Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 6

Ia|..|,Iх,чтoмoMeнтэтoи сильIравeнaI;(г{i l) _ _;:;U(rlll'l)'o x п \ r)r(t) r0l?upoскonuчесI.uхс4l' пepпeндикyЛяpных сKopoсти частицы'и oтЛичeнoт нyЛя,нo eс,1иначаЛoкooрдинатсoвместитьс силo.aTaK'я<educсunаmuвньlхсu!7 BиДa гt.tl : _a(г.v)v (d > 0),вым цeнтpoм'тo r0 бyдeтpавнoнyлюи' слeдoватeЛЬнo.M0, ()лpедeЛяющихпoтepи импyЛьса частицьl в eдиницy вpeмeни/цoментцeнтpа"lЬнoйсиЛыoтнoситeЛьнoeе центpJpавеI]нyЛю,M:r(t) x F: U,:9]дГtaва 2, Чaсmuцb| вo внеll!нujс сuлoвьЦ noвхв odнopoаt|ь|хсunoвых noляхs7- 'Цвu\#еt]uес частицамисрeды,вместo (6.ll)за счeт ее взаиMoдeйствияп0лyчимЁ1д1:о"(OUldс.)+ F(d)'v'(6.14)энepгииpавнаПpoизвoлнaяпo вpeveниoт пoгенциаЛЬнoйdUаAUalAU'.Dt',(6.15)скЛадьIвaя(6.la) и (6,l5)' пoЛyчаемypавнeниe,кoтopЬlMo п p е д e Л я е т с я и з м е Ь e н ! ] е с o в р e M е н е I .Л, !o л P o Й ) t J е р г и и Ч a .

т и ц ы :...,'fl@вl+u)=ff+г{d)(6.16)Гиpoсхoпичeскиeсилы нe дают вкЛада в измeнel]иeпoЛl]oйэнеpгии'Если пoтенциаЛьньle сиЛьl явЛяются кoнсеDва'Гивrrымии диссипативнЬIeсиЛьl oтсутствyют, тo пoЛIlая@U/at:o)эrrеpгия .Е(t) + U час'гицьl сoхpаI,]яeтся.PeЛятивистскиe фopNlyЛьIдЛя энepгии и импyЛьса (6.l3),(5.6) качeствeннo oтлиЧаются oт нeрeлятивистскиx зависимo.с1ью ^oтск.opoстисвeта r, На интepваJlахвpемeни /' таких,нтo v,(t)/'2 << l, мoжет 6ыть loстигl]yтo кoЛичественнoeсo.глaсие с сooтвeтствyющиMи нepeЛятивистскими выpа)l(еtlияMи'eсли (5'6)' (6'l3) разЛoxитЬв pяд Teйлoраи oпyститьв pазЛoxе.нияj(,сoлагаемыeбoлee Bысoкoгo пopяДкa маЛoсти пo сpаBIleниюyслoвия'пpи кoтopьIхвoзмoxltaфoкyси.физичeскиеoпpeдeЛиTьpасстoянияиДo тoчeкфoкyсиpoвки,poвказлeктPoнoвlэлектpoнадвижe!]ияиз ypавнeний-;:91tхвi(7.t)вltдвo, чтo силa Jlopeнца имeeT pавllyю нyЛю сoсTавЛяюrцyюпoЛя.ll0эт0мy прoдoлЬl]аяскopoсTьчастицЬl0став направЛeниидlся неизNleньoЙ,вы6ереМ oсь z дeкаpтoвoйсисте!lь| кooрди.нат вдoль нaправЛенияМагнитIloгoпoЛя' a нaчаЛo кooPдиIlатм0мeнт вpеме.совмeсTимс пoЛo'{ellиeмэЛeктpoнав начaЛЬнЬIин и , T o г д а B : ( 0 ' 0 ' в ) ' г ( 0 ) : 0 ' v ( 0 ) : ( U Lс o sa , 1 1 s i a , U i ) ,7 ,)l л p и н и м а юв ит ди ) p а в н е н ид яв и ж е н и( я'+o'сi:0'!1 aci:0,\7.2)\7,З\(7.4)частoта-Умнo)кимypавнeГ\e Q.,: еlB/mс _ циKЛoтpoннaя(7'2).ниe (7,3)на мнимyюeдиllицyi и сЛo)кимс ypавнeниeМпoЛyчимyравнeниeпеpвoгoпopяДкаoтнoситeльнoi + i1i:i + ii -- -i(1"(i + i'!r).oTсюдa с yчeтoмначаЛьньIxуслoвийнаxoдиM:ir+ ti : t'r ' exp t-t(or.f - (r)i'Пoвтopнoeинтeгриpoваниедаeт$ 7.

