ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 8

. , n и t ∈ [a, b]|yi (t) − yei (t)| = tZ= (fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ )) − fi (τ, ye1 (τ ), ye2 (τ ), . . . , yen (τ ))) dτ 6t0 tZ 6 L |y1 (τ ) − ye1 (τ )| + |y2 (τ ) − ye2 (τ )| + · · · + |yn (τ ) − yen (τ )| dτ .t0Введем функциюz(t) = |y1 (t) − ye1 (t)| + |y2 (t) − ye2 (t)| + · · · + |yn (t) − yen (t)|.Тогда полученное неравенство можно переписать так: tZ|yi (t) − yei (t)| 6 L z(τ )dτ , i = 1, 2, . .

. , n, t ∈ [a, b].t0Складывая все эти неравенства, имеем tZz(t) 6 nL z(τ )dτ ,t0t ∈ [a, b].48Глава 2. Задача КошиИз леммы Гронуолла-Беллмана 2.1.2 следует, что z(t) = 0, t ∈ [a, b]. Этоозначает, чтоyi (t) = yei (t) i = 1, 2, . . . , n,t ∈ [a, b].Теорема 2.3.1 доказана.2.3.3. Теорема существования решения задача Коши длянормальной системы на всем отрезкеПерейдем к доказательству теоремы существования решения задачи Коши для нормальной системы (2.34), (2.35).

Теорема существования решения задачи Коши для одного дифференциального уравненияпервого порядка была доказана в параграфе 2.1.5. Важно еще раз заметить, что в этой теореме существование решения доказывалось только на некотором малом отрезке, и без дополнительных предположенийотносительно функции f (t, y) более сильный результат получить невозможно. Конечно, подобные проблемы сохраняются и для задачи Кошидля нормальной системы, поскольку задача Коши для одного уравнения является ее частным случаем.

Однако в этом параграфе мы сделаемтакие предположения относительно функций fk (t, y1 , . . . , yn ), которыепозволят доказать теорему существования решения на всем отрезке.Локальная теорема существования решения задачи Коши (2.34), (2.35)аналогичная той, которая была доказана в параграфе 2.1.5, будет доказана позже в параграфе 2.4Теорема 2.3.2. Пусть функции fk (t, y1 , y2 , . .

. , yn ), k = 1, 2, . . . , n,определены и непрерывны при t ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константой L.Тогда существуют функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), являющиеся решением задачи Коши (2.34), (2.35) на всем отрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a, b] систему интегральныхуравнений относительно неизвестных функций yi (t)Ztyi (t) = y0i +fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . .

. , yn (τ ))dτ,i = 1, 2, . . . , n.(2.39)t0Покажем, что если функции ȳ1 (t), . . . , ȳn (t) непрерывны на отрезке[a, b] и удовлетворяют системе интегральных уравнений (2.39), то ониявляются решением задачи Коши (2.34), (2.35) на отрезке [a, b].2.3. Задача Коши для нормальной системы49Действительно, положив в (2.39) t = t0 , получим, что ȳi (t) удовлетворяет условиям (2.35). Дифференцируя (2.39) по t, убеждаемся в том,что выполнены уравнения (2.34).Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать,что существуют функции ȳi (t) непрерывные на отрезке [a, b], удовлетворяющие системе интегральных уравнений (2.39).Докажем существование таких функций ȳi (t), используя метод последовательных приближений.

Рассмотрим последовательности функций y1k (t), y2k (t), . . . , ynk (t), k = 0, 1, 2, . . . таких, чтоyik+1 (t)Zt= y0i +fi (τ, y1k (τ ), y2k (τ ), . . . , ynk (τ ))dτ,yi0 (t) = y0i ,(2.40)t0i = 1, 2, . . . , n, t ∈ [a, b]. Докажем, что все yik (t) определены и непрерывны на отрезке [a, b].Для yi0 (t) это верно. Предположим, что это верно для yim (t) и покажем, что это верно для yim+1 (t). Так как все функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn )непрерывны при t ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , то из (2.40) следует, чтоyim+1 (t) определены и непрерывны на [a, b].Обозначим через B следующую постояннуюB=max Rtmax fi (τ, y01 , y02 , . .

