Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 2

Эти системы подробно изучзются в главе !. В специзльном параграфе этой главы, посвященном электромеханическим зналогиям, выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. В главах Ч и Ч!' даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова н теории колебаний. Наряду с классическими вопросами теории линейных колебзний излагаются и элементы современных частотных методов. Задачи из динамики твердого тела разбираются в отдельных примерах, Книга предполагает у читателя знакомство с общими основами теоретической механики и высшей математики. Книга предназначается для студентов и аспирантов механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-иссче ователей н других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание книги подготовлено к печати уже после смерти ее автора. Работа по подготовке этого издания была выполнена кафедрой механики Московского физико-технического института, которой в течение многих лет руководил ф, Р. Гантмахер. Большая часть исправлений и дополнений, сделанных в процессе этой работы, отражает пожелания и замечания, высказанные автором сотрудникам кафедры. Некоторые исправления обусловлены стремлением сделать текст более доступным для студентов. Внося эти уточнения, кафедра стремилась полностью сохранить специфические особенности книги, в которой строгость выводов основных положений аналитической механики и лаконичность текста удивительным образом сочетаются с предельной ясностью изложения.

М, А. Айзерман Август 1969 г. ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В 1. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация Изучается движение системы материальных точек Р,(»= = 1, ..., Аг) относительно некоторой инерциальной (галилеевой) системы координат. На положения н скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями. Системы с такого рода связями называются несвобадмылги в отличие от свободных систем, у которых подобные связи отсутствуют.

Аналитически связь выражается уравнением у'(г, дм г„) = О '), где в левую часть входят время Г, радиусы-векторы г, и скорости о„=г„ всех точек Р„ системы (т = 1, ..., )гУ). ') Точка, поставленная над буквой, обозначает дифференцирование соответствующей величины по времени. Все радиусы-векторы строятся из одного н того же полюса, неподвижного в данной системе координат. Далее, у(Г, г„ г„) представляет собой сокращенное обозначение длЯ фУнкцйи У(А г„ ..., глл гп ..., гж).

Подобного рода сокращенные обозначения будут употребляться на протяжении всей книги. Если лм ум л„ вЂ” декартовы координаты точки Р„ в рассматриваемой системе координат (ч = 1, ..., )т), то функцию у можно считать функцией ог бдг+ 1 скалярных аргументов Г, л„ у„ л„ .С„, ))„, л,(ч = 1, , Аг). Относительно функции Л как и относительно всех функций, встречающихся в дальнейшем тексте, предполагается (при отсутствии соответствующих оговорок), что эти функции непрерывны вместе с теми своими производными, которые фигурируют в соответствующих местах текста.

12 диээзэвнцилльныз уялвнзния дзнжання !Гл. ! В чзстном случае, когла скорости к„ не входят в уравнение связи (1), связь называется конечной нли геометричееногл. Ее аналитическая запись выглядит так: у(г, г„)=О. (2) В общем же случае связь (1) называется дифференциальной илн гглнематичееной. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких дифференциальных связей, в уравнения которых скорости точек входят линейно: 'Я г„г„-+ Г) = О. Здесь Г,т„— скалярное произведение векторов 7, и го а векторы Г„и скаляр 0 представляют собой заданные функции он 1 и всех и„ (р.,ч = 1, ..., гч). Г1ри этом прелполагается, что векторы 1„ не могут все одновременно обращаться в нуль.

При наличии конечной связи вида (2) система не может в каждый данный момент времени занимать произвольное положение в пространстве. Конечная связь накладывает ограничения на воаможные положения системы в момент времени й При наличии же только дифференциальной связи система в любой момент времени г может иметь произвольное положение в пространстве.

Однако в этом положении скорости точек системы уже не могут быть произвольными. Дифференциальная связь накладывает ограничения на эти скорости. Кзждая конечная связь вида (2) влечет за собой как следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается почленным дифференцированием равенства (2): — -г„+- — = О, дУ . ду дг, " дг (4) ю ! где — =йга<1,г (э=1, ..., М) ). Но такая дифференциальная связь не эквивалентна конечной связи (2). Она эквива- ') Если г„х,я+у„/+з,й, где Г, у, Ф вЂ” зззимио-ортогоизльиые орты коордиизтвых осей, то дУ др , дУ дУ вЂ” = — г+ -- У+ — й (ч=1, ..., Дг). дг„ дх„ ду„ дл„ Фц своводныз и ннсвоводныв снствмы 13 лентна конечной связи у (1, г,) = с, (б) где с — произвольная постоянная.