.I[виrкeнпeв oдяopoдвьrхсилoвьIх пoляx, ц и н а м и ч e с к и e э ф ф е к T ь l , в o з н и к а ю щ и е п p и д в и ) t ( е н и ич а с T и цв oднopoдныхпoЛях,являютсянaибoлeeпрoстьlмис тoчкизpе.peзyЛЬтатoв'IJиярeшенийуpaвнeнийдвижeнияЙ интepпpeтациииспo.гьJoвания,взаимo!рйстви.дoступньlvидля пра'<тическoгoeм I\,{е)кдучaстицaмиpэзpe)кeнныxпyчкoв вo вpeмя двиxeнияЧастo мoжнo пpенeбpечьи свeсти задачy к pасчeтампаpаi{eтpoвтpаекTopийoтдeЛьныx,взаимoдeйствующиxтoJькo с внeшнимиI l o Л я M ич а с т и ц .l.

Фoкyсиpoвкaэлeктpolloв lvагllитIlьIм пoлeм. B эToй задaЧe pазpe)кeннЬIй неpeЛятивистский пучoK эЛeктрolloв вЛeтaeтв oднoPoднoe магItитнoe пoJe с pавными начаЛьными прoдoЛь.IlьIМи скopoстяМи. llеpпeндихуЛяpные напpавЛeнию пoЛя сoстав.Ляющиескopoстeйчастиц пpи этoм нe pавны нyлю, Тpебyeтся.

U . " / . | l_ l ) е ! o '\7.5)гдeуЧтeнo'чтo z : u f. B ToчкахфoкyсиpoвкиэЛeктрoнoвкoop.oбращатьсяв нуль. Из (7.5)динаTЬl,' y. дoЛ)<ньloдI]oвpeмeннo'JеДуeг'чтo ,-o пpoисхoди,]пp,,llначeнияхz, paвь".х2тn,' /',l',гДеrr. цеЛoечисЛo'пepваятoчкa на oси z, в кoтopoйфoкy'x + iу:i(1llla)(есиpyются электрoны с pазличныIllи U.Lt распoЛo)кeна на pасстoя.нuи 2тu1тпc/|еB oт началакoopдинат.2.

Mагнитвая изoляцI'я. этoт эффeкт oбyсЛoвЛeнизмeнeнием напpавЛенияэлeктpичeскoгoT0ка в магllиTнoмп0Ле тaк.Чтoв задавrioМтoк oтсyтствуeт.иЛинaпpaвленииДля пЛoскoгoциЛивдpиЧeскoгoпoЛем,пepпeI]дикyЛяpньIMдиoдaс Njaгнитнымпoтoкy электpoнoв'эффeKт свoдится к oтсeчке анoдI]oгoтoкапpи знaчeнияхналpя)кeннoстимагнитнoгoпoЛяtпpeвышaюцихoпредeлeннoекритичeскoeзначениe(или pазнoстипoтeнциалoвlleждy oбкЛадками,мeньшейкритическoгoзвачения).B плoскoм36диoдe элeктpичeскoе пoЛe мoжнo считать oднopoдным, мьI сo.сpeдoтoчиItlвниманиe I]а цилиндpическoм диoдe.

9ЛeктpическoепoЛe в нeм нe явЛяeтся oднopoдl{ьIми мoжeт pассматpиBатьсякaк пoЛeциЛиLlдpическoгoкoндeнсaтopаiесли нe учиTЬIватьпoЛепpoстpанствeннoгoзapядаэЛeктpoнoви кpаeвыeэффeKтьI,кoак.сиаnЬньIй ци"1иllдpичeскийдиoд с внyтре!lниll циЛиндpoltl в l(ачeствe кат0да и oднopoдиым стац}loнаpньIм llaгнитныМ пoЛeм'Ilалpавrleнным вдoль oси диoда' сoстaвляeт oс}loвy кoнструкциимaгнeтpoна(гeнеpатopасBЧ.кoЛeбаний).сиМMeтpию систeмьIyДoбнo учeсть пyтeM введeния цилиl.t.дpиЧeскoй систe]MЬ|кoopдиI]aтp, p' z с oсью z вдoлЬ oси диoдa.Toгда пoстояннoе эЛектpическoe лoJ']e6yдeт имeть тoЛЬкo pади.aЛьнyю сoставЛяюlцyюЕ: _Орh)l0p и уpавнeния дви>кенияэЛeктpoнa будyт имeть видnt,(p_ r02): -еa.9l ap + еpi)B l с''"*Gq = .r'iBt,,,(7.7)l!1ыпoЛагаeNl.кpoметoгo' чтo элeктpoвпoкидаeткатoд(цилиндppадиусаo) с нaчaЛьнoйскopoстью(p(a)'0'0) и чтo дви),(eниепpoисxoди,Гв плoскoсTиz : 0' Уpавнeние(7,7) этoй систeМьIЛeгKoинтeгpиpуется,так чтoЧ\P"/(7'9)и r у p а в r е н и(й7 , 6 )(, 7 7 ) н а х o д и eмш eo д и нп e р в Ь ,и; н т р .

