ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 9

То есть существуют непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции yi (t), удовлетворяющие (2.45), (2.46). Обозначив y1 (t) через y(t), получим, чтоy(t) является n раз непрерывно дифференцируемой на [a, b] функцией,y (i−1) (t) = yi (t), i = 1, 2, . . . , n и y(t) удовлетворяет (2.42), (2.43).

Следовательно y(t) является решением Коши (2.42), (2.43). Теорема 2.3.3доказана.54Глава 2. Задача Коши2.3.5. Задача Коши для системы линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений n-го порядкаРассмотрим на отрезке [a, b] систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка 0y (t) = a11 (t)y1 (t) + a12 (t)y2 (t) + · · · + a1n (t)yn (t) + fb1 (t), 10y2 (t) = a21 (t)y1 (t) + a22 (t)y2 (t) + · · · + a2n (t)yn (t) + fb2 (t),(2.47)... 0yn (t) = an1 (t)y1 (t) + an2 (t)y2 (t) + · · · + ann (t)yn (t) + fbn (t),где aij (t), fbi (t), i, j = 1, 2, . . .

, n – заданные непрерывные на отрезке [a, b]функции.Пусть задано начальное условиеyi (t0 ) = y0i ,i = 1, 2, . . . , n.(2.48)Докажем теорему существования и единственности решения задачиКоши (2.47), (2.48).Теорема 2.3.4. Пусть функции aij (t) , fbi (t) непрерывны на отрезке[a, b], i, j = 1, 2, . . . , n. Тогда существует единственный набор функцийy1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), являющийся решением задачи Коши (2.47), (2.48)на отрезке [a, b].Доказательство. Система (2.47) является частным случаем системы(2.34) с функциямиfi (t, y1 , y2 , . .

. , yn ) = ai1 (t)y1 +ai2 (t)y2 +· · ·+ain (t)yn +fbi (t), i = 1, 2, . . . , n.Эти функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ) определены и непрерывны при t ∈ [a, b],(y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с постояннойL = max max |aij (t)|.16i,j6n t∈[a,b]Следовательно, для задачи Коши (2.47), (2.48) выполнены условия теорем 2.3.1 и 2.3.2, и она имеет единственное решение на отрезке [a, b].Теорема 2.3.4 доказана.2.4. Задача Коши для нормальной системы552.3.6. Задача Коши для линейного обыкновенногодифференциального уравнения n-го порядкаДокажем теорему существования и единственности решения задачиКоши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения nго порядкаa0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t), (2.49)где ai (t), i = 0, 1, 2, .

. . , n, f (t) – заданные непрерывные на [a, b] функции, причем a0 (t) 6= 0 на [a, b].Рассмотрим для функции y(t) начальные условия в точке t0 ∈ [a, b]y (i) (t0 ) = y0i ,i = 0, 1, . . . , n − 1.(2.50)Теорема 2.3.5. Пусть функции ai (t), f (t) непрерывны на [a, b], i =1, 2, .

. . , n, a0 (t) 6= 0 на [a, b]. Тогда существует единственная функцияy(t), являющаяся решением задачи Коши (2.49), (2.50) на отрезке [a, b].Доказательство. Уравнение (2.49) является частным случаем уравнения (2.42) с функциейF (t, y1 , y2 , . . . , yn ) =an (t)an−1 (t)a1 (t)f (t)−· y1 −· y2 − · · · −· yn .a0 (t)a0 (t)a0 (t)a0 (t)Эта функция F (t, y1 , y2 , . . .

, yn ) определена и непрерывна при t ∈ [a, b],(y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn и удовлетворяет условию Липшица (2.44) с постоянной ai (t) .L1 = max max 16i6n t∈[a,b] a0 (t) Следовательно, для задачи Коши (2.49), (2.50) выполнены условия теоремы 2.3.3 и ее решение существует и единственно на отрезке [a, b]. Теорема 2.3.5 доказана.2.4. Задача Коши для нормальной системы(локальная теорема)Пусть функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ), i = 1, 2, . .

. , n определены и непрерывны в n + 1-мерном параллелепипедеΠn+1 = {(t, y1 , y2 , . . . , yn ) :|t−t0 | 6 T,|yi −y0i | 6 A,i = 1, 2, . . . , n}.56Глава 2. Задача КошиРассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальныхуравнений 0y (t) = f1 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), 10y2 (t) = f2 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)),(2.51)... 0yn (t) = fn (t, y1 (t), y2 (t), . . .

, yn (t))с начальным условиемy1 (t0 ) = y01 ,y2 (t0 ) = y02 ,...,yn (t0 ) = y0n ,(2.52)где y01 , y02 , . . . , y0n – заданные числа.Определение 2.4.1. Функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) называются решением задачи Коши (2.51), (2.52) на отрезке [t0 + h, t0 + h], h 6 T ,если:1. функции yi (t) непрерывно дифференцируемы на [t0 − h, t0 + h], i =1, 2, . . .

, n;2. (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) ∈ Πn+1 , ∀t ∈ [t0 − h, t0 + h];3. yi0 (t) = fi (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), ∀t ∈ [t0 − h, t0 + h], i = 1, 2, . . . , n;4. yi (t0 ) = y0i , i = 1, 2, . . . , n.Отметим, что в отличие от определения 2.3.1, данное определение содержит условие принадлежности интегральной кривой параллелепипеду Πn+1 , поскольку только в Πn+1 определены функции fi (t, y1 , . . . , yn ).Определение 2.4.2. Функция f (t, y1 , y2 , .

