Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 8

— проекции главного момента Ел этих снл на трн некомпла- Р парных направления. Поэтому скалярные равенства (20) эквивалентны двум векторным: АА — — О. Это необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела„которые уже были установлены иа стр. 32. $ 6. Уравнении Лагранжа второго рода н независимых координатах Приступая к выводу дифференциальных уравнений движения голономной системы в независимых координатзх рн ... ..., и мы будем исходить из общего уравнения динамики ~'(Р, — т„то„)8Г„=О.

и л 8А = ~ '„Р„ЙГ„= У Ц~ 80т (2) >=1 где и р '~~'р ' (1=1, ..., и). >= — 1 Вспомним полученное в предыдущем параграфе выражение для элементарной работы активных сил 48 диФФВРенциальные уРАВнения дВижения !Гл. ! Но скорость ъ! д!„° др„ ь=! (6) линейно зависит от !)ь (л=1, ..., и). Из этой формулы находим дг„дг, — — (1=1, ..., и; ч=1, ..., Лг).

(7) дд,. дй С другой стороны, из того же равенства (6) получаем л дг„Ъ1 д'с; . д'!', д дг„ дй; а' ! да!дда дйгдт дт дд! (8) «=! (1=1,, л; ч=1, ..., 111). Поэтому выражение (5) для л! может быть записано и так: У/ и с! дг„с! ° дг„ ддТ дТ вЂ” — — (г=1, ..., и), (9) дед~! дд! где Т вЂ” кинетическая энергия системы: А! Т=;- У г!г„г,', ! (10) Совершенно зналогично можно предстзвить элементарную работу сил инерции — т„тп„ (»= 1, ..., М): !У л 8А ! = — ~Ч ', т„тв, йт „= — ~Я ', Л! 8!Тг, (4) э=1 ! ! где по аналогии с выражением (3) !У М ч ! '! А! А! д ъ~ .

дл, ж! . д дㄠ— — гп ! — '' — т лг !' — —" (1= 1...,, л). (5) да а~! " 'да! а'! " "д! дй! =1 «=! 49 УРА8НЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА а 6! Общее уравнение динамики (1) нам дает 0А+ оАг= О, (11) или, в силу равенств (2) и (4), л ~Ч',٠— В!)Ьдг=О (г=!, ..., п). (12) !=1 Так как а! — независимые координаты и поэтому 3д!— совершенно произвольные приращения координат (! = 1,..., п), то равенство (12) может иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при 3д! в уравнении (12) равны нулю.

Поэтому общее уравнение динамики (12) эквивалентно системе уравнений Лг=Я! (1=1, ..., и), (1З) которые, согласно соотношениям (9), могут быть записаны в следующем виде: ддТ дТ вЂ” — — — =О! (1=1, ..., п). (14) ат др! да! Уравнения (14) носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа а независимых коо!- динатах. Величины а! (т=1, ..., и) называются обобщенными екороетпми. Скорости точек системы е„=Г, выражаются через обобщенные скорости (а также через независимые координаты и время) с помощью формул (6). Величины (1=1, ..., и) называются обобщенными ускорениями. В левые части уравнений Лагранжа (14) после выполнения операции — входят время 1, обобп!енные координаты ав обобщенные скорости ф! и обобщенные ускорения 1)! (1=1,..., и).

Обобщенные силы О! (1=1, .... п), стоящие в правых частях уравнений Лагранжа, обычно задаются') как функции от 1, ал, <)л (й=1... „и): О!= Ог(1, йл, 1)л) (1=1, ..., и). (15) ') См, формулы (3) и (6) этого параграфа, а также формулу (!О) яа сгр. 20 и формулу (2') иа сгр. 40. 50 дивфзвзнцнальныз гзазнвння двнжзния 1гл. ~ А', = т„то„— Р„(» = 1, ..., М). (16) В случае свободной системы материальных точек уравнения Лагранжа представляют собой компактную запись уравнений движения в произвольной системе координат. П р и м е р н.

1. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной овя и. В качестве независимой координаты берем угон поворота т Соответствующая обобщенная сила Д (см, пример 6 иа стр. 45) раВНа ВращавщЕМу МОМСИту Е . С друГОй СтОрОНЫ, Т= — Улт',Гав 1 Тл — момент инерции тела относительно оси вращения, Уравнение Лагранжа ддТ дТ вЂ” —, — — =4) т др дт после подстаяовяи дТ дг =Улт, дй дТ вЂ” =О д 'е — йл принимает внл тир =Хе. Уравнения Лагранжа (14) образуют систему нз л обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с н неизвестными функциямн о, от независимого переменного й Порядок этой системы равен 2и.

Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голономной системы с и степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2л, так как в силу произвольности начальных значений величин ов и ав (1=1, ..., и) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2л произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимык координатом имеет наименьший возможный порядок. В случае несвободной системы подлежат определению еще реакции )с, (»=1, ..., 1»).

Реакции не входят в уравнения Лагранжа. Это существенное преимущество уравиений Лагранжа. После того как уравнении Лагранжа проннтегрированы и найдены функции дв(1) (1=1, ..., л), определяют (подстановкой этих функций в формулы (2') на стр. 40] г„= г„(Ф) и, следовательно, ю„ = г„, то„=г„ и Р„(8, г„, г„) (» = 1, ..., г»). После этого неизвестные реакции определяются из формул Ь 61 УРАВНВНИЯ ПАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 51 Это дифференциальное уравнение врищения л~вердого тела вокруг неподвижной оси. 2. Двойной математический маятник, движущийся в плоскости (рис.

