Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике, страница 5

Положение системы г„' (к=1, ..., М) будет положением равновесия в том и только в том случае, когда «движение» г,ф=г' ,(к=1, ..., М) удовлетворяет общему уравнению динамики, т. е. когда в этом положении системы и ~'„р, йг„= О. =1 Равенство (1) выражает собой прпниип виртуальных перемен!ениб. Для того чтобы некоторое (совместимое со связями) положение системы было положением равновесия, необходимо и достаточно„чтобы е этом положении сумма работ активных сил на любых виртуа ьных перемещениях системы равнялась нулю. Обычно принцип виртуальных перемещений применяют к стационарным связям.

Если связи стационарны, то термин «совместимое со связями» означает, что положение системы удовлетворяет конечным связям. Дифференциальные же связи, будучи линейными и однородными относительно скоростей, йвннцнп вигтглльных пвззмвщвннй автоматически удовлетворяются, поскольку мы полагаем е,=О (ч=1, ..., Аг). Если связи нестационзрны, то термин «совместимое со связямн» означает, что они удовлетворяются прл любом г, если в них положить г,=г'„и е„=О (ч=1, ..., Ас). Заметим, что в этом случае прн различных 1 могут быть различными н виртуальные перемещения ог„(ч=1, ..., А«). В общем случае силы Р„зависят от 1, т', е (р = 1,...; А(): Р„=Р,(г, г„, е„) (ч=1,..., А)). Тогда йредполагается, что равенство (1) имеет место при любом значении т, если в выражении для Р, положить все г„=г' и все е =О. В простейших частных случаях принцип виртуальных перемещений (или как его иногда называют в применении к склерономным системам, принннп возможных перемещений) бьш известен еще во времена Галилея оод названием «золотого правила механики»«).

Пусть на концы невесомого рычага, находящегося в равновесии, действуют силы Р, н Р,. Тогда, обозначая через Р,' н Р,' касательные (к возможным траекториям) составлнющие этих сйл, а через В(» и а) — величины соответствующих элементарных возможных перемещений, мы в силу равенства (1) с точностью до знака будем иметь: Р,'ьг,=р' аг„ т. е. З7» Р» аг» = Р« (выигрыш в силе компенсируется лроигрышсм в перемен(внии и наоборот в «золотое правило механики»). Принцип виртуальных перемещений представляет собой самый общий принцип аналитической статики.

Из него можно получить условия равновесия любой конкретной механической системы. Примеры. 1. Выведем из равенства (1) условия равновесия свободного твердого тела, обычно получаемые в курсах механики из соображений геометрической статики. Обозначая через е скорость какой-либо точки твердого тела, через ю — угловую скорость тела, через Р и 7.» — главный вектор н главный момент относительно полюса О для системы внешних сил, действующих на тверлое ') Галилей приписывал обоснование «золотого правила механики» Аристотелю. В общей формулировке принцип виртуальных перемещений встречается впервые у Иоганна бернулли з 1717 г.

З2 дниаегенцилдьныв гиавнення движения 1гл, г тело, мы приравниваем нулю выражение ') для элементзрной работы сил, приложенных к твердому телу на произвольном бесконечно малом перемещении этого тела: ЬА = (Рис + Ест) дг = О. (2) В силу произвольности векторов п„и ю равенство (2) может иметь место тогда и только тогда, когда Р=О, Е.=О. (3) Эти равенства представляют собой ясобходимыс и достаточные услоаия рааноассия саободиого тела. Аналогично получаются условия равновесия несвободного твердо~о тела, Пусть, например, точка О закреплена.

Тогда и =О и равенство (2) имеет вид ЬА=Е ю да=о, откуда, в силу произвольности вектора ю, получаем искомое условие равновесию Е, =О. Если тело может только вращаться вокруг неподвижной оси и (С ОртОМ Е), та раВЕНСтВа (2) ПрИНИМаЮт фОрМу ЬА = Есме да=О, откуда, в силу' произвольности величины сэ следует условие равновесия Е„ = О; здесь Е = Ере — главный момент внешних сиз относительно оси и. 2. Выведем условия равновесия произвольной несвободной системы таердых тел, находящихся пад дсбстаисм силы веси Обозначим через М сумму масс всех тел и через г,— вертикальную координату центра тяжести системы тел (считаем ось с направленной вертикально вниз). Тогда, согласно равенству (1), получим: ЬА = Му Ьгс = О и, следовательно, условия равновесия системы имеют вид Ьз =О.

(4) Таким образом, положениями равновесия системы тяжелых тел будут положения, в которых центр тяжести занимает наинизшее, ') Равенство ЬА =(рп + е,ю) дг может быть получено следующим образом. Обозначим через рг силы, действующие на точки твердого тела, через г; и пг — радиусй-векторы (проведенные из точки О тела) и скорости точек приложения сил Р;((=1, 2,...1 соответственно.

Тогда, обозначая знаком х векторное умножение, найдем ь А = ~ рг ьгг = ~ р)иг и = ~ р; (и. + ю х гт) и = [(Я Г;) и, + ~г, Х р)] дг (ЗаМЕНа Ьсс На дгг = Вг да ЗаКОННа В СНЛУ тата, Чта ТВЕРДОЕ ТЕЛО является склерономной системой; см. стр. 14). Но в силу третьего закона Ньютона главный вектор и главный момент внутренних сил в твердом теле равны нулю. Поэтому ~~~ Рт = Г и ~ г; ус )чг = Е, э с Ь 41 НВНННИН ВИВтгадштЫХ ПНВНМНШИННй зз нвивыситее или какое-либо другое «стацнонарноег положение по вертикали («принцнп Торричелли«).

