Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений (2004), страница 2

Эти оставшиеся неизвестные назовем базнснымп. Пример . (продоз 1.1 ( одолжение), Рассмотрим снова систему из примсра !.!, удем счит ' ° 'з .. Ь ° . ать х известным и решим систему относительно гц, хг, переписав ее в ниде Рсшсшю будет следующим (провсрьтс.). !) Таким образом в данном случае можно считать свободным не известным хз, а базисными — х1 и хг. Можно поступить и подругому, считая хг свободным неизвестным, а х1 и хз — базиснымн (проверьте!), Нельзя, однако, считать свободным неизвестным хи так как система не имеет решений„в которых х1 ф 1. Хотя разбиение неизвестных на базисные н свободные неоднозначно, их количество при любых способах разбиения остается неизменным, А именно, количество базисных неизвестных равно рангу системы г, а количество свободных и — г, где и — полное число Разделить неизвестные на базисные и свободные прн решении задач позволяет следующая теорема.

Теорема 1.3. Те неизвестные системы (!.1), коэффициенты которых образуют базисный минор матрицы этой системы, являются базисными неизвестными. Остальные неизвестные — свободными. На практике более эффективным способом выделения базисных и свободных неизвестных оказывается приведение системы к ступенчатому виду (см.

гл. 3, 4). 2, РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ КРАМЕРА И МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ 2Л. Решение квадратных систем методом Крамера Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, число уравнений в которой совпадает с числом неизвестных: -3 ) Решение системы имеет вид АХ =В, (2,2) 3 -5 4 А зАХ --- А !В, то Л вЂ” Л" !В (2,3) < 2з:! 1 йхз -- 5, х! 1 2хз = 7. 12 Проверка. Подставляя решение а систему и умножая обе части уравнений системы на 8, получим; < 1+10+ 7 = 15, 3 — 25+28 = О 5-1-14 = 8 шш!а верно.

Можно было бы сделать „ия на 8. Но использование дробей часто р„~! ческим ошибкам, и мы рекомендуем его избегать. 22. Резнение квадратных систем матричным методом Рассмотрим снова систему (2 1). В ьн!тричной форме эта система имеет внд где А — матрица системы;  — столбец правых частей; Х вЂ” стол бец неизвестных.

Допустим йе( А =,Ф О, т. е. матрица А не вырожде на. Тогда су!цествует обратная к пей матрица А ', Умножая обе ча сти уравнения (2,2) слева на матрицу А ', гюлучим итак как по определению обратной матриць! А 'А = В, где В единичная матрица, а ЕА =- А а силу свойств единичной матрицы, Таким образом. мы получилн решение системы (2.1). Изложенный метод решения системы (2,1) называется матричным методом.

Пример 2.3, Реш!пь систему Решение. Матрица системы имеет вид Ее определитель бес А = 1 ф О, позтому существует обратная к ней матрица А ' и система имеет решенно. Найдем обратную матрицу: Проверить правильность найденного решения можно путем подстановки х! = — 11иха = Ов систему. Пример 2.4. Решить систему нз примера 2.2 матричным методом.

Решение, Как было показано в примере 2,2„определитель матрицы системы отличен отнуля: бе!А = -8. Вычислим матрицу А з: Т нм образом решение системы хз = 2 — 1 1 О нлн 5 7 хз=--,хз=-,х 8 8' !тосоотв"ству результатам получе ымвпримере22 3. ОДНОРОДНЫК СЛАУ 2Х вЂ” Зу+я+ 7 = О, 1: с х — 4у+5 = О аых1+ а12хг+ п21Х1 + оггхг+ +азах„= О, +агах„= О, (3,1) (3.2) с С = аУ+6, У = С+1, где г = и. 15 Уирпслсиенил для си!иососотнелььсой рабоосы 1. Решите СЛАУ методом Крамера н матричным методом. Срав ните результаты: хс + 4хг + 2хз = 1, а) х1 х2 ! 5) — 2 Х1 — 4х2 = 5, ЗХ1 + 2х2 ' 2х1 — ЗХ2 + хз = 7 2. На плоскости ХОУ найдите точку пересечения прямых 11, Зх — 5у = 13 н 12, 2х + 7у = 81. 3, Найдите точку пересечения прямой и плоскости Р1, х+ 4у + Зх + 1 = О.

