Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 9

Цeлeсooбразнoпoэтoмy и B дo.yсЛoвиях(l0,l l), (l0.l2), кoтopьlмиoпpeдeЛяютсяпoЛнитеЛьньlxпoЛя Е, в чepез сKaляp|lbLЙ|1 вa.mopн|'L|inomенцuаJlы р |1 ^,искЛючитьлoтeнциаЛьl.диффepeнциpyя(l0.ll) пo Io и сyммирyя peзyЛьTатЬI,на.хoдиМсаtjиitи qастицами, тo явный вид этих фyнкций мo)кeт бытьнайдeн I]а oсIloвe втoрoй паpы ypaвнений,lvlаксвe,lлa:ob',d'Аl--1--:.,t.---.L, ]UJ'-'-0.(10.15)divB:0.CвеpткаuастньtхпpoизвoднЬIхвeкTopa-Е"(г'f) с nсeвдoTeнзoPoмЕoз,rдаетaE.иЛи= _..tll(10.18)ao,l вL1JIl1Ё"l-lб-(10.17)Io2pa,А.е."o,0t0xj| оB"с at'(1 0l.6 )lавсаtTaким oбpазoм' oбщee выpахeниe для сиЛы, дeйствyющeй начастицy в пoJlяхE, в мo)кетбыTь прeдставлeнoв виде (l0,14)пpи yсJoвии, чтo пo,1яЕ и B yдoвЛeтвopяютypавнeниям(l0.l5),(l0,16). Эти ypавнeния сoвпадают с nеpвoi napoi цptl'в|!е||uаI|4al<свелlaдЛя эЛeктpoмагнитнoгo пoЛя: нa тoчечriylo чaстицус эЛeктричeским зapядoм с в эl,lекmpuqескol|1no,xe E И ]||аенumнoм_no]е B ДeЙсTBуeтсu!7a 'llopенцa (|o-lr4)tJЬIвoдo т0м1 чтo в pамкaх п1eханикимoгy-гбыTь yстaнoв'l]eнЬlypавнения эЛeктpoмагнитн0гo пoля' нe сoдeр)i(аrциеистoчникoвпoЛя' нe ЯBляетсянеo)киданIjьlМiтак как yPавнeниядви)кeнияtlастицьl в пoЛe сoдepжат инфopмацию нe ToЛькo oб измeнe.IJии сo вpeМeнeмкoopдинaтчастицы, t]o и oб eе Bзаимoдействии с сиЛoвЬ|Nlпoлeм' Этo взaимoдeйстBиеoпDедeляеTсятDeмяp а в e н с т в а \ 4( иI 0 , I 4 l ' l l 0 ' l 5 ) ' { l 0 , | 6 ) o д h o в p е м e н н oP .с л и i и Л адoЛ)кllа зависeть 0т кoopдинат и скoрoсти Частицы' а фopмаypавнeниЙдви)кенияoгpаI]ичeнаЛагрaнжеBoйфopмoй, Тo,1ькoвсe тpи pавeнства(I0,l4)' (l0.l5)' (l0,l6) пpeдставляютсилу'дeЙствующую на частицу в пepeмellнoмМагнитнoм пoле (см.ни)кe индуKциoннoeускoрeяиeнастиц)-Oднакo этих 06щих свe.дении нeдoстaтoчнoдля oпpeдeЛeнияявнoй зависимoстинапpяxеннoстей пoЛeй E и в oт кoopдинат и вpемени.oпpeдeлeниеявtloгoвидa фyнкций E(г,t) и в(г,,) являeтсязадачeй и механики, и эr1eKтpoдиlJамики.Ес,1и извeстньl закoныдви)кенияN частиц в пoлях E(r' f) и B(г, t), кoтopыeсoздаютсяrotЕ=B свoю oчeрeдьзaкoньIдвижeниячастиц мoгyт быть yстанoв.ЛeньIleсли известeI]явный вид E(r' .) и в(г' t)'BЬIpа)кeниями(l0-ll), (l0'l2) пpедставлeнopeшeние пepвoй паpЬl уравнений.&1аксвeлла'ПoдстанoвKа их вo втopУюrrаpу (l0'l7), (l0'l8) привoдит к инTeгpaлЬньIмфopМyла!'lдЛяэJeктpoпlагнит!]0гoпoля;пoтенциаЛoв-Jв(t r-i"-nr)i-.,,> г|о\r - rl\1l]nt ov 'а0 r *r.',r))-,,,',l.)л1.,o oo*Jt..'lr!n tqlr ' | t , ) \ , ]d|' ,v '(10.20)пoтeнциаЛьIвнeшнегoлoЛя.гдe.i0, A0этими фoPмy.Знaченияпoтeнциалoв9 и A oпрeдeляютсякoopдинатыгi(f) и скopoстичастицv'(.)ЛаNlи'eсЛи и3вeстнЬtypавнеFиЙк а } 'ф y н к l и и в p р v е ч и,'] , е ,e с Л ии з в е с т н Ьp le ш р н и яN частиц.Bмeстeс тeм ЛoЛяE(r't) и в(r'l) частoдви)кeнияпPихoдиTсяанаЛитическина 0сн0вeэкслeриМeнтaЛьныхзадаватЬзадаЧасвeдeнийo pаспредeЛeниичaстици пoЛeй,,цинамическaяв таKиxсЛyЧаяхбyдeтнeпpoтивopeчивoй,eсЛиE(r,t) и B(r't)бyлyт yloвлeтвopятьпеpвoйларeyравнeниймаксвеЛЛа,ФуякцияЛагран)ка чaстицЬI в эjeKтpoмагнитнoll пoлe сo.(l0'7)' (l0.l0) pавнагЛaснoфoрмyЛамl - Lo(v) .l(г'i)_|r.A',цr'!1.(l0,2l)3л'есь16(v) сoвпадаeтпo фopмeс фy!tкциeйЛагpан)канeвзa.имoдeйствующей частицьl.ПoтeнциальI стациot]арньlх oдl]opoдных пoЛeй E и в мoгутбы Iь найдеttынenoсрPдствeннoиз oлpeДeлeниЙB:тotA,E:-Vр.(10.22)Глава3, ФцнкцьяЛaеpaнжau gpавненuяJ1а2paнэ*а,.'Paзpец]aя(|o.22) oтнoсительнolp и A, нaxoдиМ.