3. Форма равновесия юяжелой однородной цепи, закрепленной а двух юнаках. рассматривая тяжелую однородную цепь как систему твердых тел (звеньев), можно написать соотношение (4). Но (см. рнс. 9, где Охз — вертикальная плоскость, е — вертикаль) ~ з дз х в с ~ с и поскольку длина однородной цепи при перемещениях не меняется, то условие (4) принимает вид Ь$ да=О. (5) Это соотноспение можно. записать и так: га Ь ~вф/ 1+Я аз=О. (5') р Рнс, 9. Как устанавливается в вариационном исчислении, в классе кривых х =у(с), проходящих через заданные две точки, крнван, сообщающая интегралу св ~ Р (з, х, — ) дв сс экстремальное (точнее, стационарное) значение, для которого гг Ь ) Риз=О, должна удовлетворять дифференциальному уравнению ') дР дР /, а~х > — — — — =0 (х'= — ~.

(6) де дх' дх (, де 1' /дх>Я В нашем случае Р=з 1у/ !+( — ), Поэтому уравнение (6) дв принимает вид =О (7) ') Это >равнение было получено еще Эйлером. Относительно его вывода см. стр, 105 и звмечание на стр. 107. Я Ф. Р, Гввтмвввр див аеэенцнальные ь пленения движения (гл, ( Отсюда дх с (8) )'га — с' где с — произкольная постоянная. Интегрируя, получаем уравнение цепной линии: (х — а)/с, — (л — спс., Х вЂ” а с где значения произвольных постоянных с и а определяются из условий закрепления концов. Такин образом, Форма равновесия однородной юяжелой цепи рредшиааляею собой цепкую линию ').

4. Неизменная плоская фагура может скользишь С двумя саоилта точками А и В по неподвижным кри- Г й зым, лежащим в аой жс плоскосяш. Выясним, под ол гй действием какой силы р фигура может нзходиться в равновесии (рис, 1О). Помимо активной силы р на фигуру лействуют еще Рис. 1О. две реакции, направленные по нормалям к кривым, и линии действия этих трех сил должны пересекаться в одной точке. Другими словами, линия действия силы р должна проходить через точку пересечения нормалей к кривым в точиах А и В, т. е. линия дсйсьтвия силы Р должна проходишь через мгновенный цсяюр возможных скоросьчей С фигуры' ).

К этому же выводу можно прийти, исходя из принципа возможных перемещений. Действительно~ обозначим через О какую-либо тОЧКу На ЛИНИИ дсйетаня СИЛЫ Р. ТОГда ИЗ уСЛОВИя ЗА=Рва ФГ=О заключаем, что н 1 Р, откуда и следует, что мгновенный центр возможных скоростей фигуры расположен на линии действия силы р, 5, Некоторые геометрические приложения. Начнем с предварительного замечании. Пусть в плоскости даны некоторая кривая С ') Галилей считал, что такой формой равновесия является парабола.

Ошибка Галилея была исправлена Гюйгенсом. ') При этом величина и направление силы Р могут быть произ- вольными. % 41 ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПВРВМВШВНИЙ 35 и точка Р (в частном случае кривая С может выродиться в точку). Проведем из точки Р нормаль к кривой С и обозначим через г расстояние по нормали от кривой С до точки Р; таким образом, г =Р,Р (рис. 11). Приаожим к точке Р некоторую силу Р, направленную вдоль нормали Р,Р, и будем считать Р) О, если направление силы Р совпадает с направлением от Р, до Р, и Р~ 0 — в противном случае. Элементарная работа силй Р равна ЗА Р (лГа + лг). Но т)Г складывается нз двух элементарных перемещений: йз перемещения вдоль прямой Р,Р (величина этого перемещения равна лг) и перемещения точки Р, вызванного поворотом Рис.

1!. Рис. 12. прямой Р,Р. Последнее перемещение, как и пгм перпендикулярно к прямой Р,Р, т. е. к линии действия силы Р. Поэтому '), ЗА =Рттг. (10) Пусть в одной и той же плоскости расположены я кривых фф..., С„и точка Р. Обозначим через г„га, ..., г„расстояния (йо нормалям) от точки Р до этих кривых' ) (рис. 12 соответствует случаю я=2). Рассмотрим в той же плоскости кривую 1)„ задаваемую уравнением ') У(го г„..., г„)=О. (11) ') В случае, когда кривая С вырождается в точку, формула (10) дает выражение для работы центральной силы.

') Некоторые (или все) кривые Со С„ ..., С„ могут выродиться в точки. ') Каждая из величин го г, ..., г„является функпией от двух декартовых координат точки Р. Поэтому уравнение (11) является уравнением некоторой кривой в плоскоспс 2Ф зб ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛНИЖЕНИЯ 1ГЛ. ! Покажем, как по уравнению (11) посвроивь нормаль к кривой Р в вояке Р.

Прн любом бесконечно малом перемещении точки Р вдоль кривой Р получим —, к«с=О. ду дг; (12) ! ! Теперь приложим к точке Р силы Р = —, направленные вдоль ду ! д нормалей гт (с=1, ..., и). Тогда равенство (12) запишется так! У; Ртдг;=О, т=! а это согласно предвэрительнол!у замечанию означает, что сумма работ сил Ро Р„ ..., Р„ при произвольном перемен(енин точки Р вдоль кривой Р равна нулю. По тогда несвободная точка, которая может перемещаться вдоль гладкой кривой Р, будет в равновесии под действием снл Ро Р„ ..., Р„.