ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 7

Если удалосьнайти параметрическое решение этого уравнения t = ϕ(τ, c), p = ψ(τ, c),то и решение исходного уравнения существует в параметрическом видеt = ϕ(τ, c),y = f (ϕ(τ, c), ψ(τ, c).Уравнение вида t = f (y, y 0 ), разрешенное относительно переменнойt, эквивалентно системе 2-х уравненийt = f (y, p),dy = pdt.Из первого уравнения выражаем dt, воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала:dt =∂f (y, p)∂f (y, p)dydy +dp =.∂y∂ppПоследнее равенство задает дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных y, p. Если удалось найти параметрическое решение этого уравнения y = ϕ(τ, c),p = ψ(τ, c), то и решение исходного уравнения существует в параметрическом видеy = ϕ(τ, c), t = f (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)).42Глава 2. Задача КошиУравнение вида F (t, y, y 0 ) = 0 эквивалентно системе 2-х уравненийF (t, y, p) = 0,dy = pdt.Относительно первого уравнения предположим, что оно задает гладкуюповерхность в R3 , описываемую параметрически с помощью непрерывнодифференцируемых функций T (u, v), Y (u, v), P (u, v):t = T (u, v),y = Y (u, v),p = P (u, v).Воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала,вычисляем dy, dt и получаем дифференциальную связь между параметрами (u, v), которая выделяет из всех точек поверхности именноинтегральные кривые:∂Y (u, v)∂T (u, v)∂Y (u, v)∂T (u, v)du +dv =du +dv P (u, v).∂u∂v∂u∂vПолучаем дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных u, v.

Если удалось найти параметрическое решение этого уравнения u = ϕ(τ, c), v = ψ(τ, c), то и решениеисходного уравнения существует в параметрическом видеt = T (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)),y = Y (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)).2.2.4. Особые решения дифференциального уравненияпервого порядкаОпределение 2.2.2. Функция y = ξ(t) называется особым решением дифференциального уравненияF (t, y(t), y 0 (t)) = 0на отрезке [t1 , t2 ], если y = ξ(t) является решением уравнения на этомотрезке в смысле определения 2.2.1, и через каждую точку соответствующей интегральной кривойΓ = {(t, y) :y = ξ(t),t ∈ [t1 , t2 ]}проходит другое решение этого уравнения с тем же самым наклономкасательной, но отличающееся от данного решения в сколь угодно малой окрестности точки.2.2.

Задача Коши для уравнения, не разрешенного относительно y 0 43Таким образом, в каждой точке интегральной кривой особого решения нарушается единственность решения задачи КошиF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,y(t0 ) = y0 ,y 0 (t0 ) = y00 ,∀(t0 , y0 ) ∈ Γ.Следовательно, нарушается одно или несколько условий доказанной выше теоремы 2.2.1 о существовании и единственности решения задачиКоши. Рассмотрим основные ситуации, приводящие к появлению особых решений. Нас будут интересовать прежде всего необходимые условия для существования особых решений.Если не выполнены условия гладкости функции F (t, y, p), то примеры особых решений нетрудно построить даже для разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений.Пример 2.2.3. Уравнениеpy0 = 3 y2(2.32)(t − C)3.27Функция y0 (t) является особым решением уравнения (2.32) на любомотрезке [t1 , t2 ], поскольку для любого t0 ∈ [t1 , t2 ] найдется C = t0 такое, что через точку (t0 , 0) интегральной кривой решения y0 (t) проходит другое решение(t − t0 )3y(t, t0 ) =27с тем же самым нулевым угломнаклонакасательной (см.

рис. 1.3).p32В данном случае F (t, y, p) = p − y является непрерывной функцией,а производная∂F2=− √∂y33yимеет решение y0 (t) ≡ 0 и семейство решений y(t, C) =не существует при y = 0, то есть нарушено одно из условий (2.26).Таким образом, особое решение может содержаться среди тех кри∂Fвых, на которых частная производнаяне существует.∂yПусть теперь выполнены условия (2.26) относительно F (t, y, p). Еслисуществует особое решение ξ(t), то во всех точках его интегральнойкривой должны выполняться два равенстваF (t, ξ(t), ξ 0 (t)) = 0,∂F(t, ξ(t), ξ 0 (t)) = 0.∂p44Глава 2. Задача КошиЯсно, что тройка (t, ξ(t), ξ 0 (t)) при каждом t является решением системыуравнений F (t, y, p) = 0,∂F(2.33)(t, y, p) = 0.∂pЧасто из системы (2.33) можно исключить переменную p и получитьуравнение Φ(t, y) = 0.

Решения этого уравнения на плоскости задаютсяодной или несколькими линиями, которые называются дискриминантными кривыми.Возможны следующие три случая:1. уравнение Φ(t, y) = 0 задает особое решение;2. уравнение Φ(t, y) = 0 задает решение уравнения (2.14), которое неявляется особым;3. уравнение Φ(t, y) = 0 задает функцию, не являющуюся решениемуравнения (2.14).Приведем соответствующие примеры.Пример 2.2.4.

