Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 4

Можно считать, что абсолютно твердое тело является системой материальных точек, в которой на любые две точки наложена связь рассматриваемого типа. Поэтому твердое тело можно считать системой материальных точек, подчиненных идеальнын связям. При отсутствии других связей, кроме свнзей, осуществляющих жесткое соединение точек тела между собой, твердое тело называется свободным. 4, Два твердых тела шарнирно соединены в мочка А (рис, 7), Пренебрегая массой и размерами шарнира, можно утверждать (как н в предыдущем нримере), что й, +й,=О. Но тогда й, Вг+ й, Вг = (й, + йа) Вг = О. 5. Два твердых тела при движении соприкасаются идеально гладкими поверхносюями.

(Трениеи пренебрегаем!) (рис. 8). В этом случае снова й, +й,=О. Прн этом й, и й, направлены по общей нормали й поверхностям. С другой стороны, относительная Рнс. 7. Рис. 8. скорость этих тел в месте соприкосновения в, — и„а значит, и разность возможных перемещений Фгл — дг, =(вл — й,) д! лежат в общей касательной плоскости. Поэтому й, Вг, + йл Вг, = А', Ф; + й, игл = й, (гтгл — дгт) = О.

6. Два твердых тела при движении соприкасаюжся идеально итероховашыми поверхкосшями (сзубчатое эапеплениел). В атом случае относительная скорость скольжвнив равна ил — н, О. Следовательно, и игл †, = (вл — н,) дг = О. поз~пну и здесь й, Вг, +й, Вг,=йл(дг,— Иг,)=О.

Сложный механизм можно рассматривать как систему твердых тел, которые попарно либо соединены между собой 24 дифееавнцилльные гаьвнвния движения 1гл. ~ жестко или шарнирно, либо соприкасаются своими поверхностями. Если считать все жесткие соединения абсолютно жесткими, все шарниры — идеальными, все соприкасающиеся плоскости — идеально гладкими или идеально шероховатыми, то любой сложный механизм можно трактовать как систему материальных точек, подчиненную идеальным связям. Заметим, что во многих случаях подобная идеализация не является лопустимой.

Так, например, пренебрежение силами трения может иногда существенным образом исказить физическую картину явления. В этом случае условие идеальности связей следует отбросить и вместо него взять другие условия, вытекающие из характера связей и законов трения, Однзко можно поступить иначе.

Можно и в этих случаях считать связи идеальными, учитывая при этом только нормальные составляющие реакций негладких поверхностей и рзссматривая силы трения как неизвестные активные силы. Появление новых неизвестных компенсируется дополнительными соотношениями, получаемыми из экспериментальных законов трения. При тзкой трактовке понятия идеальных связей применимость этого понятия становится практически универеальной. В дальнейшем всегда лреднолагается, что все связи, наложенные на систему, являются идеальныма ф 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода Для материальных точек несвободной системы имеют место уравнения т,то,=Г„+Ю„(»=1, ..., М), (1) где т, — масса »-й точки, ян„ вЂ” ее ускорение, а Р„ и А'„— соответственно равнодействующая активных снл и равнодействующая сил реакций, действующих на эту точку (» = 1,..., 1»1).

Поскольку связи идеальны, то в любом положении системы при любых виртуальных перемещениях (2) а а> ОЕЩЕЕ УРАЫ>ЕНИЕ ДИНАМИКИ Полставляя сюда вместо реакций )с, их выра>кения из урав- нений (1) и умножая обе части полученного равенства на — 1, получаем '5", (Є— т„то„) дг„= О. (3) э=! Равенство (3) называется общим уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам Р„(ч=1, ..., М).

Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3): Тогда, полагая )с„т„та>„— Р, (ч=1, ..., И), ') При этом не следует эабынать, что общее уравнение динамики (3) представляет собой, по существу, не одно уравнение, а систему уравнений, поскольку для любого момента времени в уравнение (3) вместо Ьг„(ч= >, ..., Ф) иожно подставить произвольные внртуальнмс перемещения. будем иметь равенства (1) и (2). Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции )с„, которые в силу равенства (2) были бы допустимыми для данных связей и при которых имеют место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1), й(ы считаем, что зти реакции тть, в действительности реализуются («гипотеза о реализации допустимых реакцийь) и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам Р„(1, г„, я>„) (э=1, ..., М).

Таким образом, общее уравнение динамики выражает нсобходнмое и достаточное условие для того, чтобы движение, совлаестимое со связями, соответствовало заданной системе активных сил Р„(э=1„..., М) >). Найдем выражения для реакций тс„с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек 26 диффвввнцнальныа гвлвнвния движения 1гл. ! системы (см.

$ 2); Ю вЂ” Зг„— О гт„г; э=1 г« ~ч', У Зг„=О э ! (и=1..., !т), (.4) Умножая почленно равенства (4) и (б) на произвольные скалярные множители — Л и — р и складывая почленно полу« ченные равенства с равенством (2), получаем: (6) В развернутом виде это соотношение запишется так: а! / л ~ 1»,„— г' 1в — льА,,~В,-/-ыь,-/-!*)В*,=«(6) «=! а ! а ! Здесь мы через (у)„и (л)„сокращенно обозначили вырзжения, которые отличаются от выписанного в формуле (6') коэффициента при Зх„заменой букв х, А на у, В или на г, С соответственно. Соотношения (7') 2 2 позволяют выразить Ы+З из ЗМ виртуальных приращений Зхя Зу„Ьг, через остальные л=З)Ч вЂ” !( — а приращений.

