ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 19

. . , cnв последнем равенстве определены однозначно. Теорема B.3.2 доказана.B.4. Общее решение линейного неоднородногодифференциального уравнения,метод вариации постоянныхРассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение снепрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aj (t) ∈ R, j = 0, . . . , n,118Приложение Ba0 (t) 6= 0 и непрерывной правой частью f (t):a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t). (B.7)Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения (f (t) ≡ 0) на отрезке [a, b], yH (t) – некоторое (частное) решение неоднородного уравнения(B.7). Тогда согласно теореме 3.4.3 общее решение линейного неоднородного уравнения (B.7) на рассматриваемом отрезке имеет видyOH (t) = yH (t) + yOO (t) = yH (t) + c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t),∀cj ∈ C, j = 1, .

. . , n. (B.8)Рассмотрим метод построения решения yH (t) неоднородного уравнения (B.7) в случае, когда известна фундаментальная система решенийоднородного уравнения (B.4). В этом методе частное решение ищется в виде, повторяющем структуру (B.6) общего решения однородногоуравнения, в котором константы c1 , c2 , . . . , cn заменены на пока произвольные непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функцииc1 (t), c2 (t), . . .

, cn (t), а именно:yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + · · · + cn (t)yn (t).(B.9)Перейдем к векторной форме записи и введем вектор-функции(n−1)y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yj(t))> ,j = 1, . . . , n,составляющие фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений (B.5), Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))– соответствующая фундаментальная матрица,(n−1)0y H (t) = (yH (t), yH(t), . . .

, yH(t))> .Тогда задача сводится к нахождению вектор-функцииc(t) = (c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t))> ,для которой функция y H (t) = Y (t)c(t) является решением следующейлинейной неоднородной системы уравнений:dy(t)= A(t)y(t) + f (t),dt(B.10)B.5. Общая теория линейных уравнений с точки зрения систем119где f (t) = (0, 0, .

. . , 0, f (t)/a0 (t))> , а матрица A(t) определена в (B.5).Тогда можно воспользоваться полученной в теореме 4.3.4 формулой(4.18) для частного решения произвольной линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений,Zty H (t) =Z(t, τ )f (t)dτ,Z(t, τ ) = Y (t)Y −1 (τ ),t0и затем взять первую компоненту полученной вектор-функции. Однако при практическом использовании метода вариации постоянных инахождения вектор-функции c(t) достаточно выписать полученную в(4.21) при доказательстве теоремы 4.3.4 систему Y (t)dc(t)/dt = f (t), которая для рассматриваемых фундаментальных матриц и вектора правой части принимает видy1 (t)y10 (t)...y2 (t)y20 (t).........yn (t)yn0 (t)...c01 (t)c02 (t)...(n−2)(t)   c0n−1 (t)yn(n−1)c0n (t)(t)yn... (n−2)(n−2) y1(t) y2(t) .

. .(n−1)(n−1)y1(t) y2(t) . . .00...   =  0  f (t)a0 (t).Так как det Y (t) 6= 0, то из этой системы однозначно определяютсяпроизводные c0k (t) = gk (t), t ∈ [a, b]. Интегрируя, найдем функцииZtck (t) =gk (τ )dτ,k = 1, 2, . . . , n,t0а значит и искомое решение неоднородного уравнения (B.7)yH (t) =nXk=1Ztyk (t)gk (τ )dτ.t0Тем самым показано существования частного решения линейного неоднородного уравнения (B.4) в виде (B.9).120Приложение BB.5.

Построение фундаментальной системы решенийдля линейного однородного уравненияс постоянными коэффициентамиРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n c вещественными коэффициентами aj ∈ R, j = 0, . . . , n, a0 6= 0:a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t) = 0.(B.11)Для построения фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения (B.11) достаточно построить векторную фундаментальную систему решений соответствующей уравнению (B.11) линейнойоднородной системы уравненийdy(t)= Ay(t),dtс постоянной вещественной матрицей010 001 ........A= . 000 aan−1an−2n−−−a0a0a0......00.........1a1...

−a0(B.12)и выделить первые компоненты. Для этого воспользуемся специальнойструктурой матрицы системы A в (B.12). Как известно из курса линейной алгебры, такая матрица относится к классу матриц Фробениуса.Для таких матриц характеристическое уравнение, корни которого являются собственными значениями матрицы, принимает вид−λ10...0 0−λ1...0 ........ = 0.......det(A − λE) = det  . 000...1 aan−1an−2a1n−−...

− − λ−a0a0a0a0Раскрывая определитель по первому столбцу, после несложных преобразований приходим к задаче нахождения корней характеристическогоЛитература121многочлена для линейного однородного уравнения (B.11):a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0.(B.13)Известно, что у матриц Фробениуса каждому λj из совокупностипопарно различных собственных значений {λ1 , .

. . , λ` } с соответствующими кратностями k1 , . . . , k` (k1 + · · · + k` = n) отвечает ровно один1собственный вектор hj , dim Ker (A − λj E) = 1, и если его кратностьkj > 1, то существуют ровно kj − 1 присоединенных векторов23kjhj , hj , . . . , hj ,j = 1, . . . , `.Тогда фундаментальная система решений легко выписывается благодаря (4.29) и теореме 4.4.2:t 112hj exp{λj t},hj + hj exp{λj t}, .

. .1!t kj −1 t2 kj −2tkj −1 1kj+ hj+ ··· +hj exp{λj t},. . . , hj + h j1!2!(kj − 1)!j = 1, . . . , `.Первые компоненты полученных вектор-функций дают линейно независимые решения линейного однородного уравнения (B.11):b1jb2jt 1+ bj exp{λj t}, . . .1!exp{λj t},t kj −1 t2 kj −2tkj −1 1kj.

. . , bj + b j+ bj+ ··· +b exp{λj t}, (B.14)1!2!(kj − 1)! jmгде bmj – первая компонента числового вектора hj , j = 1, . . . , `. Заметим, что всегда b1j 6= 0, поскольку в противном случае система (B.14)будет являться линейно зависимой на любом отрезке. Поэтому в силу линейности и однородности уравнения (B.11) его решениями такжебудут функцииexp{λj t},t exp{λj t},...,tkj −1 exp{λj t},j = 1, .

. . , `.(B.15)В силу леммы 3.4.2 система функций (B.15) является линейно независимой на любом отрезке [a, b] и составляет фундаментальную систему122решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (B.11).Литература1. Дмитриев В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальнымуравнениям. М.: Изд-во КДУ, 2007.2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математическийанализ. Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1985.3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: УРСС, 2003.4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.: Наука, 1983.5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.6. Филиппов А.Ф. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004.7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Изд-во РХД, 2000.8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационноеисчисление.

М.: УРСС, 2002..