ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 2

. , y (n−1) (t)),t ∈ [a, b],(1.1)где F (t, y, p1 , . . . , pn−1 ) – заданная функция n + 1 переменной.Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями можнорассматривать системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть заданы функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ), i = 1, 2, . . . , n. Нормальнойсистемой обыкновенных дифференциальных уравнений относительнонеизвестных функций y1 (t), . . . , yn (t) называется система 0y (t) = f1 (t, y1 (t), y2 (t), . .

. , yn (t)), t ∈ [a, b], 10y2 (t) = f2 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b],(1.2)... 0yn (t) = fn (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b].Уравнение (1.1) может быть сведено к нормальной системе (1.2).Действительно, пусть функция y(t) является решением уравнения (1.1).Введем функцииy1 (t) = y(t),y2 (t) = y 0 (t),...yn−1 (t) = y (n−2) (t),yn (t) = y (n−1) (t).Тогда функции y1 (t), . .

. , yn (t) являются решениями нормальной системы 0y (t)= y2 (t),t ∈ [a, b], 10= y3 (t),t ∈ [a, b], y2 (t)...(1.3)0y(t)=y(t),t∈[a,b],n n−1= F (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b].yn0 (t)Справедливо и обратное. Если функции y1 (t), . . . , yn (t) являются решениями системы (1.3), то функция y(t) = y1 (t) является решениемуравнения (1.1).1.2. Некоторые математические модели9Рис. 1.1.

К примеру 1.1.4: слева – интегральная кривая (спираль), справа –фазовая траектория (окружность).При решении уравнения (1.1) или системы (1.2) часто приходится проводить операцию интегрирования. Процесс нахождения решенийобычно называется интегрированием дифференциального уравненияили системы.Всякое решение (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) системы (1.2) можно интерпретировать геометрически как кривую в n + 1 мерном пространствепеременных (t, y1 , y2 , .

. . , yn ). Кривая (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) называется интегральной кривой. Пространство переменных (y1 , y2 , . . . , yn ) называется фазовым пространством, а определенная в этом пространствекривая (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) – фазовой траекторией.Пример 1.1.4. Нормальная системаy10 (t) = −y2 (t),y20 (t) = y1 (t),t ∈ [0, 4π],t ∈ [0, 4π]имеет решение y1 (t) = cos t, y2 (t) = sin t. Интегральная кривая этогорешения в пространстве переменных (t, y1 , y2 ) является спиралью, состоящей из двух витков, а фазовая траектория – окружностью (см.рис. 1.1).10Глава 1. Основные понятия1.2. Некоторые математические модели,описываемые обыкновеннымидифференциальными уравнениямиОбыкновенные дифференциальные уравнения являются основой математических моделей разнообразных процессов и явлений.

Приведемнекоторые примеры подобных математических моделей.1.2.1. Движение материальной точкиРассмотрим процесс движения материальной точки с единичноймассой вдоль прямой, которую будем считать осью x. Движение точки обусловлено тем, что на нее действует сила f (t), зависящая от времени t. Обозначим положение точки в момент времени t через x(t). Всоответствии с вторым законом Ньютона получим, чтоd2 x= f (t).dt2(1.4)Таким образом, при заданной функции f (t) движение точки описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядкаотносительно неизвестной функции x(t).Решение уравнения (1.4) может быть легко найдено в результатедвукратного интегрированияZt Zτx(t) =f (θ)dθdτ + c1 + c2 t,(1.5)t0 t0где t0 - некоторое заданное число, а c1 и c2 – произвольные постоянные.Из формулы (1.5) следует, что уравнение (1.4) не определяет однозначнопроцесс движения x(t).

Это легко понять и из физических соображений. Действительно, для однозначного определения положения точкиx(t) нужно знать её положение в некоторый момент времени t0 , то естьвеличину x0 = x(t0 ) и ее скорость v0 = x0 (t0 ). В этом случае c1 = x0 ,c2 = v0 и положение точки x(t) в любой момент времени определяетсяоднозначно.Уравнение (1.4) определяет простейший вариант движения точкивдоль прямой. Если сила, действующая на точку, зависит не только от1.2. Некоторые математические модели11времени, но также и от положения точки x(t) и её скорости x0 (t), тообыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее положениеточки x(t), будет иметь видd2 x= f (t, x(t), x0 (t)),dt2где f (t, x, p) – заданная функция трех переменных.Рассмотрим теперь процесс движения материальной точки единичной массы в пространстве.

