SLprob (Лекции по УМФ (МИФИ, Ткаченко)), страница 3

В этом случае (он встречается в№ 653, 658, 693)√√sin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α2h√.=− 2h + λk2 λkИтак, в общем случае (при H 6= h)2kXk k2 =l (H 2 + λk ) (h2 + λk ) + (H + h) (λk + Hh) (λk + H 2 ).2 (H 2 + λk ) (h2 + λk )А в случае H = hl (h2 + λk ) + 2hkXk k =.22-15-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I12.

Таблица собственных чисел и функций задач Штурма –Лиувилля с различными краевыми условиямиКр. усл.Собственные числа и функцииI–Iλn =I – IIλn =π 2 n2,l2π(2n−1)2l2πnxlXn (x) = sin,Xn (x) = sinI – IIIλn > 0 − решения уравнения√Xn (x) = sin λn x , n ∈ NII – Iλk =II – IIλ0 = 0,II – IIIIII – IIII – IIIII – IIIπ(2k−1)2p2, Xk (x) = cosX0 (x) ≡ 1; λn =πn 2l,,n∈Nπ(2n−1)x2l,n∈N√√λ = −h tg( λ l),π(2k−1)x2p,Xn (x) = cosλn > 0 − решения уравнения√Xn (x) = cos λn x , n ∈ N√k∈Nπnxln∈N,√λn tg( λn l) = h,√√λn > 0 − решения уравненияλ=−htg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ N√√λn > 0 − решения уравненияλ=hctg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ N λn > 0√− решения уравнения ctg( λ l) =Xn (x) = H sin√ √√λn x + λ · cos λn x ,-16-HH+hn∈N√λH−√hλУМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I13. Таблица норм собственных функций задач Штурма –Лиувилля с различными краевыми условиямиkXk k2Кр.

усл.I–IkXk k2 =l2I – IIkXk k2 =l2l(h2 +λk )+h2(h2 +λk )kXk k2 =I – IIIII – IkXk k2 =l2II – IIkXk k2 =l2kXk k2 =II – III12·l(λk +h2 )+hλk +h2III – IkXk k2 =l(h2 +λk )+h2III – IIkXk k2 =l(h2 +λk )+h2III – III2l(H 2 +λk ) (h2 +λk )+(H+h)(λk +Hh)(λk +H 2 )2 kXk k =2(H 2 +λk )(h2 +λk )в случае H = h-17-kXk k2 =l(h2 +λk )+2h2.