для саностоянгельной рабовчм 1.