Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 2

Пoлу,rиlrт.n,": lu ц,n'"(B,o:|.2,З)'Tак кaк r.' n!.eсть кoopДинатаr! тo'lки в систeме ,s/, а n,1n' eстьМатpица3 х 3' эЛeMeнтамиoз, кoтopoйявЛяютсяl{апpавляющиeк0синусы yглoв oсей .т; пo oтнoшениlo к oся[| :U,, пlьl прихoдимк фopмyлам(1.1)пpи пoмoщи кoтoрЬIхмoгyт быть нaйдeньIкoopдинатьIфиксиpo.ванЬo;iтoЧkи в си(трме.5,.],lи.\,. eс,1,]о,]и иlвестнЬ]в oднoй и]нихl,j извeстнaвзаиМнаяopиeнтациякoopдинaтнЬlxсистеп{,llлиньI и yглы Мe)кду радиyсами.вeктopаМив физичeскoмлpoстpавстве Ile дoЛ)кны зависeтЬ oт opиентации кoopдинатl]oй. .

. o n o . t 2 _ g , , n . И в e к т o p ьnr " o p т o н o p .систеvы ЕсЛивSr1NlиpoваньI.тaк чтo no,ni] = d.'3, гдe dop _ симвoЛыкpoнeкeра'l3тoиl|и eдиниЧная N!атpиUа.: x.'u.\'a аlJ|зlJa' nR : x.Q|l,з6.\.1в систeмe s, дoЛжвo6ытЬ pавнo rr;]/;' и пlЬlэтo пpoизвeдeниепo!1]yчаемPаBeнствox d|lo:|I:oуa:а зd a'j o x ii]j^:д-,lяЛюбыx тo, JJ. Cлeдoватeльнo.a 3da1o: 3ih'(1.2)на тpанспoнирo.N1аTpицЬICлeва в (l,2) стoит l,]poизвeдeниenpeдпoлагаеTсуммиpo(oпеpaцияматрицлpoизведeнияванrrую_мaтpицаа]J.r.eдиничнаясгlpаваиндексам),ваниь пo сoсeднимстpансп0нир0ван.сoвпадаeтoбpатнаяматpицачтo^4ы видим,матpицa. и3 (l,2) слeдyeт,чтotloй' т,e, сзd _ opтoгoljаЛЬнаяpавeн eдиницe и пoэтoмутакoЙмaтpицьloпpeделитеЛяквадpатTeпepьдля тoгo Чтoбы пoЛyчитьoбpатныeпo oтнotllенIlюкooрдиIlат'дoстaтoчlloyмl,]oжитьoбeк (l,l) пpeoбpазoваниячасти pавeнства(l.l) нa {r.d' пpoсyммиpoвaть( l.2), НайдeмopтoгoнаЛьнoстиус]']oвие(1.3)zа : аaэ,lt|B@' lJ = |,2,3),Cистемy кoopДинат s мo)кнo пеpeвeсти в s/ пpи пoп1oЩиop.oперaциипoвopoта.кaждol1у Ta(oМу пoвoрoтyсooтвеTсTвyeтpавньlмeдиницe(oтpицатoгoнaльI]aяMaтpицас oпpeдeлиTеЛeм,телЬныйзнаK oпpeделитeлясooтветствyетoпeрациизepкальн0гooтpажeния oкoлo нeпoдвиxl]oгo нача'1акoopдинат' гlpи кoтopoипРавая кoopДинатt]аясистема станoвится Левoй)- двyNl пoс'le.МаTpиц(ес.пoвopoтамсooтвeтствуeтпpoизвeдeI]иeдoватеЛьньIпI|д и l/',:(I'olt,ю'|о:aalа$бI]:).

