Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 3

Свертка тeнзоpаToз1 с вeктopа.ми а, Ь' с имeeт видI : I,,p,a,,bjч :: Tp3(а1b2с3a а2фе| + aзb|(:2 азь2('I11.12а1\с2а2bg1):|1з-rl .IAr i' Dз'_ЗдесЬ 1скаЛяpl а сNteшaннoепpoизвeдeвиeа (t, х с) _псевдoскaляp. Следoватeльнo, eдинствeнная сyщeсTвенная сo.ставЛяюUlая т12з антисиN1Nlетpичнoгoтeнзopа 1'aB.| яRJIяе.|сяпсeвдoскалярoм,вс"1и,наприМер'71:з : l u правьlхкoopдинаT.ньIх системах' тo 12з :l в левьrх систeмах кoopдинат-D1ьIпo-.Г.Еo,^l (симвoл:.,"ЛeвиЧивитьI),eсЛи пoЛoжим: Е 2 з:l . з 2 l ,I n-,] : ,зэt :€ ! lз : .lз2.l(2.10)есnucpеduзнawнuйс''' |3' 1|0'еcmbсoвnсIoaющuе,\Toгдa кoМпoнентывeктopl]oгoпpoизвeдeниявeктopoвt) и сI\4oxнoпpeдставитьв видe(Ь x с)., : с"3'b3с,.a(2.t2)(Ь х с) : е.'p,a"b,',j'.д Л я д в o й н o г o в е к T o p l { o г 0п р o и з в e д e l J и яи м Р e N 4.

tbс)}" ::^11€ pJэь{\,]а( 2 . l1)Cлeдoватeльнo,сMешaнI]oeпрoизведeниeвeктopoв а' ь, с,сoставЛеннЬIЙиз кoп!пoнeнтэтих вектopoв.или'toпpeдeлитеЛь'(2.r3)с дpyгoи с,гоpoнЬI'с(a ь)}":(а"l,ljэ"{ах(bхс)}":iь(а.фсpавниваяс (2.13)'пpихoДиMк тoждествусn3,чp.^:6",liз"lo.,6l,,6".,6вp)uзЬ,с.,(2,\4)7o',nyальнoгoаt]тисиNlN1еTpичIlooпрeдeлениепсeвдoвектopаMo)кeтбьIтьпpедс'ГавЛeнoв видeruy тeнзopy 7a!, тeпеpьт": !с.p.,тз.,-(2.15)Упlнo)кая oбe части этoгo pавeнсTва I]а .дla' сlМмиptя п0 a.

, l ' ] o в . я ( 2 , l 4 ) , v o ж н o в Ь | p a з n I oо б р 2 r ч o h о Ч г o р н - Ь , а | I ис и N l l ! 1 е T p и ч н o гтoe н з o p a ? Ъ , в , Г e p п l и н а х с o с т а в Л я ю щ и х Д y а Л ь I l o г oпсевдoвeктopa:I r .- "Jl: T 1 2 3 { a 1 ( xЬ с ) , + o 2 ( t , x с ) 2 + o з ( b x с ) , } : | 2 3 a , ( ъ ;x с ) .ЛУLlиN1 псeвдoтeн30рпoстр0eннoгoна этих Еeкто.Чтo тo х<е,oбъeм пapалЛеЛeпипеда'кoмпoнeнтьI вel{тoрoв:вырa){<еItoчepeзбьITьявнoNlo)кeтpах)(2.16)Tаким oбразoNt,Tензop€ d 6] нaрядy с симвoЛoMКpoпeкepаJ.,дает вoзп{o)кнoстЬпpeдсTавЛятЬ oсновньIе аЛгeбpаиЧеские oпеpаЦии с вeкTopaми нeпoсpeдстBeнIloв тeрминaх их K0мпo.тaкихnpи этoM сTаI.]oвяТсяненT.

oqевиднЬINIиДoказатеЛЬствавторoгoпopядка'oпеpацияпlитo)кдествс дифференциаЛЬнЬIмикак lot glad Ф(l' g' z' t) : 0' di.l Iot а(,' }' z' l) : 0,Тoгдаскaляpнаяфyнкция кooрдинaти вpeN1ени.Пyсть ргДеaa:аo.JxIв.'циффepенциpyяФ'Ф\r'у'z.t'): фQ|'у|,z,.t)'наxoдиМoфo|"Dф\xn :o , 1l d . с ' \a.!IInс\ -oJ 1'Слeдoватeльнo, нaбoр частных пpoизBoДньIх0ср/0.с. oбpaзуe.tвектopноeпoлe glаdФ иЛи vФ, СoвoкупнoстьвтopьIхпpoизвoД.ньlх О2'ilfОtoОxg (o'9:l'2'3) oбpазyеTв ка)кдoй тoчкe пpo.KpoнесTpaнсTвасиМMеTpичныйтензop,Егo свeрткaс сип{вoЛoмкeра пpеДставЛяeтсoбoй oпеpатop Лаплaсa AФ:_o-QA2,1,0r"dx,,ox dor Bи являeтся' oчeвиднol скaЛярoМ,(2.17)20Час'ГнЬlспpoизвoдныe?)ir.,,/l,,' вeкTоpногoпoля 0., oбpазуютв видетензop вToРoгoраIJга этoT те|lзоp Njo)tнoпpедсTави.Гьсу\1NЬJ аt{тисиNlметPичнoгo тeнзopа| | aо,,t\at,tl)a; \at,)(2.18)и сипlNJeтpичнoгo( 21 9 ).'*)Ц*Псeвдoвeктopопr.тeнзoру (2,l8)' явnястся'и \|/,Jл''J',,\2,zotr'\;,)")JJ.(2'19)' яв".lя.Свсрткa тснзopoв(2 19) и ri".t.и.0ис'1eд'ГeнзоpалoлeI$duвеpеенцuu a,ется скаЛярlJьIl\{l|О".'l\o,т]., r \ n = - o L , , r l-.t, l\+;--o-f, /()i.,| : ; -|,J f .(2.2t)L в е Р т к а с и ] v N l е T p и .