При этом определитель 7 составленный из коэффициентов при «зависимых» приращениях в уравнениях (7') $2, отличен от нуля. Подберем !»+й множителей Л„и !» так, чтобы в равенстве (6) коэффициенты яри !г+й' «завйсимых» приращениях обрзтились в нуль. Это можно сделать, и притом единственным образом, ибо определитель / из коэффициентов при определяемых величинах Л„, !» не равен нулю. После этого в равенстве (6') остаются только слагаемые с независимыми приращениями Ьх„, Ьу„, Згя Но тогда и коэффициенты при этих независимых приращениях также должны быть равны нулю.

Йначе говоря, неопределенные множители Л„и р могут быть подобраны так, чтобы все скалярные коэффйциенты озщвз и лвнвнив дннлмнки з а! в равенстве (6') и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве (6) обращались в нуль. Но тогда 1«,= ~,~~~ Л„д" + ~ !«ЗХа«(«.=1, ..., А!). (7) «! а ! Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа )«р. (а=1, ..., 4 ел=1, ..., 8). Подставляя выражения (7) для лг„в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагранжа первого рода '): л ~,~,=лг«+ ~ )'„д + ~ ~Рата„(~=1, ..., А(). (8) и=! а=! К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей: 1,(г,) = О, У 3 т;+ 77 = 0 (« = 1, ..., 4 Р = 1, „ а).

(9) « = ! Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из ЗА!+ «а+8' скалярных уравнений с ЗМ+ «!+ а неизвестными скалярными величинами хе уи г„, Ам !«. Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьмз затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются. В й 6 и 9 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих урзвнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) рвано ЗА!†«1, т.

е. на 2Ф+ д единиц меньше, чем в системе уравнений (8) и (9). ') Эти уравнения были получены французским математиком и механиком Ж. Лагранжем в его знаменитом трактате «Аналитическая механикаъ, опубликованном в 1788 г, (русский перевод т. ! вышел в 1938 г., !. !! — л 1950 г.). В атом трактате впервые были изложены основы авалвтической механики. 28 диоовввнцилдьнын гвлвниния движнния (гл. ! — [(ха — х,)'+(у,— у,)' — Р] =О, ~ (х, — х,)(у, +У») — (Х»+х»)(уз — у,) = О.

! (10) Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями Л и и имеют вид у» = — Л (хв — х») — И (Уа — У»)» (1 1) О»= — и — Л(у,— у,)-[-р(х,— х,) ! .Оа = Л (х, — х,) — р (у, — у»), уа = К+ Л (уа — у») + Г»(х» —.»»). (12) Из уравнений (11) с учетом первого уравнения (10) определим Л и гм Л = — —, (у,— у,) — —, [(х,— х,)х»+(у, — у,)у»]г (!з) 1, = —, (х — х,) — т [(у, — у,) с» — (х, — х») О»]. Заметим, что уравнения (12) получаются из уравнений (11), если в последних заменить Л на — Л и Х„Я» — на У„Я». Поэтому, определяя Л и р из уравнений (12), находим Л = —,(у,— у,)+ — „[(х,— х»)х»+(у,— у,)у,], Н = (ха х») — Ну» у») Х» (ха х»)Я, (14) Приравняв между собой соответствующие выражения для р и Л в формулах (13) и (14), после элементарных преобразований получим (с» — х») (уа — у,) — (Я» — Р») (х, — х,) = О, (15) (.с» + Х») (х, — х») + (Оа + О») (у, — у,) + 2н (у, — у,) = О.

Введем сокращенные обозначения: и = ха — х», о =уа — ум Р= х» + х», () =У» + Фа. (16) П ример. Две весомые материальные точки М, и М, с одинаковой массой т=! соединены стержнем неизменной длины 1 с пренебрежимо малой массой. Система может двигаться только в вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М, и М,.

Пусть хо у, и хм у,— координаты точек М, и М,. Запишем уравнения связей: ОБЕ!ее уРАБНение динАмики % в! Тогда уравнения (10) и (!5) перепншутся так: и'+ от = Р, 1 Оо — иВ аа О, ) (17) Ро — РУи=О, Фи+ Яо+ 2ео = О. (18) (19) и=!совр, о=1в!яр, я=а=сопят, 7= ар+ р. (20) Согласно равенству (18) можно положить Р= — и, р',7= — о. у у 1 (21) Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства (17) и (20), найдем /+ — о=О ° 2я ! т.

е, У= — 2яяп 7. Тогда — = — У= — — в!ну и у = — совр+27. ау 1 2я . 2я аар а а а Следовательно, в силу равенств (20) и (21), имеем Р=2(7+ — совр! сов Р, 11=2!тт+ — совр)Яп Р. (22) а а Интегрируя, находич х в+ Хв = ~ Р вгг= — 1 Рар = 1 Г а 0 27 . я = — в!пр+ —,япусовр+ —,7+2Б, (28) 8 у, +ув —— — — сов р — —, сов у+ 2в. 27 Ю а в Равенства 117) показывают, что в плоскости (и, о) точка с координатами и, о движется по кругу радиуса 1 с центром в начале координат, причем ее ускорение все время направлено к центру. Но тогда движение этой точки будет равномерным.

Поэтому зо дифевявнцнлльныи галвнвння движения !гл. ! Из равенств (16), (20) и (23) окончательно получим хс — — — 3!и Е + — Б!п а соз т + — и — — соз т + Ь, К « 2а~ 2«т 2 у, = — — солт — — соз à — — з!от+ «, 7 К « 2«т 2 (24) х« — — Б!п Ч+ — Яп о солт+ — т+ — соз т+ Ь, К К « 2«' 2«' 2 = — — солт — — соз т+ — з!от+«, = вот К а 2«« 2 («, Р, т, Ь, с — произвольные постояяныс). ф 4. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера . Полоз!гением равновесия называется такое положение системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находилась в этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю.