Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 10

В этом случае и Р„е, = — 2)7, =1 (27) (28) тле (29) В 9. Электромеханические аналогии В этом параграфе иы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим, но и к электрическим и электромеханическим системам. Рассмотрим контур, в котором индуктивность )., омиче кое сопротивление Я и конденсатор с емкостью С 64 диФФВРенциллъные уРАВнения движения ~гл.

соединены последовательно (рис. 2б). Лля этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) и величиной тока 1 (1= —, где Ч вЂ” заел ет' ряд) будет соответственно равна и=1.—, и=гт1, и= — ~ 1г(1. Ж . 1 Г Ег' ' С (1) Если в контуре имеется еще внешний источник э. д. с. е(1), то, записывая, что величина э. д.

с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметь 1. — + Я1+ — ~ 1 й = е (1), (2) или Это уравнение является аналогом уравнения механических колебаний а —, + Ь вЂ” „+ с~у = С1 (1). (4) При этом индуктивности Е отвечает инерционный коэффициент (обобщенная масса) а, омическому сопротивлению Ф Рнс. 25. Рис. 26. 1 гс — диссипативный коэффициент Ь, коэффициенту — „где С вЂ” емкость„отвечает приведенный коэффициент упругой силы с, заряд д соответствует обобщенной координате ~у, э. д. с.

е(1) — обобщенной силе Я(1). С другой стороны, в контуре, изображенном на рис. 26, складывшотся токи, проходящие через индуктивный элемент, электгомвханнческив аналогии з а! сопротивление и конденсатор, поэтому — + — ~ пас+С вЂ” „~=с'(С). Почленно дифференцируя, получаем: сРи 1 до 1 Ж С вЂ” + — — - + — и= —. иР й дг А иТ' Здесь мы имеем другую систему аналогий, в которой координате а соответствует напряжение и и механические 1 1 коэффициенты а, Ь, с заменяются на С, —, —; обобщенной гй силе Я (!) здесь отвечает величина — , иг ' Две электрические системы, имеюи!гге одинаковые (с точностью до обозначений) уравнения, представляют собой две равные электрические модели одной и той оке механической системы.

Кинетической и потенциальной энергиям, функции Релея, обобщенной силе у механической системы с одной степенью свободы Т= — ай', )с= — Ьй', П= — са~, Я=Я(О ! - 1 . 1 2 в первой системе аналогий соответствуют величины т= — 'И', й= ! у', и= ~д', = (~), в во второй 1 ., - 1 ., 1 , и! т= — Сй, )с= д й', П=— Таким образом, системы электромеханических аналогий опре- деляются следующей таблицей: 3 Ф. Р. Гыонахер бб диФФВРВнпнальныВ РРлвнвния дВижвния 1гл.

! Рассмотрим В качестве более сложного примера электрическую цепь, изображенную на рис. 27. Рнс. 27. Составим уравнения Лагранжа, придерживаясь первой системы аналогий; предварительно вычислим 1 ., 1 Т= 2 ?1?1 + 2 ЕЗЗ13?3 — фЗ), .3 ! .3 2 1 '+2 з?3+2 1 1 2С, чз+ 2С1, 1'?1 Кроме того, аз=аз=0. Положим е1=А з1п Ж. Теперь выпишем уравнения Лагранжа ?1??1+ ЙЗЯЗ+ т — 3?1 — С 1?3 — — А З1п Заг, 1 1 13 !3 1' 1 ?ы3?з — ?-ззЧз+Йз??з+С 1?з 1?1=б С„ ?-333 3 — ?.33 1?3+ ?Сз!?3+ 3?з = и.

! СЗ Эти уравнения и будут уравнениями электрической цепи, изображенной на рис. 27. УРАВНЕНИЯ АППЕЛЯ э !в! 67 ф 1О. Уравнения Аппеля для неголономных систем, Псевдокоординаты В этом параграфе мы выведем уравнения Аппеля, определяющие движение неголономной системы. Пусть на неголономиую систему наложены с( конечных и л дифференциальных связей (см. $1). Использовав сначала только !л конечных связей, мы выразим радиусы-векторы точек системы через лт=Зтт1 — !л независимых координат !ут, ..., ~у и время Й ,т;=«„(1, у„..., ~у ) (~=!, ..., Ю). (1) Отсюда т'„= 1) - — '!ут+--! (ч=!, ..., М) (2) !=! Однако г, и «, (ч=1, ..., М) удовлетворяют еше дифференциальным связям ') у; г,,г,+В,=О (2=1, ..., д), л=! где ХМ и 1) являются функциями от 1 и «„(в=1, ..., М). Подставйв выражения (1) и (2) для г„и «„в уравнения связей (3), иы представим эти уравнения в виде Х Ав,1(с+А!=О ф=1* ".~ У) (4) ! ! где коэффициенты А .