l н o г oи а I ] т и с и N l N 1 e т p и Ч н o гтoе н з o p о в в с е .г д а р а в I r ан } ' л ю , П о э т о N l у(rоi grаd Ф).'д']я oперации rot rota иNfееN1llot rot а].} ::llj^,aaт = pсas9.]/: psill''а т а к ) к e с ф e р и ч е с к и м и 7 ' .l , ' ! ' 'l = i'si]l '.? : l.сos 6Pис, l,сoo1.нoшения!е){{дудеI{арTовьrN1и. Цилиндричес]{икooрдинa.Njи и сферическиl'итаN1и Oдной и тoй же тoчкитpадиyс-вектoрпpeдсTавитЬпoзвoляl0т(рис'l), Эти фoрN{],льlToчкив видефиксиpoваннoиг=.ri |зjtzk:: р(сos9i + sind) + zk = рn|'+ z\, :: r(sin1]n/,+ сos0n,) = rn,., (3'1),Э T а ф o p п j } ' Л a N j o ) к с т б Ь I 1 .

Ьп е р е п и с а н а п o л н o с т Ь ю в с и ] \ { в o Л иt l е с к о и ( p o р ] \ { ев е I ( т o р н o Г o а н а J , ] и з а . е с Л и в l l е е I l o I l с T а в и T Ь ' Г o ' { д e .ствo (2'l4)' пoлуЧиrVI$ 3. КpивoлинейньleBЬIбepем дeкаpтoву систе\IуюoрдинаT с нaчалolJ в некoToи опpедерOй тOЧкепpостpaнс'гваJеннoЙ opиентaЦиеи коopдинaтl ] Ь I хO с е й . П о л o ) K е н и e I I p o и з в о л Ь нOй тoчки пpoсTранства с к00p.iиllатаl{и tr].g. z п1o)кеТбьiтЬ oД.] ] o в P e \ l е н н oз а д а н 0 Ц и л и I ] д р и q e .p' !' z' IaскиNи кoopдиI]aтa]\lикиl\lи' ЧToP а д и у с . в е к т o p в ц и Л и I J д p и Ч е с к o йс и с т е i { е к о o p д и н а т и N { е е T- ToJ'Iькoi1весостaвляющиe: нa oртЬI Il/, и n:' а в сфeрическoикoopдинаты' a Tак}кeoдну' на opт n,, Пpи дви)кении тoЧки Bсескоpoс'гивeктoрaB е к т o Р ь In p . n , б у д у т ф } , н к ц и я r u ив p е N l е н и ,д J ] ят o ч к и б у д e N lи M e т Ьаr;Ё.'Ц'т"|:ц''rot Iot а : grаddi\.а2lкaopоuнаmьLs 3 Kрuвa'1uнеnныеГnва |, сu11меnpuяnpoсnpaн|nва-,--\а,12.22)кoopДиватьIK к p и в o " l и н е й н ы п rк о o p д и н а т а п l I l р и х o д и 1 .

с Лп р и б е г а T Ь , к о г д a(иЛoвьIхпo.qей'н с o б х o д и N j ov Ч e с т Ь l r р o с т p а н с т в e H н y юс и N I N l e T p и юв кoтoрЬlх llpoисхoдиT дви)кение ЧaсTиц, ,цЛя задач с ilиЛин.д p и ч e с к o й и с ф е р и Ч е с к o й с и N l N t с т p и с йe с т с с т в e н н Ь l N i и я в ! ' ] я | о т с яц и J l и I r д p и ч e с к и еи с ф е р и L I е с к и ек o o p д и н а т ь | ,сlt: il+ ,ij - 2k : lln,+piР + 2lr, = i n,+rn, '(3'1)B сoотвeтствиис опредeЛенияN1иn l = ( s i n ' i ] .