,),J -- Е.г. д = l.в2'(r0.23)Beктopный пoтeнциаЛ A мolкeт 6ьlть вы6ран таюкeв ви.дe A'^_^{0'0}, в систeмe кoopдинатс oсью Oz в!o]D в,-B!,|J'_ {U'U,t,l, LлeдoваГельнo'фyнк|\|1ял1гpaн>кaЧас.иI,lьlв с1а.циoнаpнoм oднopoднoм эЛектpoмаг|lитнoмпoлe paвнаr : ro('v)+ еЕ.r +*v.(в x t)'9 |l Hеoёнoзначнaсцьфgнкцuu ЛoеpанlкaTак как Jpавнeниядви'(eнияoстaютсяl]еизмeннымипpизамене, на ,' для paзнoстиA, имeeмypавнeния(11.1)кoтopыe I]e yстанавливаюTкакиx.либo дoпoЛнитeльныxoгpaни.Пoэтoмy всечeний на io, to, связанньlхypавнeIlияMидви>кения.кoэффициеtlтЬl лp|I iв |1 iR, пoявляющиeся пoсЛe выпoлнel]ия(10.24)(11.2)E ' с л ии з в e с г н ы' ( r ' / ) ' , 4 o ( г ' / ) ' т oу p а в н е н и яд в и ж е н и яч а .стицьl п0д цeйс]виeMсилы Лopенuа мoгyт 6ытЬ лoлyченылvтeмy н к Д иЛи а г p а н ж(al 0 ' 2 l l в y p а в н e н иЛяа r p а н .l>кa: .