. , y0n )dτ .i=1,2,...,n t∈[a,b] t0Покажем, что для всех i = 1, 2, . . . , n и k = 0, 1, . . . на отрезке [a, b]справедливы оценки|yik+1 (t) − yik (t)| 6 B(nL)k|t − t0 |k.k!(2.41)При k = 0 это верно, так как tZ10|yi (t) − yi (t)| = fi (τ, y01 , y02 , . . . , y0n )dτ 6 B.t0Пусть неравенство (2.41) справедливо для k = m − 1. Покажем, что оно50Глава 2. Задача Кошивыполнено для k = m.

Из (2.40) имеем|yim+1 (t) − yim (t)| 6Z t6 |fi (τ, y1m (τ ), y2m (τ ), . . . , ynm (τ ))−t0−fi (τ, y1m−1 (τ ), y2m−1 (τ ), . . . , ynm−1 (τ ))|dτ 6Z t6 L |y1m (τ ) − y1m−1 (τ )| + |y2m (τ ) − y2m−1 (τ )| + . . .t0 mm−1· · · + |yn (τ ) − yn (τ )| dτ .Используя предположение индукции, получим tZm−1|τ−t||t − t0 |m0m+1mm|yi(t) − yi (t)| 6 B(nL)dτ 6 B(nL)m.(m − 1)!m!t0Следовательно, неравенство (2.41) доказано по индукции.Рассмотрим на отрезке [a, b] функциональные рядыyi0 (t)+∞X(yim+1 (t) − yim (t)),i = 1, 2, . . .

, n.m=0Из (2.41)следует, что на отрезке [a, b] справедливы оценки|yim+1 (t) − yim (t)| 6 B(nL)m(b − a)m,m!m = 0, 1, . . . .Учитывая эти оценки и используя признак Вейерштрасса, получим, чтофункциональные ряды сходятся равномерно на отрезке [a, b]. Следовательно, последовательности непрерывных на отрезке [a, b] функцийyik (t) = yi0 (t) +k−1Xm=0(yim+1 (t) − yim (t)),i = 1, 2, . . .

, n2.3. Задача Коши для нормальной системы51сходятся равномерно на отрезке [a, b] к непрерывным функциям ȳi (t).Переходя к пределу при k → +∞ в формулах (2.40), получим, чтофункции ȳi (t) являются решением системы интегральных уравнений(2.39), а значит и задачи (2.34), (2.35).

Теорема 2.3.2 доказана.Замечание 2.3.1. Для выполнения условия Липшица (2.36) достаточно, чтобы все функции fk (t, y1 , y2 , . . . , yn ) имели равномерно ограниченные частные производные ∂fk (t, y1 , y2 , . . . , yn ) 6 D,∂yj∀t ∈ [a, b],∀(y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn ,k, j = 1, 2, . . . , n , D – постоянная. Действительно, в этом случае|fk (t, y1 , y2 , . . . , yn ) − fk (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )| 66 |fk (t, y1 , y2 , . . .

, yn ) − fk (t, ye1 , y2 , . . . , yn )|++|fk (t, ye1 , y2 , . . . , yn ) − fk (t, ye1 , ye2 , . . . , yn )| + . . .· · · + |fk (t, ye1 , ye2 , . . . , yn ) − fk (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )|.Применяя формулу Лагранжа по каждой переменной, получим|fk (t, y1 , y2 , . . . , yn ) − fk (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )| 66 D |y1 − ye1 | + |y2 − ye2 | + · · · + |yn − yen | .Следовательно, все функции fk (t, y1 , y2 , . . .