с o s f j ) e= 9 " , ( я +})n. : (сosdn, - sirld n.)li + sin dn, = dп6 + sin dфn",Iloэтoпlyсoстав.пяюЩиeвeктopаскopoстиv в дeкаpтовЬII'цилиндрических и сфepичeсKихсистellах кooрдинаTсвязанЬIфopN1у.nаN{иv = ii + ij +:k : pnp + Р|i||i + z'rz =: rl. + r0no+ л snrd рn",(з.2)Глaвa l' сuм empuяnpocnpансmва.',часnuц,L.Дuнаяuчеcкueфgнкцuu$4. Toчечнb|еoтсюда виДI]o,чтo квадpатвeктoраскopoстив тepминаxeгopавеtlсoставляющих,l,2: |i:2+ + 22 :0ф2. (э,З)i2р2 1 p2р2 + 22 : 12+ 12a2 + i si|\2пpoекцийвектopаyскopeниятol]кинa надЛя вЬI.rислeнияпpавЛяющиeopты систем кoopдинатсJедyeт лpoдиффepeнциpo"вать пo вpемeниpавевсTва(3,2) и вьlpазитЬпpoизвoдIlыeoтнапpавЛяющихвектopoвчеPезсами эти вeктoрьl.Toглапoлyuим\у =+ = dvldt= x:i+llj+.k:I!'Р1.'Inp It,1i,."||1.1э)n:|''|'|,ti,А'.гJ,r'iп|'0,'l", l"/ silttt,,*Аs,lng .,1_ -, 1b,lt| а,]n', ,з o,, ' - , ' o) ; r 'задачи в пoЛe двух куjoнoвскихцeнтpoв,.Динамическиeа такжe в кyЛoнoвскoми oднopoднoмэлeктpичeскoмпoлe це.pассматpиBатьЛесooбpазнoв эллиптичeскихи паpабoЛическихкoopдинaтах.Bo всeх сЛyчаяхдекаpтoвьIкoopдинатыбyдyт вьl.чеpезкpивoЛинеЙньIeкoopдиtlатЬIпо фopMyЛамрa)i(аться(3.5)r \ q | 'q 2 'и ) 'дoпyскaющимoбpащeние.

/ . ': i r o ( т l ' J 2 ' J ] 3 ) ( o :l'2'3),(3.6)ЕдиниvньtенапpавЛяюrциeвeктopЬIмoгyт бьIтЬввeдeнЬIкаквектopьi'касатеЛьнЬ|eк к00рдинатнЬlМЛиI]ияM'вдоЛь кoтopыxизмeняeтсятoлькo oдна кoopдинатаqo' и l]апpавлеl]ныeв стo.poну вo3рaстаllия i/o, Hапpав"leниe касательI]oй к кoopдинатIloй,']инииq' иlteет частная пpoизвoдная Oг/dqo (oстальвьrе кoopди.наты фиксирoвaны),Pаздeлив ка)кдыйтакoй вeктop' o : l'2'3'нa eгo Мoдyль'л0лyчиМTpи eдиничныхвeктopа--"Dt/Do.l dг0r ll,r"lH"0q.(3.7)3десь пo о нет сyмМиpoваIlия. и мoдyли пpoизвoдньrх (кoэф.ф и ц и e н т ы Л а м е ) o б o з н а ч e I J ыч е p е з Ё 1 o , Е с л и в с е n o в з a и п l н o - п е p .лeндикуляpньl в кaждoЙ тoчкe, т0 систе!tа кooрдинaT яBляеTсяopтoгoнаЛьнoй.

Любoii вектop A Moжет бьITь пPeдстaвЛеIJ в виде/..n.', B часTнoсти'дЛя вeктopаскopoстича'drу = ::,:--|!"Qo11o :(3'8)ltoll.o,дpyгую тpoйкy eдиIlичньIхвeктopoв' пo кoтopь|м мo)l(нoPаз"r]o)китЬпpoизвoльньlЙ вектoр' мoжнo пoстpoить. испoЛьзyявeктopьl. нopмаЛЬныe к кoopдиt]атнь|мпoвepхнoстям. Пo нopiltа.]lик кoopдинатнoйлoвepхнoстиq.'(.i]|'l2'.г3): сonst налpaвЛeнвектope'Iаl i]..n. __ tj' re!r:A:pазЛoженияимеeп{стиць|V4" _|'dl | . u' 'J,\|J,J;;tк;ur2с/\|q',|-т|.-l'2--т'|ox1 lна eдиницу вeктopыn, pавllЬlтаIi чтo l]opмиpoванныen' : vs' /lvs"l : Y(1"/h",(3.9)паpаNleтpьlпеpвoгo пopЯдка.длягдt]/lo _ ДиффeренциаЛьныel(oopдинaтnd : n"' h,": I lH"'opToгol]аЛьIjьlхмo)квo oбoбщитЬ лpиведeпньIeвыLl]eoпpeдеЛeния вектopoви ]eнзopoвпtтеlttза\leныB jтих oлpеleЛенияrматpицd''J Линeй.нь|х opтoгol]аЛьнь|xпpeoбразoваний матpицап1иОq,,f 0цi1,' вoзни06Цих нeЛинейныхкающи]!tив резy,1ьтатедифферeвциpoванияl|Pеoбpа3oванийкривoЛинeйнЬiхKoopдинатqa : q" k\l,, s2,.