Задача 6. Спектр поглощения натрия. (Задачи атомного практикума)

Московский государственный университетимени М.В. ЛомоносоваМосковский государственный университетимени М.В. ЛомоносоваНаучно_исследовательский институт ядерной физикиимени Д.В.СкобельцынаНаучно_исследовательский институт ядерной физикиимени Д.В.СкобельцынаАтомный практикумАтомный практикумС.В.Ищенко, С.С.Красильников, Н.А.Красильникова,И.А.Савченко, А.В.Смирнов, В.В.Тарасова.Спектр поглощения атома натрияСпектр поглощения атома натрияЛабораторная работа № 6Лабораторная работа № 6Тонкая структура спектральных линийатома натрияТонкая структура спектральных линийатома натрияЛабораторная работа № 7Лабораторная работа № 7Под редакциейКрасильникова С. С.УНЦ ДОМосква20050УНЦ ДОМосква20051СПЕКТРЫ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ.УДКББКВВЕДЕНИЕ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ NN 6 и 7.С.В.Ищенко, С.С.Красильников, Н.А.Красильникова,И.А.Савченко, А.В.Смирнов, В.В.Тарасова.Спектр поглощения атома натрия.

Тонкая структура спектральных линий атома натрия. Лабораторные работы № 6 , 7./Под редакцией Красильникова С.С..Учебное пособие.М.:Издательский отдел УНЦ ДО, 2005.- 46 с.ISBN 5-211-03287Лабораторная работа из цикла «Атомный практикум»физического факультета МГУ по общему курсу«Атомная физика».Для студентов физического факультета МГУ.1. Спектр энергий атомов щелочных металлов.Расчет спектра энергий атома щелочного металла, представляющего собой систему многих электронов в кулоновскомполе ядра, является сложной задачей. Поэтому прибегают кследующему методу [1]: предполагая, что электроны внутреннихоболочек расположены близко к ядру (ядро и электроны внутренних оболочек образуют атомный остаток), а внешний (валентный), слабо связанный с атомом электрон, наоборот, находится на достаточно большом расстоянии от ядра, рассматривают атом щелочного металла как некоторую "водородоподобную" систему (внешний электрон – атомный остаток).

Такое рассмотрение, учитывающее взаимодействие внешнего электрона состальными электронами в атоме как небольшое возмущение,налагающееся на кулоновское притяжение атомного остатка,приводит к выражению для энергии, аналогичному выражениюдля энергии атома водорода:Под редакцией КрасильниковаС.С.me 4E =−=−.nl222( n−∆ l )2 h n эффRyISBN 5-211-03287(В.1)Для изоэлектронного ряда щелочноподобных ионов формула(В.1) принимает вид:©©Ry Z 2a ,E =−nl( n −∆ l ) 2С.В.Ищенко, .С.Красильников,Н.А.Красильникова, .А.Савченко,А.В.Смирнов, В.В.Тарасова.Московский государственныйуниверситет, 20052гдеZae(В.2)- заряд остова (иона), в котором движется электрон.(Изоэлектронными называются ионы, содержащие во внешнейоболочке одинаковое число электронов).3Длины волн линий атома щелочного металла определяются по формуле:1λR =1( n − ∆i )В ф-лах (В.1-3)трона,e2−1(n −∆ )21k2.(В.3)n ,n1 2R = m e 4 4 π h 3cRy = m e 4 2 h 2 - ридберг, nn- главные квантовые числа,постояннаяэфф- эффективное квантовоеОтличие от атома водорода состоит в том, что= n − ∆ уже не целое число, как в случае водорода, аэффlотличается от соответствующего главного квантового числа nна величину ∆ ( ∆ > 0 ), называемую квантовым дефектом.

