Задача 19. Спектр гелия. (Задачи атомного практикума)

ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦИ ЕГО ПРОЯВЛЕНИЕВ СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ2011Разработано в НИИ Ядерной ФизикиМосковского Государственного Университетаим. М.В. Ломоносова2ОГЛАВЛЕНИЕВведение...............................................................................................................................................3Обменное вырождение в двухэлектронной системе........................................................................3Изучение спектра Не..........................................................................................................................6Аппаратная (прибор) и компьютерная части....................................................................................8Методика эксперимента ...................................................................................................................10Порядок работы..................................................................................................................................10Обработка записанного спектра:......................................................................................................11Определение обменного расщепления............................................................................................14Задание................................................................................................................................................15Приложение.

Метод наименьших квадратов..................................................................................16Литература..........................................................................................................................................203ВведениеИзучение постулатов квантовой механики представляется важным этапом вучебном процессе, поскольку каждый постулат ставит перед студентом, как иученым, вечный вопрос: «почему?».

Почему постулируемое уравнениеШредингера есть единственно правильное уравнение, описывающееопределенную область явлений микромира? Особенно интересны с нашей точкизрения постулаты, которые не имеют никаких аналогов в классическоймеханике. Одним из таких постулатов является принцип тождественности (илинеразличимости) элементарных частиц. Мы остановимся на этом принципе,который приводит к чисто квантово-механическому явлению - обменномувырождению и снятию его за счет возмущения, энергия которого обычноназывается обменным взаимодействием и может быть достаточно простоопределена экспериментально и сравнена с теоретическим расчетом.

Мы небудем останавливаться подробно на теоретическом обзоре, поскольку принциптождественности и его следствия рассматриваются в любом курсе квантовоймеханики [1,2,3].Обменное вырождение в двухэлектронной системеПринцип тождественности проявляется лишь в том случае, когда числоодинаковых элементарных частиц N ≥ 2. Мы рассмотрим простейшую систему,содержащую два электрона – атом гелия.Уравнение Шредингера для такого атома имеет вид:Hˆ Ψ (1,2) = EΨ (1,2)(1)где операторHˆ = Tˆ1 + U 1 + Tˆ2 + U 2 + U 12- представляет собой гамильтониан атомной системы, в котором:22ˆˆT1 = −∆ 1 и T2 = −∆2m2m2- операторы кинетической энергии первого и второго электронов,2e 22e 2U=−и 2r1r2- потенциальные энергии первого и второго электронов в поле ядра (r1 и r2 –расстояния электронов от ядра), аU1 = −U 12 =e2r124- потенциальная энергия отталкивания двух электронов (r12 – расстояние междуэлектронами).Наличие именно этой величины, как известно, не дает возможности найтитакую систему координат, в которой переменные можно было бы разделить.Наиболее простым и наглядным приближенным методом решения такогоуравнения является теория возмущений, используемая в случае, когда малойвеличиной U12 в уравнении (1) в нулевом приближении можно пренебречь.Удалив этот член, мы получимуравнение Шредингера в нулевомприближении, которое можно записать в виде:Hˆ 0 Ψ 1 (1,2) = E0 Ψ 1 (1,2)00где Hˆ 0 = Hˆ 1 + Hˆ 2 ; E0 = E n + E m ; Ψ 1 (1,2) = ψ n (1)ψ(2)m( 2) .Уравнение (2) распадается на систему из двух идентичных уравнений,описывающих одноэлектронную задачу в кулоновском поле: Hˆ 1ψ n (1) = E n0ψ n (1) Hˆ 2ψ m (2) = E m0ψ m (2)(3)решения которой ψ n (1) и ψ m (2) хорошо известны (это волновые функцииэлектрона в кулоновском поле, например, в атоме водорода).Уже на данном этапе видно, что решения уравнения (2) имеют обменноевырождение.