Перепишем уравнение (2.32) из примера 2.2.3 в виде(y 0 )3 − y 2 = 0.Из системы (2.33) для дискриминантной кривой 3p − y 2 = 0,3p2 = 0находим функцию y(t) = 0, которая является особым решением.Пример 2.2.5. Рассмотрим уравнение(y 0 )2 − y 2 = 0.Из системы (2.33) для дискриминантной кривой 2p − y 2 = 0,2p = 0находим функцию y(t) = 0, которая является решением исходногоуравнения.

Для проверки того, будет ли найденное решение особым,проинтегрируем исходное уравнение и найдем два семейства решенийy1 (t) = c1 exp{t},y2 (t) = c2 exp{−t}.2.3. Задача Коши для нормальной системы45Ни одна из интегральных кривых этих семейств решений не касаетсяинтегральной кривой решения y(t) = 0 ни в одной точке.

Следовательно, решение y(t) = 0 не является особым для рассматриваемогоуравнения.Пример 2.2.6. Рассмотрим уравнение (2.17). Система (2.33) длядискриминантной кривой 2p − (t + y)p + ty = 0,2p − t − y = 0дает функцию y(t) = t, которая не является решением (2.17). Следовательно, особых решений рассматриваемое уравнение не имеет.2.3. Задача Коши для нормальной системыобыкновенных дифференциальных уравненийи уравнения n-го порядка на всем отрезкеВ этом разделе мы докажем теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения n-го порядка на произвольномотрезке.2.3.1.

Постановка задачи Коши для нормальной системыПусть функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ), i = 1, 2, . . . , n определены и непрерывны дляt ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ RnТребуется определить функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), являющиеся решениями нормальной системы дифференциальных уравнений на отрезке[a, b] 0y (t) = f1 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), 10y2 (t) = f2 (t, y1 (t), y2 (t), . .

. , yn (t)),(2.34)... 0yn (t) = fn (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)),и удовлетворяющие начальным условиямy1 (t0 ) = y01 ,y2 (t0 ) = y02 ,...,yn (t0 ) = y0n ,(2.35)46Глава 2. Задача Кошигде t0 – некоторая фиксированная точка отрезка [a, b], а y01 , y02 , . . . y0n– заданные вещественные числа. Эта задача называется задачей Кошиили задачей с начальным условием для нормальной системы дифференциальных уравнений (2.34).Определение 2.3.1. Функции y1 (t), y2 (t), .

. . , yn (t) называются решением задачи Коши (2.34), (2.35) на отрезке [a, b], если:1. функции yi (t) непрерывно дифференцируемы на [a, b], i1, 2, . . . , n;=2. yi0 (t) = fi (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b], i = 1, 2, . . . , n;3. yi (t0 ) = y0i , i = 1, 2, . .

. , n.Определение 2.3.2. Функция f (t, y1 , y2 , . . . , yn ) удовлетворяетусловию Липшица по y1 , y2 , . . . , yn , если найдется такая положительная константа L > 0, что выполнены неравенства|f (t, y1 , y2 , . . . , yn ) − f (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )| 66 L |y1 − ye1 | + |y2 − ye2 | + · · · + |yn − yen | ,∀t ∈ [a, b], ∀(y1 , y2 , . . . , yn ), (ey1 , ye2 , . .

. , yen ) ∈ Rn . (2.36)2.3.2. Теорема единственности решения задачи Кошидля нормальной системыДокажем единственность решения задачи Коши (2.34), (2.35) длянормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Теорема 2.3.1. Пусть функции fk (t, y1 , y2 , . . . , yn ), k = 1, 2, . . . , n,определены и непрерывны при t ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константой L.Тогда, если функции y1 (t), y2 (t), .

. . , yn (t) и ye1 (t), ye2 (t), . . . , yen (t) являются решениями задачи Коши (2.34), (2.35) на отрезке [a, b], тоyi (t) = yei (t) для t ∈ [a, b], i = 1, 2, . . . , n.Доказательство. Так как функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – решения задачи Коши (2.34), (2.35), тоyi0 (t) = fi (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) t ∈ [a, b],yi (t0 ) = y0i ,i = 1, 2, .

. . , n.2.3. Задача Коши для нормальной системы47Интегрируя дифференциальное уравнение от t0 до t и используя начальное условие (2.35), получим для i = 1, 2, . . . , nZtyi (t) = y0i +fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ ))dτ,t ∈ [a, b].(2.37)t0Компоненты yei (t), i = 1, 2, . . . , n другого решения удовлетворяют такимже уравнениямZtyei (t) = y0i +fi (τ, ye1 (τ ), ye2 (τ ), . . . , yen (τ ))dτ,t ∈ [a, b].(2.38)t0Вычитая уравнения (2.38) из уравнений (2.37) и используя условие Липшица (2.36), получим для i = 1, 2, . .