Вформуле (В.3) индексы i , k означают зависимость квантовогодефектаоторбитальногоквантовогочислаl = 0 , 1, 2...( n − 1 ), которое для одноэлектронных атомовпринято обозначать строчными латинскими буквами соответственноквантовое число lсимвол состоянияСоответствующие∆ , ∆ и т.д.s0 , 1, 2, 3....,s, p, d, f....,квантовыедефектыp4345s1,3731,3581,353lp0,8830,8670,862d0,0130,011-Ридберга,число.nквантового числа l (табл.1). Значения квантового дефекта, приведенные в таблице, определены экспериментальным путем.Значения квантового дефекта для атома натрияh - постоянная Планка, m - масса покоя элек-- его заряд,Величина квантового дефекта ∆ , в основном, определяется значением орбитального квантового числа l : при данном n квантовый дефект резко уменьшается при увеличенииобозначаютсякакИз (В.1) видно, что энергетические уровни щелочногоатома расположены ниже соответствующих уровней атома водорода, для которых справедливо соотношениеEn = −Ryn2.Кроме того, поскольку квантовый дефект(В.4)∆lcильно за-висит от орбитального квантового числа l , энергия внешнего(валентного) электрона в атоме щелочного элемента зависит нетолько от величины главного квантового числа n , но и от орбитального квантового числа l , возрастая с ростом l (см.

табл.1 исоотношение (В.1)), т.е. в щелочных металлах снимается вырождение по орбитальному квантовому числу, наблюдаемое ватоме водорода и водородоподобных ионах.Указанные зависимости имеют простое классическоетолкование. В "одноэлектронных" атомах щелочной группыединственный наружный электрон движется в потенциале, отличном от кулоновского, точечное ядро (заряд Z e ) окружено5объемным зарядом(Z − 1 )электронов. Ядро и электроныобразуют атомный остаток (ион).Потенциальная энергия электрона в поле иона близка ккулоновской (с зарядом, равным 1) лишь на расстояниях, многобольших радиуса иона r :U( r) ≈ −ie2приrr >> r i.(В.5)a=Z −Z*Ze2rприr << r i.,(В.8)- эффективный заряд.Для изоэлектронного ряда, в согласии с формулой (В.2)a=Z−С приближением к ядру, на расстояниях порядка радиусаиона, из-за экранировки потенциал спадает более круто, нежеликулоновский; "внутри" иона, вблизи ядра, он вновь становитсякулоновским, но с большей величиной зарядаU( r) ≈ −nn −∆lZan(В.9)n −∆ l(В.6)В целом, потенциал в этих атомах оказывается глубжекулоновского с единичным зарядом и с более крутой зависимостью от радиуса (рис.1).

В таких потенциалах уровни энергииэлектрона расположены ниже водородных при том же значенииглавного квантового числа n . Соотношение (В.1) можно записать в видеnl=−Ry=2( n −∆ l )Ry ( Z − a ) 2Ry Z * 2=−=−2nn2Eвнеся поправку не в главное квантовое числоZ . Здесь постоянная экранированияnРис.1.Потенциальная энергия электрона в атоме водорода,валентного электрона в атоме щелочного металла U(r) , по(В.7),тенциальная энергия электрона в поле неэкранированногоядра− Z e2 rатомного остаткараспределениеρ (r).плотностиэлектронов, а в заряд ядра2. Тонкая структура энергетических уровней.В формулах (В.1), (В.7) не учитывается влияние спинорбитального взаимодействия на энергию электрона и, соответ-67→ственно, на структуру энергетических уровней.