Поэтому конечная связь (4) называется интегрируемой. Заметим, что в прямоугольных декартовых координатах уравнения связей (1) — (4) записываются так: л (г» хч, уч, 2» х» .1'ч 2 )=О, (11) у(1, к„уч, «,)=О, (2') и ~Х~ (А«к»+ В„У„+ С„йч)+ П= О '), (3') «=1 и ч=1 Конечная связь (2) или (2) называется стационарной, если 1 не входит явно в уравнение связи, т. е.

если — = О. ду дс В этом случае левая часть уравнения дифференциальной связи (4) лннейна и однородна относительно скоростей. По аналогии с этим дифференциальная связь (3) илн (3') называется стационарной, если О=О и векторы Ю„в уравнении (3) 1соответственно коэффициенты Ач, В„С, в уравне; нии (3')] не зависят явно от 1. Система материальных точек называется голономной, если на точки этой системы не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи. Таким образом, голономной является всякая свободная система материальных точек, а также несвободная система с конечными или дифференциальными, но интегрируемыми связями.

У голономной системы все связи могут быть записаны в конечном виде. При наличии дифференцнзльных неинтегрируемых связей система называется неголономной а). Система называется снлерономной, если на нее наложены только стационарные связи. В противном случае система называется реономной. (4') ') А„, Вч, Сч (ч = 1, ..., Д«) — скалярные функции от й ко уо 21, ...» ХН,УН, ЛН„ ') Часто и сами дифференциальные неннтегрируемые связи называются неголономнымн.

Иногда дифференциальные интегрируемые связи называются полуголономными, 14 дие энзиицилпьиыв яглвивиия двипсииия (гд. 1 П р и и е р ы. 1. Материальная псочка только по поверхности. Пусть уравнение задано в виде У(г)=0 или может двигаться этой поверхности (6) у(х, у, )=О. (6') Это конечная стационарная связь, Если поверхность подвижная или деформнрующаяся, то в уравнение поверхности явно войдет время 1: у«, «)=о У«, х, у, г) = О.

(7) нли (7') В этом случае связь конечная, но нестациоиарная, 2. Две материальные точка соединены стержнем постоянной длани 1. В этом случае уравнение связи имеет вид (г, — г,)' — 1' = 0 (8) или (х, — х,)' + (у, — у,)'+ (г, — г,)' — Р = О. (8') (г„— г,)' — У' (1) = О (О) нли (х,— .)'+О,— у.)'+( — *.)' — у'«) =О. (О') Это голономная реономная система. 4. Две материальные точка в плоскости соединены стержнем постоянной длины 1 и могут двигаться только так, чтобы скорость середины стержня была направлена вдоль стержни (дважение конька по плоскости), Уравнения связей записываются следующим образом: г,=О, г,=О, (х, — х,)'+ (у, — у,)' — и = О, Хс+Х у +уь х,— х, у,— у,' (! О) Эта система неголономная, так как последнее из уравнений (1О) определяет дифференциальную неиптегряруемусо свлзь, Это голономная склерономная система.

Заметим, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга, т. е. подчиненных связям вида (8). С этой точки зрения свободное твердое тело является частным случаем несвободной голономной склерономной системы материальных точек, 3, Две материальные точки соединены стержнем переменной длины 1 у«). Уравнение саван записывается так: $ з! ВОЗМОЖНЫЕ Н ВНРТУАЛЬНЫЕ ПЕРВМЕЩЕННЯ 16 Наряду со связями вида (1), которые называются удерживающилги, в механике рассматриваются также неудерживающие связи, которые записываются в виде неравенства 1(У, г„г,)~0.

(11) В качестве примера можно рассмотреть две материальные точки, соединенные нитью длиной й Эта связь выражается неравенством р — (г, — гя)я ~ О. (12) Если в условии (11) имеет место знак равенства, то говорят, что связь напряжена. Движение системы, на которую наложена неудерживающая связь, можно разбить на участки таким образом, чтобы на Одних участках связь была напряжена и движение проходило так, как если бы свяаь была удерживающей, а на других участках связь была не напряжена и движение проходило так, как если бы этой связи не было. Таким образом, на отдельных участках неудержнваюшая связь либо заменяется удерживающей, либо совсем отбрасывается. Исходя нз этого, мы в дальнейшел! 6удель расслатривагль исключиглельно удерживающие связге В 2.