Положение точки задается радиус-векторомr̄(t) = (x(t), y(t), z(t)). Движение точки обусловлено действием на неесилы, зависящей от времени, положения точки и ее скорости. Эта силаописывается вектор-функциейf¯(t, r̄(t), r̄0 (t)) = (f1 (t, r̄(t), r̄0 (t)), f2 (t, r̄(t), r̄0 (t)), f3 (t, r̄(t), r̄0 (t))).Второй закон Ньютона дает уравнение для описания траектории r̄(t)движения точкиd2 r̄= f¯(t, r̄(t), r̄0 (t)).dt2Записывая это векторное уравнение по компонентам, мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций x(t), y(t), z(t)d2 x= f1 (t, x(t), y(t), z(t), x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)),dt2d2 y= f2 (t, x(t), y(t), z(t), x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)),dt2d2 z= f3 (t, x(t), y(t), z(t), x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)),dt2где fi (t, x, y, z, u, v, w), i = 1, 2, 3 – заданные функции семи переменных.Эта система не является нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Однако ее можно привести к нормальному виду введя дополнительные неизвестные функцииu(t) = x0 (t),v(t) = y 0 (t),w(t) = z 0 (t).В результате мы получим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций x(t), y(t),12Глава 1. Основные понятияz(t), u(t), v(t) и w(t)x0 (t) = u(t),y 0 (t) = v(t),z 0 (t) = w(t),u0 (t) = f1 (t, x(t), y(t), z(t), u(t), v(t), w(t)),v 0 (t) = f2 (t, x(t), y(t), z(t), u(t), v(t), w(t)),w0 (t) = f3 (t, x(t), y(t), z(t), u(t), v(t), w(t)).Очевидно, что для однозначного определения траектории точки в пространстве следует задать ее положение в некоторый момент времени t0и её скорость в этот же момент времени, то есть значения x(t0 ), y(t0 ),z(t0 ), u(t0 ), v(t0 ) w(t0 ).1.2.2.

Модели динамики популяцийМодели динамики популяций описывают процессы изменения численности биологических объектов во времени. Приведем простые примеры подобных моделей.Рассмотрим популяцию некоторых биологических организмов. Обозначим их количество, нормированное относительно некоторого достаточно большого значения, в момент времени t через u(t). Далее будемсчитать функцию u(t) непрерывно дифференцируемой и предположим,что изменение количества организмов происходит за счет рождения исмерти.

Если скорость рождаемости и скорость смертности пропорциональны количеству организмов u(t), тоdu= au(t) − bu(t),dt(1.6)где a – постоянный коэффициент рождаемости, а b – постоянный коэффициент смертности организмов. Таким образом, мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции u(t). Решениями уравнения (1.6) являются функцииu(t) = C exp (a − b)t ,где C – произвольная постоянная. Для устранения подобной неоднозначности нужно знать количество организмов в некоторый момент времени, то есть величину u0 = u(t0 ).

В этом случае решение уравнения1.3. Уравнение первого порядка13(1.6) определяется однозначно и имеет видu(t) = u0 exp (a − b)(t − t0 ) .Рассмотрим теперь более сложную модель динамики популяций, которая описывает изменение численности биологических объектов двухвидов: жертв и хищников. Обозначим количество жертв через u(t), а количество хищников через v(t).

Различие в изменении количества жертви хищников состоит в том, что жертвы являются кормом для хищников, а хищники не являются кормом для жертв. В связи с этим считаем,что скорость рождения жертв пропорциональна их количеству, а скорость их смертности пропорциональна произведению количества жертвна количество хищников. В результате мы получим следующую формулу для изменения количества жертв: u0 (t) = au(t) − bu(t)v(t), где aи b – постоянные положительные коэффициенты. С другой стороны,скорость рождаемости хищников зависит как от их количества, так иот количества корма, а скорость смертности зависит только от количества хищников.

Эти предположения можно описать следующей формулой для изменения количества хищников: v 0 (t) = cu(t)v(t) − dv(t), гдеc и d – постоянные положительные коэффициенты. Таким образом, мыполучили следующую нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций u(t) и v(t)u0 (t) = au(t) − bu(t)v(t),v 0 (t) = cu(t)v(t) − dv(t).Для однозначного определения количества жертв и хищников кромеэтих уравнений нужно задать в некоторый момент времени t0 количество жертв u0 = u(t0 ) и количество хищников v0 = v(t0 ).1.3.

Обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка, разрешенное относительнопроизводнойРассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первогопорядка, разрешенное относительно производнойy 0 (t) = f (t, y(t)),(1.7)14Глава 1. Основные понятияРис. 1.2. Геометрический смысл уравнения y 0 (t) = f (t, y(t)).где функция f (t, y) определена и непрерывна в некоторой области D наплоскости переменных (t, y).Определим понятие решения уравнения (1.7).Определение 1.3.1. Функция y(t) называется решением уравнения(1.7) на отрезке [a, b], если:1.

y(t) ∈ C 1 [a, b];2. (t, y(t)) ∈ D для всех t ∈ [a, b];3. y 0 (t) = f (t, y(t)) для всех t ∈ [a, b] .Здесь и далее в тексте C n [a, b] при n ∈ N обозначает множество nраз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, а C[a, b]— множество непрерывных на этом отрезке функций.Пусть y(t) – решение уравнения (1.7) на отрезке [a, b].