Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 7

Если все связи стационарны (склерономная система!), то время ! не входит явно в уравнения (!'). Тогда всегда можно выбрать так координаты г)„..., с„, чтобы и в уравнения (2) время ! не входило. В дальнейшем предполагается, что для склерономной системы независимые координаты дг...,, гуя выбраны именно таким образом. Тогда для склерономной системы формулы (2) и (2') принимают вид х„= р„(рн), у„= ы, (а;), а„= у„(гтг) (т=1,, ЛГ), (3) или г„=г„(дг) (т=1, ..., Лг). (3') Примеры. 1. !!войной маятник (рис. !9), движущийся в Оскости имеет две степени сво- р, 19 бады.

3 качестве независимых координат аг и да ис. можно взять углы т и ф. 2. Свободное тве«дое тело имеет шесть степеней свободы. й качестве независимых координат можно взять три координаты хл, ул, ал какой-либо точки Л тела и три угла Эйлера ф, 6 и т, 42 дисвиввнцилльныв кплвннния движиння )гя. г определяющие поворот системы осей А666, неизменно связанной с телом, относительно неподвижной системы осей координат Охуг. Углы Эйлера определяются следующим образом (рис. 20). Проводим через точку А осн Лхн'Ауь Аг„ параллельные и одина- ново направленные с осями Ох, Оу, Ог.

Линни Адг пересечения плоскостей Ах,у, и АЬ! называется линией узлов '). Тогда 0 в «угол нутации» вЂ” угол между осями Аг, и Л6; ф — «угол прецессии»вЂ” угол между осями Ах, и Л«У; у — «угол чистого вращения», образованный осями АА! и ЛЬ Тремя параллельными сдвигами — вдоль осей Ох, Оу, Ог — соответственно на хд, уд, гя триэдр асей Охуг переходит в положение Ах,у,г,. Тремя последовательными поворотами — на угол ф вокруг оси Агн на угол 6 вокруг осн АФ и на угол вокруг оси А6 — триэдр Ах„у,г, переводится в й положение ЛЬ»Ь 7 Таким образом, вели- Л чины хл1 Ул~ гл, ф, 6~ 0 определяют положение триэдра осей А666 относительно триэдра Охуг, т. е.

определяют положе- Р ние даннага твердого д тела относительно исходной системы осей координат. ту Возьмем произволь- ную точку твердого тела, Рис. 20. Она определяется зада- нием ее координат 6, ть Ь Тогда координаты х, у, г втой точки могут быть представлены как фУнкции величин хд, Ул, гд, ф, 0, Ь Так, напРимеР, из рис. 20 легко усмотреть, что г = гя + 6 э)п Ч мп 0 + Ч соз у а)п 0+ 6 сов 6.

Аналогичные, несколько более сложные формулы имеют место длн х и у'). Эти формулы представляют собой частный случай формул [2). Онп нс содержат нано т. Свободное ювердое мело являелыя склеуоножной систлельот!. ') Ось ЛАг направляем так, чтобы поворот вокруг этой аси от оси Аг, до А6 по наименьшемт углу совершалсн против часовой стрелки. *) См., например, С у с л о в Г. Кч Теоретическая механика, М, — Л., !944, стр.

УУ и 83. 43 голоиомнын системы Заметим, что прн движении твердого тела величияы кл, ул, вл, ф, 0, р менякттся и привсденное выше разложение перехода от Олуз к Асчь на три параллельных сдвига и три поворота дает представление произвольного движения твердого тела в виде сложного (составного) движения, состоящего из шести простых движений: трех поступательных (вдоль осей Ох, Оу, Оа) и трех чисто вращательных (вонруг осей Авь АФ и Аь), Поскольку угловая скорость в сложном движении равна векторной сумме слагаемых угловых скоростей, то (4) где ые, еа, е„ направлены соответственно вдоль осей Аво А.Ч, АГ, причем м„=ф, юа=д, ьь =в. 3.

Свободйая машерйальная точка М имеет три степени свободы, В качестве независимых координат можно взять декартовы или какие-либо другие координаты точки. В случае, когда Рис. 22. Рис. 21, в качестве до ды бь беРУтсЯ цилиндРические кооРдинаты г, ф, л, формулы (2) выглядит так (рис.

21): к=гсочф, у=гмпф, в=в. В случае сферических координат г, ф„ф (рис. 22) вместо формул (5) имеем х = Г сов ф яп а, у = Г зш ф Б!п ф, л =г совр. (б) 4. Несвободная машераальная шавка М находишся на подвижной сфере (к — — ас)' -1- (у Ьс)'+ (в — сг)' гь. лл диаавввнцилльныв галвнвния движвния 1гл. ! Тогда н=2 и в качестве независимых координат можно использовать «долготу» и «широту» нз сфере (рис.

23): х аг+гсоза«сОВа«у йт+гзиа«сОзасу в ~сг+Гвща« Каждой координате !у, соответствует своя обод)ленная сала ф! (1=1, ..., л). Обобщенные силы определяются следующим образом. Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях ЬА= ЯР„йг,. (7) =! Но виртуальными перемещениями йг, являются виртуальные дифференциалы (т. е. дифференциалы при фиксированном («замороженном») с) от функции г„ К 47 ) !): л л',.с д дг„ дд! с=! (» = 1...,, Л!). (8) Рис. 23. Подставим выражения (8) в правую часть формулы (7) и выразим элементарную работу активных снл на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные прира- ') Действительно, функции г„(Г, а!) (» =1, ..., Гт), будучи подставлены в уравнения связей у«(с, г„) =О (а=1, ..., Ий обращают зги уравнения в тождества.