при ф! и свободные члены А„являются функциями от 1 и !у,, ..., 4! . Таким образом, для неголономной системы координаты !у!„..., д„, могут принимать произвольные значения, но при атом абобшенные скорости р!, ..., р уже не могут быть ') Функции (!), будучи подставлены в уравнения конечных связей, обращают их в тождества. Поэтому при использовании представления (!) нужно учитывать только днфференпнлльвые связи, 3' 68 ДИФФВРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛВИЖЕНИЯ 1ГЛ. 1 произвольными; они связаны между собой соотношениями (4). Считая и связей (4) независимыми, мы можем из уравнений(4) выРазить и обобгценных скоРостей, напРимеР дл,,..., д„, чеРез остальные дь ..., ф„(п = т — д= Здг — 11 — ив число степеней свободы системы; см. стр. 19).

Скоростям до ... „дл можно давать произвольные значения, и тогда уже определятся значения остальных скоростей. Однако мы пойдем по более общему пути и в качестве независимых величин возьмем не л (л — число степеней свободы) обобщенных скоростей, а некоторые и независимых линейных комбинаций этих скоростей' ) к, = ~Ч ', Ул181 (В=-1, ..., Л), 1 где ӄ— функции от 1 и ~у1, ..., д„е На линейные формы (б) нужно наложить лишь одно условие; эти и линейных форм вместе с и линейными формами должны образовать полную систему из т=п+л линейно независимых форм, т.

е. определитель, состзвленный из коэффициентов этих т форм, должен быть отличен от нуля. Тогда величины й, (л=1, ..., и) смогут принимать произвольные значения, так как при любь1х значениях этих величин мы найдем соответствующие ф1 (1=1, ..., т), разрешая систему линейных уравнений (4) и (б). Прн этом получим ф1= '5', й1лк,+Ь1 (1=1, ...„т), (6) где Ь„и 81 — функции от 1 и д1, ..., у . Величины к„являющиеся линейными формами от обобщенных скоростей, будем называть лсевдоскороетплги, а символы к,— лсевдокоордипатажп (в=1, ...п).

В частности, й, могут совпадать с некоторыми обобщенными скоростями. ') Нвм удобно обозначать линейные комбинации 1Е) через а„ хотя сзм символ к, может не иметь смысла, твк как правая часть равенстве (5) может не быть полной производной. $ !О! УРАВНВНИЯ АППВЛЯ 69 34!= ~ч'„лг,йяа (1=1, ..., лг). а ! Выражение для работы элементарных сил на виртуальных перемещениях можно представить в виде 5А= 'у,' Я! 3(г„ (7) ! ! (6') где, как и для голономной системы, !ч Я;=,~, Р„8~" (1=1, ..., т). н =- 1 Теперь, подставив в равенство (7) вместо 34! выражения (6'), найдем и л а, и $А= г о, а', а„м,= а (а,' !но)3 „ г-! а-! ! т.

е. 8А= "~~ П,йя„ а 1 (8) В В случае склерономноя системы ар!= !14! =4г!гг и нагому, согласно формулам (5) н (5'), Ьна= .а от. В общем !ке случае !и+и величин я, и ф! связаны зависимостями (5) и (6) йля того чтобы найти ограничения, налагаемые дифференциальными связями на виртуальные перемещения Ьди нужно (см. 9 2) в уравнениях (4) отбросить свободные члены А и заменить )! на Ьу! (1=1,..., л). Тогда мы получим В ~Ч', А гйу!=0 (р=1, ..., и). (4') !=! В соответствии с равенствами (5) вводим обозначения ') т Ьи = Х У~! 57! (8 = 1, ..., л). (5') а=! По предположению формы (4') и (5') линейно независимы, Поэтому оя, могут принимать произвольные значения, а соответствующие 84! определятся из системы уравнений (4') и (5'): УО лисвевенпнлльныв уйлвнения двнжвния !Гл.

! где »» я» Ю П Х йы а,)',)' )т дг Р (в — 1, ..., и). (9) ! ! » 1 ! г, = ~~~ в„я, + в, (ч = 1, ..., Ф), (1О) » ! где в„, н в, (я=1, ..., Ф; в=1, ..., л) — некоторые вектор-функции от ! н»у!, ..., у . Из равенств (10) находим ') Ьг„= ~ еыЬс, (т=1, ..., М) (11) г, = ~, в„,й,+... (»=1, ..., М); (12) при атом в правых частях формул (12) выделены лишь члены, содержащие псевдоусяоренпя я, (в=1, ..., и). С помощью равенств (8) н (1!) запишем общее уравнение динамики !г ЬА — 5", л»„г,йг,=О (13) в таком виде: (П» —,~! «т»с»в»»» Ья, =О.

» !» ! (14) ') Величины г„, я, н ф! связаны соотношениями (2), (4) н (5). Исключив нз а!их соотношений величины вь мы получим формулы (!О), Величины Ьг„, Ьг и Ьйй удовлетворяют однородным соотношениям (2'), (4') й (5'), которые отличаются от соотношений (2), (4) и (5) только отсутствием свободных членов. Поэтому н формулы (!1), являющиеся результатом исключения Ь!у! нз соотношений 12'), (4!) н (5'), получаются нз формул (1О) заменой Р, на Ьг„, ял на Ьл н отбрасыванием свободных членов в„.