ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.ЛОМОНОСОВАФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ИКИБЕРНЕТИКИА.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИНОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯЧасть 1МОСКВА — 2009 г.Пособие отражает содержание первой части лекционного курса"Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентамфакультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика" .c Факультет вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009 г.c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.Оглавление3Оглавление1 Основные понятия1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях .

. . . . . . .1.2 Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями . . . . . .1.2.1 Движение материальной точки . . . . . . . . . . .1.2.2 Модели динамики популяций . . . . . . . . . . . .1.3 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной .

. . . . .1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и вполных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Уравнение в симметричном виде . . . . . . . . . .1.4.2 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . .1.4.3 Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . .2 Задача Коши2.1 Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной .

. . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Редукция к интегральному уравнению . . . . . . .2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Условие Липшица . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши .2.1.5 Локальная теорема существования решениязадачи Коши . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Примеры постановки задачи Коши . . . . . . . . .2.2.2 Теорема существования и единственности решениязадачи Коши . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . ..77. 10. 10. 12. 13....1517192225.....2525272930. 31. 36. 36. 394Оглавление2.2.32.2.42.32.4Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . .Особые решения дифференциального уравненияпервого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Задача Коши для нормальной системы обыкновенныхдифференциальных уравнений и уравнения n-го порядкана всем отрезке .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Постановка задачи Коши для нормальной системы2.3.2 Теорема единственности решения задачи Кошидля нормальной системы . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Теорема существования решения задача Коши длянормальной системы на всем отрезке . . . . .

. . . .2.3.4 Задача Коши для дифференциального уравненияn-го порядка на всем отрезке . . . . . . . . . . . . .2.3.5 Задача Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка .2.3.6 Задача Коши для линейного обыкновенногодифференциального уравнения n-го порядка . . . .Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема)3 Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений3.1 Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . . . .

. . . . . .3.2 Общие свойства линейного дифференциального уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Линейная зависимость произвольных скалярныхфункций . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Линейная зависимость и независимость решенийлинейного однородного дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения . . . . . . . . . . .3.4.1 Фундаментальная система решений линейногооднородного уравнения . . . .

. . . . . . . . . . . . .3.4.2 Общее решение линейного однородного уравнения .3.4.3 Общее решение линейного неоднородного уравнения4142454546485254555561616567676971717274Оглавление3.4.43.4.53.5Метод вариации постоянных . . . . . . . . . . . . .Построение фундаментальной системы решенийдля линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами . .

. . . . . . . . . . . . . .3.4.6 Построение вещественной фундаментальной системы решений для линейного однородного уравненияс постоянными коэффициентами . . . . . . . . . .Построение линейного дифференциального уравнения nго порядка по его решениям . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1 Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям .

. . . . . . . . . . . . . . .3.5.2 Формула Остроградского-Лиувилля . . . . . . . .5. 75. 77. 81. 83. 83. 874 Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений894.1 Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . 894.1.1 Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . .

894.1.2 Однородные матричные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Линейная зависимость вектор-функций и определительВронского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.1 Линейная зависимость произвольных векторфункций . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Линейная зависимость и независимость решенийлинейной однородной системы дифференциальныхуравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.1 Фундаментальная система решений линейнойоднородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2 Общее решение линейной однородной системы . . . 974.3.3 Общее решение линейной неоднородной системы,метод вариации постоянных . . . . . . . .

. . . . . . 994.4 Построение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.1 Построение фундаментальной системы решений,когда существует базис из собственных векторов . . 1026Оглавление4.4.24.4.3Построение фундаментальной системы решений,когда не существует базиса из собственных векторов103Построение фундаментальной системы решенийв вещественном виде . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 106A Неявные функции и функциональные матрицы108A.1 Теорема о неявных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2 Зависимость функций и функциональные матрицы . . . . 109B Общая теория линейных дифференциальных уравненийс точки зрения систем линейных дифференциальныхуравнений112B.1 Связь линейной зависимости скалярных функций ивектор-функций . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.2 Линейная зависимость решений линейного однородногодифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.3 Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения . . . 116B.4 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, метод вариации постоянных . . . . . . 117B.5 Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Литература1221.1. Понятия о дифференциальных уравнениях7Глава 1Основные понятия1.1. Понятия о дифференциальных уравненияхДифференциальным уравнением называется уравнение, содержащеепроизводные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.Пример 1.1.1. Найти функцию y(t) такую, чтоy 000 (t) + (y 0 (t))2 − et y(t) = 1 + t,a 6 t 6 b.Пример 1.1.2.

Найти функцию u(t, x) такую, чтоutt (t, x) + ut (t, x) = (t2 + x)u(t, x),a 6 t 6 b,c 6 x 6 d.Пример 1.1.3. Найти функцию u(t, x) такую, чтоut (t, x) − uxx (t, x) + u(t, x) = 0,a 6 t 6 b,c 6 x 6 d.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции толькопо одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальнымуравнением в частных производных.Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера1.1.3 – дифференциальным уравнением в частных производных.Порядком дифференциального уравнения называется наибольшийпорядок входящих в него производных.Данный курс посвящен, в основном, обыкновенным дифференциальным уравнениям.Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядкаотносительно неизвестной функции y(t) называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,t ∈ [a, b],8Глава 1.

Основные понятиягде F (t, y, p) – заданная функция трех переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка относительно неизвестной функции y(t) называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t), . . . , y (n) (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p1 , . . . , pn ) – заданная функция n + 2 переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнениеy (n) (t) = F (t, y(t), y 0 (t), . .