Продифференцируем почленно полученные тождества, предварительно зафиксировав т. Найдем; Ф Х вЂ” ' = — 'Вг,=о (а=1, ..., «1), дУ, (ь) дг„ «! где Ьг, («=1, ..., «~1) — виртуальные дифференциалы. Но уравнения (ь) совпадают с первыми д уравнениями (7) на стр. 16, которыми определялись виртуальные перемещения голономной системы, Следовательно, вирауальныс дифференциалы радиусов-викторов являюжся виржуальными пврсмссцсниями гаочск голонолсяой сисюсмы, голономныв снстзмы щения В!у! независимых координат у! (1=1, ..., н): 11! дг, 11! ~ ~!(~~~ дг' е 1 ! ! с=ь,=! с=! где коэффициенты прн Вр! — «обобщенные силы Ясь — определяются равенствами (),.= ХР„~" (1=1, ..., ). (10) е=! ЬА; Я = — '. ! зч Твердое вело может двигаться только иооси х.

Тогда и=1 и в качестве независимой взять абсциссу х какой-либо точки тела А. Примеры. 5, стуиательно вдоль координаты можно При атом ВА = Х Ьх, где Х вЂ” сумма проекций на ось х всех активных сил, действующих на тело. Очевидно, что Хи есть обобщенная сила для координаты х: Я =Х. (12) 6. Твердое тело может только врищаться вокруг некоторой неиодвижной оси и. Соответствующий угол поворота у может быть взят в качестве независимой координаты. Тогда ЗА = У.а ау, (13) где Еа — суммарный момент всех активных сил относительно оси вращения и 9 = Е.и.

(14) 7. Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем трн координаты хл, ул, ел какой-либо точки А тела и три угла Эйлера ~, 3, ч (см. пример 2 иа стр, 41 — 42). Тогда, согласно равенству (9), ЗА=()„„ЗХ+Оеау+Яеал+О„аф+ЯЬЬЗ+Дтат. (15) Заметим, что на практике при нахождении величины ()! далеко не всегда пользуются формулой (10)1 вместо этого системе дают такое элементарное виртуальное перемещение, при котором только 1-я координата !у! получает некоторое приращение, а остальные независимые координаты не изменяются. После этого вычисляют работу активных сил 3А! на таком специально выбранном перемещении.

Тогда вА! = (;!сои! и 46 диееееенцилльные гэлвнения движения 1гл. г Для определения (г„сообщим телу элементарное перемещение вдоль оси х. Тогда Ьул — — Ьлл — О н Ьф=ЬВ=ЬТ=О. Поэтому ЬА = Я„зхл. Сопоставление с равенством (11) дает г),=Х Пусть теперь некоторое положение системы является положением равновесия. Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда и только тогда, когда ЬА=~', Я; ЬЕ;=-О. г 1 (18) ') Так как мы здесь имеем дело со склерономной системой, то вместо знака Ь можно писать знак л', н наоборот.

Поэтому Ф'Л вЂ”вЂ” ЬГЛ И Ьф = йф = ф ~й, ЬВ = ВМ Н ЬЗ = эя Г. Аналогично 1;>э=У, О л Здесь Х, У, Х вЂ” проекции на не- подвижные осй х, у, а главного вектора всех активных сил, действующих на тело. Дадим теперь нашему телу такое элементарное перемещение, при котором изменяется только угол ф, а величины хл, ул, лл, В и ч остаются неизменными.

Тогда ЬА =()Взф, С другой стороны, рассматриваемое элементарное перемещение тела предо~валяет собой поворот вокруг оси Аль Позтоиу в со- ответствии с формулой (13) 1',)з — Еф где ЕЗ вЂ” суммарный момент всех активных сил относительно оси Аг„вокруг которой совершается поворот на угол ф.

Совершенно аналогично ()Ь=ЕЬ и () =Е, где Еа и Š— сум- марные моменты активных сил относительно осей ААг и А~. К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной паботы актив- ных снл, приложенных к твердому телу (см. стр. 32) ): ЬА=Е(зг +Е ж. (16) Здесь Я и Ел — главный вектор и главный момент системы сил отно- сительно полюса А. Поскольку «см.

формулу (4)) ы =ма+ юз+ ют, гда не — — ф, нэ=л, н =Ч, и проекции вектора Ел на направления векторов в, ыа, ю равны соответственно Еф Еь, Е, из фор- мулы (16) находим ЬА=ХЬхл+ Узул+ Лззл+Еззф+ЕЬЬВ+Етзф, (17' Сопоставление выражений (17) и (15) дает нам выражения для обобщенных сил. 47 УРАЗНЗНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА Но приращения Ва> независимых координат дь могут быть совершенно произвольными. Поэтому равенство (18) эквивалентно системе рзвенств ()ь=0 (1=1, ..., и).

(10) Таким образом, положение голономной спстемьг является положением равноаеспя в том и только в том случае, когда в етом положенпа все обобщенные силы равны нулю. Примеры. 8. В соответствии с равенствами (19) условия равновесия свободного твердого тела запишутся так: Х= У=2=0, 1„=)а=1. =0 (20) (см, предыдущий пример). Здесь Х, 'г', У вЂ” проекции на оси координат главного вектора )т внешних снл, действующих на тело> а 1.М Еа, 1.