CyшeствyeтoбPатньjйпoвopoт, кoтopoмy сooтветствyетoбратIlaяматpица'единиl]ныйпoвoрoт нa нyлeвoй угoЛ (eдиничнаяt{атpицаd&),Мнoжествo пoвopoтoвoбpазуeтгpyппy вpаЩений(время, фиксиpoванo) So3 тpeхNlеpt]oгoпpoстpанства,,ЦeвятьпrатDичныхэЛeмeнтoвaa3 лoдчинeнышeсти нeзави.сиl\lьIмypaвнeнияМ(l,2). Пoэтoмy прoстpaнствeннаяopиeI]тация oднoй кoopдинатнoй систеNlы отtloсl]тeльнo дpyгoи зaДаеTсяToлькo трeмя нeзaвисимЬlMипаpаметPамиiгpyппа .9(J3Tрeхпа.раNleтpичeская.систeпlа ]<ooрдинатs, мoх(eт 6ьlть жeсткo связаI]a с твepдым тeлoм, lloэтoму пPoстpанственнаяoриeнтациятвepдoгoтeлa такжe бyдeт oлpeдeлятьсятpeмя нeзависимымипаDамeтDaми,Гjава 1 сu'|мепpuя npaсmpансmва,,,s2 И"onponuчnpo|npoН'nвou фшuчP|кuР'аpa\-еpшnu\us 2. изoтponия пpoстpанстваи физПчeскиeхаpaктepистики дsи)кеltия и взаимoДействийПpедставЛeниeдви)кенияи вза.физичeскиххаpакTepистикиI'1oдейсTвияпpи пoNIoщифyL]кцийкoopдинaти вpеN1енинeизбe)кнo сoдер)китпрoизвoЛ,связаннЬIйсo сЛyчайным выбopомсистeп{ЬlкoоpдинaT,.{oпyстимымиявЛяютсяЛишЬ такие набopЬlс сoхpанeниепjoбъeктЙвногoфyнкций, кoтopЬIeвoспpoизвoдятсясoдержаниявoвсeхсистeI\4aхкoopдиl]ат,дeкаpтoвЬlхфи3иЧeскoгooтличающихся opиeнтациeйкoopдинатнЬ|хoсей' 3акoн пpeoб.pазoваниякаждoгo такoгo набopа фyнкций oпpедеЛяeтсяинBа.pиантнЬllttс0дeр)каниeil сooтветствyющeгo фи3иЧeскoгo oбъектаи матpичllьlмиэ!,IeNle!]тамис,'з' НапpиNlep,электричeскoeпoЛel а p я ж р н P o - oк o ч ! е Ь с а г о pсаo х p а r 9 e |с в o и с в o й .

т в t P р l t в и . и v ooт тoгo' как BьIбpанасистемакoopдинат(и вЬIбpанали вooбще).Bп,teстeс тeM тpи фyнкции' нeoбхoди]Mь|екoличeственнoгoдляоToбpа)кeнияeгo сиЛoвЬIхсвойств. бyдyT pазличнЬIпlив сисTe.мах s и s, (кaк кoМбинацииpазньlx кoopдиI]ат),Д1Ьl дoЛxнЬ|oгpаничитЬэтoт набop фувкций тpeбoваниeм.чтoбы пPи пoвo.poтах s абсoлютнoe значениe !]агlpях(еннt;стипoля oставалoсьoдни[l и тeil )<e, a чисЛа' oпpeдeляющиeнапpавлeниeлoЛя,I]oдчиняЛисьy)ке yстанoвЛеllIJьlмпpави,'lаNlnpеoбpа30вания на.пpавЛяюlцихBeктopoвдeкaртoвoЙсистемьIкoopдинат,B oбщепlслyuае физичeскиeoбъeкты' кoTоpЬIесaпlи заllаютoпpедеЛeнньIенaпpавЛeнияB прoстpaнствeи I{oГyTизменятЬсяпo абсoлютнoй веЛиЧинeнeзависимo oт их пpoстpансTвeI]нoй0риeнтации,пpeдставиМЬ|в видe ]4n' гдe n' напpи]!1eр' oдин и3направЛяющихвeKтopoвсисте]!1ьI'9, Умнoжипjoбе части pазлo.(2.1)tlа .4n и пoлo)киN /1:l =,1n .