4, П остейшая модель зкономического равновесия описывается ростей уравнениями: Здесь С вЂ” совокупное потребление; У вЂ” совокупный доход; а и 6 — постоянные параметры; 1 — объем инвестиций. Считая а, 5, 1 заданными, запишите матричное уравнение для определения С и У укажите условие его однозначной разрешимости. ! Ук 5, В условиях предыдущей задачи 0 < а ьт 1, 5 > О, 1 > О, Докажите, что СЛАУ, определяющая С н У, разрешима в неотрицательных числах, 3.1. Решение однородных СЛАУ методом элементарных преобразований Мы изучили методы решения квадратных систем, число уравнений в которых равно числу неизвестных. Теперь переходим к рещенисо прямоугольных систем, в которых число неизвестных может отличаться от числа уравнений.

Эти методы также применимы и к системам вида 12,1), при этом нс требуемся выполнения условия с)сь А ф О. Начнем с однородных систем, Система линейных однородных уравнений имеет следующий внд: от1Х1+ птгхг+ ... +а „х„= О, или в матричной форме АХ = О, ам а1г .. а1а Х1 а21 агг ,. иг„ хп а!1 а~а ., а „ матрица системы и вектор неизвестных соответственно. Согласно теоремам з 1.2, при решении однородной системы 13,1) возможны следующие варианты: 1. Ранг матрицы системы (3,1) меньше числа неизвестных и этой системы: В этом случае система имеет бесконечное мнохсество решений. 2. Ранг матрицы системы равен числу неизвестных: В этом случае система имеет единственное (тривиальное) решение. Напомним, что злементарнымн преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования: умножение строки на число, не равное нулю; перестановка двух строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число (если это число отрвцательпо, то фактически происходит не прибавление, а вычитание).

При элементарных преобразованиях строк матрицы системы получается матрица, соответствующая эквивалентной системе, т. е, системе, имеющей то же самое множество решений. Действительно, умножению, например, Й-й строки матрицы системы на ненулевое число соответствует умножение на это число обеих частей к-го уравнения системы. Прибавлению к одной строке матрицы другой соответствует добавление к одному уравнению другого, Перестановке двух строк соответствует перестановка местами двух уравнений.

Очевидно, что все эти действия пе влияют на мпом~ество решений системы, Опишем метод решения однородных систем с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса): !. Выпишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду методом элементарных преобразований. 2, Найдем ранг матрицы системы г и, сравнив его с числом неизвестных,определим, имеетли система единственное(тривиальное) решение или она имеет бесконечное множество решений, 3. Если решений бесконечное множество, выберем базисный минор ступенчатой матрицы, разделив тем самым неизвестные на базисные и свободные.

(Число базисных неизвестных равно т, число свободных п — г.) 4. Выпишем систему, соответствующую ступенчатой матрице (она эквивалентна исходной), и разрешим ее относительно базисных неизвестных, 5. Найдем общее решение, записав столбец неизвестных, в котором в качестве базисных неизвестных стоят их выражения через свободные. Пример 3.1. Найти общее решение системы линейных однородных уравнений зт+яз = О, 2зз — хз = О, -аз+ Зжз+ бхз = О. (З.З) Решение, Выпишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: 1 О 1 1 О 1 А= 1 -1 О П вЂ” 21 О -1 — 2 — 1 3 5 Ш+1 О 3 6 П1+ЗП О -1 — 2 (Символическая запись «П — 21» означает, что мы из второй строки матрицы А вычли первую строку, умноженную на 2.) Ранг матрицы системы т = 2.

Число неизвестных и = 3. Следовательно, и > г, и система имеет бесконечное множество решений. Выберем базисные и свободные неизвестные, Число базисных неизвестных г = 2, Число свободных и — г = 1. В качестве базисного минора наиболее удобно взять минор О -1 < х~+хз = О, -кз — 2тз = О.