24). Составим выражение для элементарной работы ЬА=т йвг + т йвгь, где г,=1, сове„г,=)г сове, + т„совйм Вычисляя Ьг, и Ьг„находим: ЬА= — (т, +те)31,61пч, ЬЧ,— т,й(ел!пть Ьтт и О,= — (т, + ат)31, ащчо Оь= — тьйге 61пьм С другой стороны, 1 Т= — т,(1, 'фт+ 2 1' + — т (Гг Ч( + Геь )т + 2)фе сов(ч, — Ч,) фгйе)= (тг+ л|е) 11 'Р(+ тле)г)ььгть сов (ч, — Р ) + 1 + — тЯ 61, 2 Первое уравнение Лагранжа йдТ дТ вЂ” — — — =0 йт др, дч, имеет вид й —, Пт, +т,) 11 Ф, + т,ГАВ, с (Р, — р,)) + + тли(ьу1уь 61п (Рг — Рт) = = — (т, +т,)й),ыпро Рнс.

24. Предоставляем читателю составить второе уравнение, соответствУющее кооРдинате Ьм 3. Требуется определить дифферент)иальные уравнения движения свободной материальной точки е сферических координатах (см. пример 3 на стр. 43 н рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей: 1) радиальной; 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана н 3) вращательной от вращения плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогональны, и потому Т= — то' = — т (г' + гтчь+ г' е)птч ~т).

1 1 2 2 Для нахождения обобщенной силы Яг ладим точке перемещение вдоль радиуса. Тогда ЬАг= Р,ЬГ, где Р†проекц приложенной силы ет на направление радиуса. Отсюда (), =рг, бй ДИФФВРЕНЦИАДЬНЫВ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 1ГЯ. ! Теперь дадим точке элементарное перемещение по меридиану. Тогда ВАР= Ртг ар, где Р— проекция силы Р на касательную к меридиану ').

Поэтому !',)Р=Р г. Аналогично (УР=Ртг мп Ф, где РР— проекция силы Р на касательную к параллели. Уравнение Лагранжа для координаты г д дТ дТ г дт дг дг принимает вид т (г — тра — г а)па ч фа) = Р,. Для координат у и ф находим уравнения ю (гв + 2гв — г авт Ф с!и Р фа) = Р, я! (г ып Р ф + 2 в1п Ф г ф + 2г соа Р ч ф) = Рф Мы получили три дифференциальных уравнения движения свобод- ной материальной точки в сферических координатах. й 7. Исследование уравнений Лагранжа Для того чтобы составить уравнения Лагранжа, нужно предварительно найти выражение для кинетической энергии в виде функции от времени 1, обобщенных координат !у! и обобщенных скоростей д; (1=1, ..., и). Сделаем это в общем виде: т= 1 1т,'„'=-~-Хт (Х~ "ф!+д )' я ! я ! ! ! я я 1 ~~~, и!АЧ!фь+ ~~~ а!ф!+на (1) 1, ь=! 3=1 ') Касательные к меридиану н параллели направляем в сторону возрастания соответствующих координат Р и ф.

зт! ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 53 Эдесь коэффициенты аы, аь аз — функции от Е, р„..., !Е„, определяемые равенствами н дг„д! „ "д>Е! д>ЕА > =! ,Ч дг„д! „ "дд! дг ! (Е, Ег=1, ..., и) '), (2) (Е=1, ...„п), (3) а!= 2- ~~! т„(-дс) . ! (4) Формула (1) показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей; Т= Тя+ Тг+ То, где 1 Т, = — ~ а!А!)!ЕЕА, Т,= ~~) а!ЕЕ!, Т>=аь (6) В случае склерономной системы, как было выяснено в й 1, время Е явно не входит в зависимость между г„и !Е!, и потому дг, д, — — О (У=1, ..., М. Но тогда, согласно равенствам (3) и (4), а,=О, а!=О (1=1, ..., п) и е 1 Т = Т, = — Г а!А(!!Е)яг г,ь ! ') из формул (2) кидно, что о;А=ив; (!>А 1> ..., и).

Таким образом, кинетическая внерзия склерономной висте,ны предсгпавляется в виде однородной функции второй степени (квадратичной фориы) от обоби~еннык скоростей. 1гл. ! !)е1(ада)!ь ! Ф О. (7) 11ействительно, пусть г1е((а! )рр, ! = О. (8) имеет вешественное ненулевое решение. Умножая систему (8) почленно на Х!, суммируя по 1 от 1 до п и используя формулы (2), получаем: Отсюда Зтн Ф векторных равенств можно заменить ЗЛГ скалярными: 54 диззвавнцизльныв гзлвнзння движения Заметим, что у произвольной (склерономной или ной) голономной системы форма Т, является всегда жденной, т. е.

определитель, составленный из ее пкентов, отличен от нуля: Тогда система однородных линейных уравнений "', ага)!„=О (1=1, ..., а) А=! реоном- невыро- коэффи- исследование гглвнвний ллгглнжа $ т! Равенства (9') показывают, что в якобиевой функциональной матрице дх! дй, ' ду, де,' дл, д!(г ' дх, ' дтл ду, ' дЧл дл, ' дй„ дхл дхл до, ' ''' ' дЧл ду,ч ду,ч дй, ' ''' ' дол дг~ дгч дог ' "' ' дол (1О) ') Ранг функциональной матрицы (!0) может быть мегьше и в отдельных (особых) точках. В этих особых точках возможно равенство бег(а, )йл,~ — О. В дальнейшем мы такие особые поло- щения системй исключаем нз рассмотрении, столбцы линейно зависимы, т. е. ранг р этой функциональной матрицы меньше л.