n'1' Toгlа пoлyнипl\2.2)чтo эквиваЛeнтн0(2.3)Pавeнствами (2'2), или (2-3), пpeдставJeнo oбщeе oпpеДе"lениe вектopа Kак набopа тpех чисeл. oтoбpа)(ающихoсl]oвIlыeсвoЙствафизиqeскихoбъeKтoвoпpeдeЛeннoгoкЛасса и связан.ньlх закoнoNlпpеoбразoвания(2,3) для всeх кoopдинаTllьlхси.стeм.9, S,. B oбщeм слyнае кoмпoнeнтЬ|вeктoраявЛяютсяфyнкItиямикoopдинати вpeМeниl,4" : ,4"(:l'y';' 1)' и фoрмyльr(2,3)15yс']oвий opтoгoнаJ']ьсj\Iжат oпpeдeЛениeмвеKmopнozo no|я- и3чтoсЛeдyeт'(l,2)сЛyчаeвэтolllнoiти,1.,,4.'= A2(т' 1и.u, t) = А:,А:,: ^', (I, ' у,, z' ' t ]'т'е, закoн пpeoбpазoBaнияквaдрата вектoрнoГoпoля пpи пo.пoворo1.ахсистeNlЬlкooрдинaтсвoдиTсяK заменe пepеNIeвнЬIх,акoчoпpeде1е,loваnияс1)/(и.пpeoбpаТ"(oй(l,3),d,:Ll'l\Jа!',q в J l я e т с ня а и б o Л р ри(ка,]яpнЬ|l\и|ваP,,lангньх)функU.rйн,р\'HeтpyднoпpoверитЬ'Чтo скaляpнoеnoле - эт0 пpoиз.I1рoстЬIIJ,) ,,loB" _ A ' в любых Двyх веhIopнЬ|хlloЛеЙвo]е]ие ((ка.,lяp.|oeПpoстoй зaкoн прeoбpазoвaнияскаЛяpньIхфункций стиl!ly.oписании физи..1иpy;т их испoJЬзoваниeпpи кoЛиЧeствeннottlческих пpoцессoв да)кe Toгда, Koгда зтЙ фyIJкции нe являютсяoToбpa)кенияltlиодяoзнаЧнЬIмифизи,]eсKихoбъeкToв(пoтeнциапoлeй,фyнкции Лагpан>каи ГаМиЛЬтoнaи т.

п').]]Ь|си,1oвЬ|хBектopнЬIепoля A(jг.},z.i), B(t'y';,t) пloгyTбытЬ связанЬIзависиMoстьюА,, : Т,'!1]зiз, Такая зависимoстьмeж."]инейнoй1\ фЧ]иЧески\!и,\аp.{Iеpистиками!oлжна сo\pаня,гЬсяи п,Pи, р p P \ o ] eк с / с I e ] \ I nе o o p д и | l а5r, . г , e N ' р , ] вь и д А , ' + ! n ' А ' Ilo кol,!пoнeнтьI-4.' так )<e как и Bо. лpeoбpазуются пo фoptrlу.лам (2'2)' (2,3)' Испoльзyяэти фoрNyльl,нахoдимI1ю :rl||,1(lo I]1\2.4)ЕсЛи в прoизвo"1ьнoйдекapтoвoй сисTeМe кoopдинaт физичeский oбъект задaн дeвяTЬю ЧисЛaми Ъ/J' занyМepoван.llЬ|l\lидвyMя иI]дeксaми .r.

/] (.l' 9 : 1' 2' 3) и связaнньIмиформу'.lамилpеoбpазoвания(2'4) пpи пoвopoтаxкooрдинатнЬIхoсeй. тo мьI бyдеNlсчиTать' Чтo задан тeI]30рвтopoг0 ранга._ mен1apнoе noе, СУммa FvlaГoа пpи I',:т."o,!]'z'0сnеd Т\t тензopнoгo пoля' как Bиднoна;lьIlьlх кoпlпoнeнт' 1.1J1ииз (2.4), нe.и3lleняeтсяпри oпeрaцияхпoвopoта'т'e' явЛяетсяскаЛяpIlь|Nlп0лeм,CooтнoшениявидаАn: P.g.',Тt^,, А" = P"n..,BpC.,п{eждyфи3ическиМихapaкTepистикамиoбъeктoв будуT сoхpасистe.нЯть свoe физическoeсoдepxаниe вo всeх кoордиI]aт!]ЬlxиJ|и |сaваpuaнmнымu)' ecлЙ Рo31хaх S \фopлuнвapua|o||нt]l!||l1б!Цут кoilлoнeнтaпtитeнзopатpeтЬeгopанга:raз'':nб||I'1,Il 'n]'Fo.(2.5\Cuммеmpu,tньLi mензop вTopoгoранга, тai] : 7i.,,r!'1eeт в oбtцeNlсЛyчаешестЬ pазЛиtIнь|хкoМпolleнт(тензopC"Di I CgD.'l6хаpакmеpuсmuкш |762, |l\опponuя npocmpaнсmвau фu1uчеct|uеГ!|авa1' сuммenpuя npaсmpaнс|nвa',,сoставЛeI]ньIииз кoмпoнeнт вектopoв' теllзop инеpции твеpДo.гo тeЛа, тeнзoP t(инeтическoгoдавления,сиlttвoЛKpoнeкеpа6.3и т .п ' ) 'Аflmuсutr| empuчнb|й mенЗop B7opoГo pa1'Гa' Тa|J : _T'за'(тензopс;-D', CgD.,' мoмeнтимпyлЬса.мoМеllтсилt напpя)кeн.нoсть магllитн0л0пoля и т, п,) иМeeттoлЬкoтpи сyщественнoPаз.r']ичl]ыxсoставЛяющих,B этoм oтнoшeнии oн пoдoбeнBектopy,Пoэтoмy мo)кнoпepeoбoзначиTькoмпoнeнтыаIlтисимметpичнoгoTензopa4j так, чтo\ =,1Ъз' Tэ=Тu,T3: T|2'(2.6)и считатьиx сoставЛяющими((псевдo'oT гpeч,псeвдoвeктopа<psёudos'_ лoxь), B настнoсти'для тeнзoраIL.''l: C"Dз сJD.