, yn ) удовлетворяют условию Липшица (2.36) с постоянной L = D.Используя это замечание, легко привести пример системы, удовлетворяющей условиям теорем 2.3.1 и 2.3.2.Пример 2.3.1. Для системы(y1 (t))3,1 + (y1 (t))2 0y2 (t) = t2 y2 (t) + cos(y1 (t) + y2 (t))y10 (t) = t sin(y1 (t) + y2 (t)) +выполнены условия теорем 2.3.1 и 2.3.2, и решение задачи Коши дляэтой системы существует и единственно на любом отрезке [a, b].52Глава 2.

Задача Коши2.3.4. Задача Коши для дифференциального уравнения n-гопорядка на всем отрезкеРассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,y (n) (t) = F (t, y(t), y 0 (t), y 00 (t), . . . , y (n−1) (t)),t ∈ [a, b],(2.42)где функция F (t, y1 , y2 , . . . , yn ) задана, а y(t) – неизвестная искомаяфункция.Рассмотрим для функции y(t) начальные условияy(t0 ) = y00 , y 0 (t0 ) = y01 , y (2) (t0 ) = y02 , . . .

, y (n−1) (t0 ) = y0n−1 ,(2.43)где t0 некоторое фиксированное число на отрезке [a, b], а y00 , . . . , y0n−1– заданные числа.Задачей Коши или задачей с начальными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, называется задача отыскания функцииy(t), удовлетворяющей уравнению (2.42) и начальным условиям (2.43).Определение 2.3.3.

Функция y(t) называется решением задачи Коши (2.42), (2.43) на отрезке [a, b], если y(t) является n раз непрерывнодифференцируемой на [a, b] функцией, y(t) удовлетворяет уравнению(2.42) и начальным условиям (2.43).Докажем теорему существования и единственности решения задачиКоши (2.42), (2.43).Теорема 2.3.3. Пусть функция F (t, y1 , y2 , . . . , yn ) определена инепрерывна при t ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn и удовлетворяет условию Липшица с константой L1 > 0, то есть|F (t, y1 , y2 , . .

. , yn ) − F (t, ye1 , ye2 , . . . , yen )| 6 L1nX|yi − yei |,(2.44)i=1∀t ∈ [a, b],∀(y1 , y2 , . . . , yn ), (ey1 , ye2 , . . . , yen ) ∈ Rn .Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решениемзадачи Коши (2.42), (2.43) на отрезке [a, b].Доказательство. Докажем вначале единственность решения. Пустьфункция y(t) является решением задачи Коши (2.42), (2.43) на отрезке2.3. Задача Коши для нормальной системы53[a, b].

Введем функцииy1 (t) = y(t),y2 (t) = y 0 (t),y3 (t) = y 00 (t),...yn (t) = y (n−1) (t).Так как функция y(t) является решением задачи Коши (2.42), (2.43) наотрезке [a, b], то функции yi (t), i = 1, 2, . . . , n являются решением задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальныхуравнений 0y (t)= y2 (t), 10= y3 (t), y2 (t)...(2.45)0y(t)=y(t),n n−1= F (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))yn0 (t)с начальными условиямиyi (t0 ) = y0i−1 ,i = 1, 2, . . . , n.(2.46)Система (2.45) является частным случаем нормальной системы (2.34) сфункциямиfi (t, y1 , y2 , . . . , yn ) = yi+1 , i = 1, .

. . , n − 1,fn (t, y1 , y2 , . . . , yn ) = F (t, y1 , y2 , . . . , yn ).Эти функции определены и непрерывны при t ∈ [a, b], (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈Rn и удовлетворяют условию Липшица (2.36) с одной и той же константойL = max{1, L1 }.Поэтому задача (2.45), (2.46) удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1 оединственности решения задачи Коши для нормальной системы. Следовательно, решение задачи Коши (2.45), (2.46) единственно, а значити решение задачи Коши (2.42), (2.43) также единственно.Докажем существование решения решения Коши (2.42), (2.43). Рассмотрим задачу Коши (2.45), (2.46). Для нее выполнены условия теоремы 2.3.2 существования решения на отрезке [a, b].