Энергия спин орбитального взаимодействия определяется как возмущениеэнергии атома, рассчитанной из уравнения Шредингера [1]. Этовозмущение выражается как:→H→V =−( µ sH ), → → ε×υc =−1→ε=(В.10)(В.14)→1 ∂U re ∂r r,(В.15)где→e →µ s=−smc→µ s = 2µ0(В.11)U - потенциальная энергия электрона в центрально - симметричном поле.Отсюда1 ∂U 1  → → 1 ∂ U 1  → →H= r× υ  = r ×m υ e c ∂ r r e mc ∂ r r 1 ∂U 1 →=l ,e mc ∂ r r→s ( s + 1 ) = 2 µ 0 s*(В.12)(B.16)→s = h s ( s + 1 ) = h s*→где(В.13)→µ s, sты электрона,где→  → →l =  r ×m υ (В.17)- собственные магнитный и механический момен-s→- спиновое квантовое число.Для электронаs= 1/2 .H - орбитальное магнитное поле, возникающее всистеме координат электрона при его движении со скоростью→υ=в электростатическом поле ядра напряженности→ε- орбитальный механический момент импульса электрона.Согласно правилу квантования моментов→l = h l ( l +1 ) = h l *:l - орбитальное квантовое число.С учетом (В.12), (В.16) энергия возмущения89(В.18)→ →∂ U 1 ( µ→ →1V = −( µs H ) = −s l )=em c ∂r r==∂U122∂ rm c→1 ( →l s ) =r1∂U22∂rm c1rj =hljs- квантовое число полного момента количества движения.j = l ± 1/ 2(формулы (В.13), (В.18)) иполученное из теоремы косинусов значение косинуса угла между→→l и s [1]новым функциям Ψ∆E(В.20)1 h 2 ∂ U 1 j*2 − l* 2 − s* 22 m 2c 2 ∂ r r2=(В.21)- полный момент количества движения электрона.10∞= ∫ Ψ * V Ψ dτlsnlnl0h2j * 2 − l * 2 − s* 222 m 2c 2Ze 2U =−r→ →j = l +sневозмущенного состояния.

Тогдаили1 ∂Ur ∂r(В.24).nlВ кулоновском поле(множитель 1/2 – “множитель Томаса – Френкeля” появляетсявследствие учета ускоренного движения электрона). Здесь→nl∆ E ls = <V > =получимV=(В.23)Полученную в (В.21) добавочную энергию спин - орбитального взаимодействия мы можем рассматривать как малоевозмущение по сравнению с энергией атома (В.1). Согласно теории возмущений [1], сдвиг уровня энергии, обусловленный возмущением V , можно вычислить, усредняя возмущение по вол-→→j* 2 − l* 2 − s* 2cos ( l ⋅ s ) =2 l * s*(В.22)Для одноэлектронного атома→,j( j +1 ) = h j *(В.19)→→ →→l ⋅ s ⋅ cos ( l s )→Подставляя значения→и11(В.25)1 ∂U~r ∂r n l1r3.(В.26)a не тождественна постоянной внутреннего экранированияa 1 .

Для элементов с Z > 10 постоянная внутреннего экранирования a 1 меньше постоянной a (см. табл.2).Таблица 2Потенциал же атома щелочного металла, как было отмеченовыше (см.рис.1), на расстояниях порядка радиуса иона, спадаетбыстрее, нежели кулоновский, и приближается к кулоновскомулишь при больших r . Соответственно1 ∂Ur ∂r~nl1rkИз (В.24) видно, что, т.к.;k >3(В.27)nlj = l ± 1/ 2 ,энергия спин -орбитального взаимодействия принимает два значения: уровеньэнергии одноэлектронного атома расщепляется на два подуровня. Расстояние между подуровнями определяется соотношением, аналогичным соотношению для водородоподобного атома[1,2] с помощью введения поправки внутреннего экранированияa 1 , зависящей от l и nα 2 Ry ( Z − a 1 ) 4∆E j ,j =1 2n 3 l ( l +1 )гдеα = e2 / hcaиa1для атомов щелочных элементов [3]ZЭлементaa1311193755LiNaKRbCs1,989,5817,2434,8252,452,027,4513,0326,9540,8Величина расщепления уровня атома щелочного металлазначительнобольше,чемуатомаводорода( ( Z − a ) > 1 , у водорода Z = 1 ) и быстро растет с увеличением1Z.Это связано со следующим обстоятельством.

Как следует из формулы (В.27), величина расщепления уровня пропор(В.28)- постоянная тонкой структуры.Отличие приведенного соотношения (В.28) от аналогичного для водородоподобного атома состоит во введении поправки внутреннего экранирования a , зависящей от распределе1kния электронной плотности вблизи ядра ( как 1 / r ,см.(В.27)).Постоянная же экранирования a определяет энергиюоптического электрона (формула (В.7)) и зависит от распределения всех электронов атома в его объеме.