. . , yn ) удовлетворяет впараллелепипеде Πn+1 условию Липшица по y1 , y2 , . . . , yn , если найдется константа L > 0 такая, что|f (t, y1 , y2 , . . . , yn ) − f (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )| 66 L |y1 − ye1 | + |y2 − ye2 | + · · · + |yn − yen | ,∀(t, y1 , y2 , . . . , yn ), (t, ye1 , ye2 , . . . , yen ) ∈ Πn+1 . (2.53)Перейдем к доказательству существования и единственности решения задачи Коши (2.51), (2.52) для нормальной системы обыкновенныхдифференциальных уравнений. Мы докажем теорему существования не2.4. Задача Коши для нормальной системы57на всем исходном отрезке [t0 − T, t0 + T ], а на некотором, вообще говоря, меньшем. Поэтому эта теорема называется локальной теоремой существования и единственности решения задачи Коши для нормальнойсистемы.Теорема 2.4.1. Пусть функции fi (t, y1 , y2 , . .

. , yn ), i = 1, 2, . . . , n,определены и непрерывны в Πn+1 , удовлетворяют в Πn+1 условию Липшица (2.53) и|fk (t, y1 , y2 , . . . , yn )| 6 M,∀(t, y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Πn+1 ,k = 1, 2, . . . , n.Тогда существует единственный набор функций y1 (t), y2 (t), . .

. , yn (t),являющийся решением задачи Коши (2.51), (2.52) на отрезкеA[t0 − h, t0 + h], h = min T,.MДоказательство. Единственность решения задачи Коши доказывается аналогично доказательству теоремы 2.3.1. Докажем существованиерешения. Рассмотрим на отрезке [t0 − h, t0 + h] систему интегральныхуравнений относительно неизвестных функций yi (t)Ztyi (t) = y0i +fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ ))dτ,i = 1, 2, . . . , n.(2.54)t0Покажем, что, если функции ȳ1 (t), ȳ2 (t), . .

. , ȳn (t) непрерывны на отрезке [t0 − h, t0 + h], удовлетворяют неравенствам|ȳi (t) − y0i | 6 A,t ∈ [t0 − h, t0 + h],i = 1, 2, . . . , n(2.55)и системе интегральных уравнений (2.54), то эти функции являютсярешением задачи Коши (2.51), (2.52) на отрезке [t0 − h, t0 + h].Действительно, из неравенств (2.55) следует, что(t, ȳ1 (t), ȳ2 (t), . . .

, ȳn (t)) ∈ Πn+1 при t ∈ [t0 − h, t0 + h].Положив в (2.54) t = t0 , получим, что ȳi (t) удовлетворяет условиям(2.52). Дифференцируя (2.54) по t, убеждаемся в том, что выполненыуравнения (2.51).Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать,что существуют функции ȳi (t) непрерывные на отрезке [t0 − h, t0 + h],58Глава 2. Задача Кошиудовлетворяющие неравенствам (2.55) и системе интегральных уравнений (2.54).Докажем существование таких функций ȳi (t), используя метод последовательных приближений. Рассмотрим последовательности функций y1k (t), y2k (t), .

. . , ynk (t), k = 0, 1, 2, . . . таких, чтоyik+1 (t)Zt= y0i +fi (τ, y1k (τ ), y2k (τ ), . . . , ynk (τ ))dτ,i = 1, 2, . . . , n, (2.56)t0yi0 (t) = y0i ,i = 1, 2, . . . , n.Докажем, что все yik (t) определены и непрерывны на отрезке [t0 −h, t0 +h] и удовлетворяют неравенству|yik (t) − y0i | 6 A,t ∈ [t0 − h, t0 + h].(2.57)Для yi0 (t) это верно. Предположим, что это верно для yim (t) и покажем, что это верно для yim+1 (t).

Так как все функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn )непрерывны в Πn+1 , то из (2.56) следует, что yim+1 (t) определены инепрерывны на [t0 − h, t0 + h]. Покажем, что|yim+1 (t) − y0i | 6 A,t ∈ [t0 − h, t0 + h].Эти неравенства следуют из определения (2.56). Действительно, tZm+1mmm|yi(t) − y0i | 6 |fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ ))|dτ 6t0 tZ6 M dτ 6 M |t−t0 | 6 M h 6 A, i = 1, 2, . . . , n, t ∈ [t0 −h, t0 +h],t0что и требовалось доказать.Покажем, что для всех i = 1, 2, . . .

, n и k = 0, 1, . . . на отрезке [t0 −h, t0 + h] справедливы оценки|yik+1 (t) − yik (t)| 6 A(nL)k|t − t0 |k.k!(2.58)2.4. Задача Коши для нормальной системы59При k = 0 это верно, так как tZ00010|yi (t) − yi (t)| = |fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ ))|dτ 6 M h 6 A.t0Пусть неравенство (2.58) справедливо для k = m − 1. Покажем, что оновыполнено для k = m:|yim+1 (t) − yim (t)| 6Z t6 |fi (τ, y1m (τ ), y2m (τ ), .

. . , ynm (τ ))−t0−fi (τ, y1m−1 (τ ), y2m−1 (τ ), . . . , ynm−1 (τ ))|dτ 6Z t6 L |y1m (τ ) − y1m−1 (τ )| + |y2m (τ ) − y2m−1 (τ )| + . . .t0 mm−1· · · + |yn (τ ) − yn (τ )| dτ .Используя предположение индукции, имеем tZm−1|t − t0 |mm+1mm |τ − t0 ||yi(t) − yi (t)| 6 A(nL)dτ 6 A(nL)m.(m − 1)!m!t0Следовательно, неравенство (2.58) доказано по индукции.Рассмотрим на отрезке [t0 − h, t0 + h] функциональные рядыyi0 (t)+∞X(yim+1 (t) − yim (t)),i = 1, 2, .