Действительно, кроме функции Ψ 1 (1,2) решением уравнения (2)является и функция Ψ 2 ( 2,1) , а также любая их линейная комбинация:Ψ = C1Ψ 1 (1,2) + C 2 Ψ 2 (2,1)(4)Можно показать, что правильными решениями нулевого приближения как разявляются две такие линейные комбинации:ΨSΨA1{ψ n (1)ψ m (2) + ψ n ( 2)ψ m (1)}21={ψ n (1)ψ m (2) − ψ n (2)ψ m (1)}2=(5)(6)обладающие свойствами обменной симметрии:Ψ S не меняет свой знак при обмене электронами и называется симметричной.Ψ A меняет знак при обмене и называется антисимметричной.(5) и (6) - два решения при одном собственном значении энергии E0.Теперь перейдем к первому приближению теории возмущений, в которомвырождение будет снято. Для этого к гамильтониану нулевого приближениянужно добавить отброшенный член:5U 12 =e2,r12используя решения (5) и (6) нулевого приближения:( Hˆ 0 + U 12 ) ΨS,A= EΨ(7)S,Aс полной энергией, равной:E = E0 + K ± A .(8)ЗдесьK=∫ ψ n (1)2e2ψr122m( 2) dτ 1 dτ 2 ,(9)так называемый кулоновский интеграл, представляет собой энергию2кулоновского отталкивания электронных облаков ( ψ n (1) представляет собой2электронную плотность первого электрона, а ψ m (2) - второго) .

Третий член в(8) A – называется обменным интегралом и представляет собой принципиальноновый тип интеграла, характерного для квантовой механики многиходинаковых элементарных частиц:e2A = ∫ ψ (1)ψ m (2) ψr12*nm(1)ψ n* (2)dτ 1 dτ2(10)dτ 1dτ 2 - элементы объема первого и второго электронов.Разумеется, как К, так и А представляют собой энергию.Как видно из (10), каждый электрон оказывается одновременно в двух разных(n-ом и m-ом) состояниях (термин «обмен» произошел из решения по теориивозмущений задач, зависящих от времени, где показывается, что электроны сопределенной частотой обмениваются местами, переходя из n-ого состояния вm-ое и обратно).Обменный интеграл представляет собой типичную квантово-механическуюреализацию принципа тождественности элементарных частиц.

Обменныйинтеграл стремится к нулю по мере уменьшения перекрывания электронныхоблаков в n-ом и m-ом состояниях. В данной задаче оба интеграла K и Aявляются положительными величинами, что приводит к тому, что энергиясимметричного состояния:E = E0 + K + Aбольше, чем энергия антисимметричного:(11)6E = E0 + K − A(12)Напомним, что спектр гелия состоит из системы синглетных и системытриплетных уровней (парагелий и ортогелий соответственно).Нетрудно показать, что симметричным состояниям соответствуют синглетныетермы, а антисимметричным – триплетные термы в спектре гелия (см.

[1]).Таким образом, энергетический уровень любого состояния сдвигается вверх изза кулоновской поправки и раздвигается на 2A из-за обмена.Исключение составляет основное состояние (1s2), которое не вырождено иучитывает только поправку на кулоновское отталкивание электронов. Такимобразом, обменное взаимодействие приводит к расщеплению, равному 2A.синглеты2AKЭнергиянулевогоуровняКулоновскаяпоправкаK+AK-AтриплетыКулоновскаяи обменнаяпоправкиРис. 1.

Корреляционная диаграмма обменного расщепления.На рисунке триплетные уровни из-за малого расщепленияизображены одной линией.Заканчивая краткое описание принципа тождественности и его следствия –обменных интегралов, подчеркнем, что последние возникают не из-за новыхтипов взаимодействий – они как были электростатическими, так и остаютсяими, а из-за свойств волновой функции тождественных частиц, которая из-заучета симметрии относительно обмена распадается на два решения.Изучение спектра НеТеперь нам предстоит выяснить, как указанные выше поправки отразятся наспектре гелия.7Приведем энергетическую схему спектра гелия (с интересующими наспереходами):ОбменноерасщеплениеРис.2. Схема уровней энергии и переходов в спектре He.Каждый триплетный терм представлен одной чертой.Как видно из схемы, 2s уровни синглета и триплета расположены друготносительно друга в соответствии с расщеплением 2s терма в результатеобменного взаимодействия.