(ЗА) 1! Э.Ьауиана 17 составленный нз элементов двух первых строк и двух первых столбцов ступенчатой матрицы, Тогда базиспыми неизвестными будут кт> хз, а свободным — хз. Выпишем систему, соответствующую полу )ещГЯЮФфенчатоий с Х матрице. Понятно, что она эквивалентна исхойцой системе, т,е. имеет ту же совокупность решений, что и исходяак. ~ ):"; 1 4 ('1 < -1+1 = О, 2+2 = О, 1 — 6+б = О, < хз = хз) жз = -2хз Тогда система примет вид с х~ =-С, жз =- -2С. форме: Х= тз = -2С х~ — жз — 2хя 2жз — 2хз + хз — Зха хз — ха+ хз — хз Зхз — Зхз+ хз — бх4 — О, О, О, — О, (3,6) или окончательно Х=С вЂ” 2 (3.5) 1 -1 0 -2 2 -2 1 -3 1 -1 1 — 1 3 -3 1 -6 П вЂ” 21 1П вЂ” 1 1Ч вЂ” 31 А= Третье уравнение системы представляет собой тождество О = О, и мы его отбросили, так как оно ие несет никакой информации о неизвестных.

Выразим базисные неизвестные через свободное неизвестное; Чтобы подчеркнуть разницу между свободными и базисными неиз- вестными, переобозначим свободное неизвестное; Запишем теперь общее решение исходной системы в векторной Здесь С вЂ” любое число (С б В). Смысл полученного решения состоит в том, что каким бы мы ни выбрали значение С, подставляя вектор Х в систему, мы получим тождество, в чем легко убедиться, подставив решение (3.5) в систему (3.

3), Заьичаиие 3.1, При проведении проверки удобнее опускать множитель С, Действительно, при подстановке вектора (3.5) в систему (33) этот множитель можно вынести за скобки. При С = 0 мы получимтривиальное решение, а при С ф 0 должны обратиться в нуль вырюкения в скобках, Проверка, Подставляя решение хз = -1, жз = -2, жз = 1 в систему (3.3), получаем Таким образом, вектор (3.5) действительно является решением системы (3,3). Замечание 3,2. Разделить неизвестные иа базисные и свободные можно и без использования понятия базисного минора, А именно, в качестве базисных можно принять неизвестные, стоящие первыми в уравнениях системы, соответствующей ступенчатой матрице (в уравнениях «ступенчатой системы»), а остальные неизвестные рассматривать а качестве свободных, Так, из системы (3.4) видно, что базисными неизвестными являются хт и жз (так как они стоят первыми соответственно в первом и втором уравнениях этой системы)„а свободным — хз.

Пример 3.2. Найти общее решение однородной СЛАУ Решение, Матрица системы имеет вид: 1 — 1 0 — 2 1 — 1 О -2 О 0 1 О 0 1 1 0 О 1 1 1П вЂ” П О 0 0 0 0 0 1 1 7Ч вЂ” П 0 0 0 0 Таким образом, г = 2, и так как 11 = 4, то 11 > г, т. е. система имеет бесконечное множество решений. Число базисных неизвестных г = 2, число свободных и — г = 2. Заметим, что минор, находящийся в левом верхнем углу ступенчатой матрицы (на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов) в данном случае не является базисным, так как он равен нулю: )Ь -1 В качестве базисного минора примем минор, находящийся на пересечении двух первых строк и 1-го и 3-го столбцов ступенчатой матрицы: Итак, наши базисные неизвестные; к1, хз, а свободные кз, к4.

Система, соответствующая ступенчатой матрице, имеет вид < ж1 — жз — 2х4 = О, кз+ к4 = О. (3,7) Выразив из иее базисные неизвестные через свободные и обозначив свободные Ж2 = С1, к4 = С2, получим < ж1 —— С1 + 2С2, кз = -С2. С1 С1 0 + 0 гО Таким образом, общее решение имеет вид: С1 + 2С2 С1 -Са С2 2С2 0 — С2 С2 или, окончательно, 1 1 0 +С2 О 0 — 1 1 где С1 н Сз — любые числа (См С2 6 гь) В результате непосредственной подстановки вектора Х в систему (3.6) можно убедиться, что какими бы ии были значения свободных неизвестных С1 и Сз, уравнения системы обращаются в тождества.