бyдeмимeтьKt=СэDзС3D2' K2:C3p1 -СlDз'K з = CtD,t - C z D t .Линeйная зависиIмoсть/.t : xtl]B, мeх(дy двуМя вектopа.',1тензop.в нoвьIхvи A и в, в кaтapoЙГn 'антисиvмртpич|-ooбoзначeнияхпpинимteт вид: BzTзАz:BзTt _ IЗtTз'K:CxD.A=BxT.BзТz'Аз : BtTz _ BzTl.\(B кaждoй из этих стpoк двe пoсЛeдниефopN1УЛьIпoЛyчаютсяиз пepвoй цикличeскoйперестaнoвкoйиндeксoв.)ЭTи фopМyЛЬlvn|уг pа(сvатpиватьсяв hацесгвеoпpeдeЛрниЙoпеpациr,lвекгoP.tloгo лpoизвeдeния и д0t]yскают симвoЛическoe прeдставлeIJиe^4ьIвидип1,чтo вeктopl]oeпpoизведeниeдвyх вeктoрoвeстьnсевdoвекmop,а вeктopнoепpoизвeдeниeвeктopаи псевдoвектo.Mo)кеTслужиTЬ Moментра есTЬ вeктop,Примepoм псeвдoвeкTopaимлyЛьсачасTицыL: I x p,Псевдoвeктopы'тензopаIl.мo.дyальllыеaнтисимN1eтpическимгут paссматpиватьсяв каЧесTвесамoстoятeльньlхдиффepeнoбъектoв,oднакo нeкoтoрьleoпepациициаЛЬнoгеol!1етpичeскиxс ниMи (напpиMеp'сЛo)кениевeктopа и псeвдoвeктoра)бyдyтЭтo связанo с сущeствeнIlьIМфизичeски бессoдеpжаTeлЬньlМи,oTличиeМB закоIlах пpeoбpазoваниякoмпol]eнтвектopа и псeвдoвeктoра.B частнoстиtдЛя кoмпoнeнтьlЦ псевдoвe(тoра(2.6)в сooтвeтствии с фopi'улами пpeoбpазoвания(2-4) имeel.a\= \о22а33а23о3)T,1 + (.а2gа31 u21ц)T!++ (а2|а32_ а22oЗ1)T!, (2,7)Здесь .loJ : non1' таK чтo стpoки oпpeдeЛиTeЛяo,l ,rr2 otJl.