р а л:i (i, +о,А,')+"v \ i" |o)'(7.10)вьIpа)кающийзакoнсoхpанеljияэнepгииэЛектpoна.Kpитичeскoeзначeниемаг!lитнoгoпoЛяB0 нaxoдимиз yслo.вия' чтo пpи B : Bо тpаектopияэЛeктpoнадoлжна касатьсяp: ь, Иcключaя 0 из (7.9)' (7'l0) и пoлаflapy)к!]oгoЦ|1ли|rДpaгaя p(b) : 0, цд216д1,1цBs2mcb| " | ( ё_",)a l р( lФ, )) .P 2 \ o+)Щ3.

Дpeйф sаряx(eвньIх_чaстиц в скPeщенньrх эJreктPиче.скoм и магflитяoм пoлях. byдeм считать. чTo дви'(eниe частицЬl(floЛoЛ{итеЛьнoroиoна с заpядoм e) Лpoисхoдит в oбЛaсTи. гдеЕ и геp leьДи.элenlричeс'{oe;o,дань'с'аrиoн"pнь|еoдhopoдriЬ,eрI\]!\1агниIнoе]oтеpивЛo1я,,[lиссипа],aвнЬ]e)нрр.иикv',lяpьoеyчeстьмo)l{нoприпoМoщивoбластидис.срeлeдвижeнияиЬяа в:сKopoстииoна.Friv,сиЛы'пpoпopциoнальнoйсипативI]oйпpеимущeствeнIlыeнаправлeнияиBoпpeдeляIoтEвeкTopы0сeЙ J и,z' таK чтo ypавнеI]иядвиxениядвух кoopдиIJатньIxвидпpиoбреTаютЧастицЬI,- ^ еB'|||x: еl1+ -u _ |iI'тna:(7.6)(7.8)о: 3('zDr\379 7, Двu\енuе в odнoрaанb,х сLлoвbt' ]1o'|яхГ л o в a 2 , Ч а , n u ц ь , в o в н е u . н u t . u J т o в b dn o , я '(7.ll)Пpи заданнoмltlагllитнoM пor1e зт0 равeнствo oлpeдeЛяеTкри.тичeскoeан0днoeвапpяrкeниeр(b)'"в"l.(7.12)(7.r3)|iу'\7.t4)(7.l4) пpeдставЛeнo дви)кeниe Bдo?']ьмaгнитнoгoУpaвнениемпo,rя,oбшеe рeшeниe9 т 0 г o y p a в н e I l и я '_e ].) +:6(7.l5)|, = к/m)'не зависитoт напpяxeннoстeйД и B и сooтвeтствуетэкспoнeн.циаЛЬнoзамeдлeннoMyдви)KeниючастицьIс начаЛЬнoискopo.стЬю:о и наЧаЛьнoйкoopдиItaToй;0в среде, Уpавнения(7.l2)'( 7 | ] ) \ д o б н oс ч и I а I ь в е ш е с | в е l .

Ч oий м н , , 1 \ t oчйз с т я v и l . е o , l . l o .рoднoгoуpавнeния! , t i n , 1 ,_1, t ' , ,, - | \ - j . - ; i !_) е L п 1\7.16)ГДеФ,-: еB /ntcчaстoта'Если найдe!]oкакoe.цикЛoтpoннаяЛи6очaстнoepeшer]иe(ваЛpимep'тaкoе,чтo (d/dt)(l + '!i) : 0),oбpащающee(7,16) в тoждeствo'тo этo тo)кдeстaoне ваpyшит.ся и пoслeприбaвЛенияк частнoMyрeшeниюoбщeгoрeшeнияol!oрo.]нoгovpавнeния(7,|6) с pавнoйнylю пpавoйчастью,llоэтoN1y(7,l6)oтнoсиypавнeнияo6щeepeцениeнeoднopoДI]oгoтеЛЬнoii + ii eсTЬ.'.г,I',Ll i / ( .

. ' : ) " , /](.-/n) _ |io_/no+_:=1_; i"i-.д.'lРЕ|i.'',a)_ - . , Б . . . . . , '(,,, ,, ' l ,nltu,: t 1.)Пpoинтегpиpyешroбe uасти (7,l7) пo вpeМeпиoт нyЛядo tи oтдеЛим вещeсTвeннyю и п!!lиltlyю часTи' PeзyлЬTаT Morквo39Гмва 2, Часmuцьl вo внеu1|luх сш|oвых nalяхпредставить a видe' , 1 n s i r l - . , l Ь с r ' s - , , ' . / ; +' i ] i(n,'o:).td-P., r o ' ,o,лl(*i + ].].Еo'.h . i n - ' " /) ,,,pT -,t,lla"(7.r8)(7.19)3 д e с Ь B в e д e н ь Io б o з н а ч е н и я :l{lГ' |.i,Io4,.

+ 1' Lt;'+')'|2,гl'.1,t, _ --.-Бj-"r(+:-t|J'Jсgo + ].t,0li _ 1 .) l|,.....]_j.Ё - ( *-' ]' , ) ll], ' r L . ! r+i _ , _ . /l(7.2t'e]v' лиI]eйньIМпo скopoсти частицьl, Из этих фoрNlyлвиднo,магниTнoNlyпoлю, движе.чтo в плoскoсти, пеpлeндикyляpнoйиoнаявJяeтсясyпepпoзициеЙoсциЛjяциoннoгoниедвиженияс циhЛo|гоннoйчастnГoй и дpёйфа сo скopoстью' pавчoй пoЧастиццo тpаеx]oPииt .|, Пpcдставлениемo)кнo сoставить. лoЛo)кивhТ o г д ав м е с т o( 7 , l 8 ) (' 7 , L 9 п) o Л y ч и М"1',,1."1 ,1 14.оs(*../_.)(Е1;G,тт,t+b+т6' Q'22)'ot7,23'|,\u ',,| уn,n' (''i + l'lПеpиoдичeскиeoсцилляциилeгкo исключaюTся,и мьI нахoдимu..,'vС,lt'l\, , " , / 0 лпl' ,,,Еl\2''t!'' + a,l i/(7.25)УNltlожаяoбe Части уpавнения(7,24)скаЛяpнoсначaлaна v'чтo пPиeдинЙчныйвeктopB/B, нахoдиNI'I|а пoстoя}lньIйа затеN1частицЬtсохpаняеTсяee энергия'Дви)кeIIии^l Ii1т4и пPoдo.l]ьнаякoмпoнента скopoсTи'rl] : v.

в/B : сollst.и L'r : сonst, пoэтoмy (7,24)lvlo)кIlo пpедставитьC.1одoватeЛьнo'(7.26)х в).;(iB систeМeкooрдинатс oсью z вдоЛЬB из (7,25)имeeм(7.27)i:Uaсos(ф0f+P).(7.28), : _ua sin (e',.,.f+ p)i:v|Fт1Plt u/"цр: :(v x в).(7.20')за.Фopмyльr(7.l5), (7'l8)' (7,l9) ЛoлнoстЬюoпpедеЛяloтиoна в средес с0прoтивлeни.кoн дBи)кeнияпoлoжитeJIЬнoгo' t-l,''Jlвелияnn.пoлям E и в, oтнoшeние сoсIавJяю.прнии.п.p|leндикy.,lяpнoм.l/..',,и мо;'eт бы|ь испo"1ЬJoванopавчoДPейфа.n' .nopo.'" ^/.дЛя изN1ePения4. Peлятивистскиe цикЛoтpollная частoTа п pадиyс траeкчасTицЬlдвижyт.тop'Й.

B pe)кимeбeз yскoрeния 3аpя)кеtlнЬlенайдeм зaкoнпoЛe,."," u"nno,.po"" в пoстoяннoмN{агнитнoмypав!{eниидви.движе|tиячастицьlна oсIloваниирeлятивисTскиxеЕ:.'\221t(а, +ь2).\7 '24,Uтсюда виднo'чтo-!qqщ]rнатыJj' ]/ Частицылe)катна oKpyж.yбывающeгoсoнoсти paдиyсa(, 1|vo2+ь2' экспoненциаЛьнoвpeмeнeм,Цeнтp этoй oкрy)кнoстипеpeNleщаeтсяс lloстoяl]нoй|lP,, Е-' n,УГ)тiJBr'oльнa..iopo"."o. иveюшейсoс,]авляюш.lpяженьосl.zв нaлpaв.и ,Лeк]pичeскolоЛoляи , 1s ''' u|''z"(наЧа,1ЬIlаяri(0)/:i(0);фаза я oпpeдeЛeнаpавeнстBoмtsr:r > 0) Из (7.26), (7.27) виlнo, чтo вeктop v| вpAЩaеIся c po|яп uвuсmcкoi цut<лompo||нoйчaсmomoЙеBcт2f с2.(7.2s)z: tr , нaxoдиМзакoнинтeгриpyя(7'26)'(7,27)и ypавнeниeДвижения релятивистскoЙ ЧaстицьI:т : ]! siп (r,..',,1+ р) + C.'(7.30)+ 9) + Cv,3 : J! сos(*..,,1(7.31)z:rt+:(0).\7,З2)40ГLaва 2' Часmuцbtвo в||ец1нuхсu,|oвb|хna]яхg 8 Г p t 1 в u . a а ц u o \ н oыP а u n o d P u .