1 Р (l d n' ln2l o,) o2'|nз1 oJ-o ''|составленыиз пpoeKций oрToв nl, n2' nз на oси систeмы ,9/,- из пpoeкuийKвадpaтoвopтoвn!, n!. ni на s, сyN!Маа стo'пбцыстрoки иJlи стoлбца pавна eдиницe.Напpимep.э,1eileнтoвo?l+aъ+oi3:1.пo элeментамэтoгooлpедеЛитeЛяС ttpyгoйстopоны'pазЛoжениeпеPвoйстpoкиимeeтвидd t ' l k l . ' J ) : с l l ( a 2 2 l l з 3 . а 2 3 a 3 2 )+ a | 2 ( a 2 з а з | _ a 2 1 с 3 ) *+ аз1(a^a32 a22аы),ч,гo дoл)l<нo сoвпадаTЬ с lrpедьIдyщeй фoрNlулoй вслeдсTвие едиLl.ственнoсти pазлoжeния вeKтopа n1, СлeДoвательнo,всe тpи вьl.pажения в кpугЛьtх скoбках сoвпадают с пlнoxителями пpи !lиx'pавeнсвoeмуаЛгeбpаичeс.т е, кa)кдыйэneмeнтoпpeдeЛитeлязнакамиeсли dеt(aoJ)= +l. и oтличаютсяliо\lyдoпoЛнeнию'1, OстаетсяyчестЬэтиoт этих мнo)китeлей'eсли dct (o.,l) :pсзyЛЬтaтьIв (2,7)' Для кoмпoнeнт72! T3 рeзyльтатыбyдyтчтo пpи пpoстыxаналoгичньIми'и мьl прихoдимк закЛючeнию'псeв.пoвopoтахoсей(dеt(с.'p): + l) кoМпoнентЬIкooрдиIlатньlхдoвeктopа пpeoбрaзуются пo фoplllуЛаItl1а:аoi13-(2.8)Пpи пoвopoTах,сoпpoвoжДающихсяoтpaxeниеIvl,т, e, изIцeне.1 ) 'т ениеM знака oднoй или всeх TPех кoopдинат(det (a.'J) :жe кo]!1пoнeнTыпpeoбpaзyются пo фopмyЛаМT.:_а"l.|з-(2.9)ИстЙн|1ыЙ (noLяp||blЙ) вектop в oбoиx этих слyЧаяx пpеoб.pазуетсятoЛькo пo фoPмyлам(2-2\' |2.з)- из (2'8), (2,9) виднoтакжe' ЧTo пpи l,]есoбствeI]нoMopтoгo!lальнoмпpeoбpaзoвaнии(повopoтс oтpажениeм)буДет изМeнятЬсвoй 3нaк нa прoтивo.пoЛожныйскаЛяpнoeпpoизвeдeниeт, е,вектoраи псeвд0вeKтoра!лсeвдoскaляр,Инваpиантнoe сoдеp)@ниe мoгyт иi{еть Лишь таKиe сooтнo.0]eнияltlе)кдунабopaмифyнкций' сooтвeтствyющиxфизичeскимaеЛичинам'в кoтopьIхвсе слагaeпlЬlеиMeют oдlly и Ty xe тeн.зopную разMepнoсTь,зависеTьoTTакие сooтнoшeниянe дoЛ)t(нЬl|Аt8хapaФlеpuсmuкu |9s 2, И\ampoпuяnpoсmpaнсnваu фuЗl1цескuеГ , 1 а в аl с u v q P n p u я n p o с m p а н с n в а ,Тoгo' oтдаeм ли ]\4ьIпpeдпoчтeниe праBьI^4коoрдинатньIMсисTe.МаМ или лeвыM.

A пoскoльку при эToм закoнЬIпPеoбpазoваниявектopoв и псeвд0векTopoвyказанl]ЬIeс00тtloшенияразлич|]ЬI]иЛи уpавнeниянe мoгyT сoдeр)кaтьв качeсTвeсЛагаеМьlхoднo.вре[4еннoскаr'rяpЬIи псевДoскаЛярьl'векТoрЬlи псевдoвекTopы'Bсе слагаемьIe так)кe дoЛxнЬI иМeтЬ oдt]у и ту )кe физичeскyюpазмеpнoстЬ.Физическиexаpактеристики'кoтoрьlесoвпадаЛибы пo свoимсвoЙствамс антисиMI{етpиЧньlп{ипo всell и]]дексамтензopаМичетвеpтoгoи бoЛeeвЬIсoкихpaнгoв' в треxl\1еpнoNtпpoстранствеoтсyтствoвать.Bсe такиe тeнзoРь]pаBны нyлю. AнтидoЛ)кI]ьIсиьlметриvньrйпo всeNl иIJДекса]M,Гellзoртpетьeгo paнга lr,,lимее'ГToЛькooднy oтличнyю oт нуля сyщeсTвеннyюсoставЛяю.T231.Тj12 сoвпадаФтс ней. a ?321' ?213'щyю Тl2з. кoNlпoнеI]ты?lз, oтЛиЧаютсятoлькo знaкoп.