" Ilv,lIY : : : - ,a фпoслeдyюLl]егoуравнeIjиях пp0извoдныx.вЬ,числeниясoдepжащихсЯв этиx(11.3).,*I";.To oбщe^eвыpа)кeниедЛясилыЛopенца'.,..11l:l!'ypавненияпoЛя(l0.!9)'(|0'20)имеютмeсro независимooг ви.да ,0(v)' T-e. в нepeЛятивистскoйи рeЛятивистскoйМеxаникe,rrpинципиaЛьнoepа.зличиемe)кдyдвyMядинамичeскиl{итeopия.ми в фиксирoваннoйсистeмеoтсЧeТаoпpeдeляeтсяфopмoйфyнк.ltиu Лarpaн>кaнeвзаиi'oдeйствyюЦeйlaстицьr ,0i")и ,ъ;;;в ooЛастикиIJeМатикии пpeo6pа30ванийoT oднoйинepциаЛЬнoйсистeмьI oтсчета к друloй.s l l.

Ilеoд.:o raчнoстьфуrr.кцииЛaгpaнл<a.пpoизвoЛьньIeфyнкцииpeзyльтат в исх0дныe0r."ot0l"AtУpавнeниялагpанx<aаLi\й)_ й: oу,сoдеpжaттoлькoфyнкцииЛaлpанжа.а не самy,лpoизвoдныeэтy ф)нкцию/Еj",диссипaтивньleсиЛы),пo)тoMУoдни и tеже ypавненrlядвижeн..]ямoлутбЬIтЬпoлученылpи лЪмoшиoaз.ных ФyякцийL(г'v.'). Bыясним.с хакoй стелiньюпpoизвoламoжeтбытьзаданаЛаrpанжа,фyнкция.{ляэтo.o!ai.нoсть A. -_ . _ l двyх фyнкциi,'кoтoрыепpивoдя.""и.ле'I{ oдниvи тeм )ке ypавнeниямдви)кeния.3дeсь yдoбнoсчитатьo : l'...

, s, пpичeiis не oбязатeлЬнopaвнымтpeм.а Jla _ нe oбязатeльнoдeкаPтoвымикooрдинатами'pассматpиваяв качeствe, фyнкЦиюЛагpaн)касистeмычaстиц'/01" - ; -01e\. = u .+t;l;t'roIаolo /\o.тЕ(l1.4)B этoм ypавнeниикoэффициeнтыпpи iз p6вllьIнyлю' Cледo.BaTeлыo,хa:alfalo'гдe l _ пpoизвoлЬI]аяфункция кooрди.нат и вDeмeни.To.дalraлиopoвoчI,|ьIе пpеoбPa3oванияd ( aL\dAа\Ax"a raldr" \dt'\J^( lr . 5 )oтcюдa).:0f l0t.|l(i), пoявивu.lyюсяв peзyЛьтаTeинтeгpирo.ванияфyнкцию1(t) нe имeeтсмыслaсoхpаняTь,так как f _пpoизвoльI]аяфyнкция кoopдинати вpeмeни.oкoнчатeльнoна-х0дим^L : Al lat + i"af lax" : 47171.(1r.6)TaкиМ oбpазoм,всe фyнKции Лагpанxa' oтличающиeсянaпoлныeпpoизвoдныепo вpeмeниoт пpoизвoльныхфyнкцийкoop.пpивoдятк 0дними теl{ жe ypавнeниямдви)кe.динат и вpеI!!eни'ния' Если в вьIpажeниивьIдeлитЬдЛяфyнкцииЛагpaнжaMo)кt]oв качeствeoтдeЛьныхслагаeMыхпoЛt]yюпpoизвoдllуюп0 вpeмe.ви oт нeкoтopoйфyнкции кoopдинати врeме!|ии, в частнoсти,мoгут6ытьoпyщеныбезфyнкциювpeмeни'тo такиeсЛагаeмыеyщeрбaдля урaвнeнийдвижeния,Главa 3, Фцнкцuя ,Лс1zpaнэ1.|1u уpавненuя !qа2p!1]11}сa''-Для эЛeктpически заpяxeннoй частицЬI в элeкTpoмагIlиTнoмпoлe фyнкция Лагpанlкa найдeнавьlшe в видe (10.7):L : Laе4t't) + !uaА,"\r,t).LPptr.t\|_uoc"(r_t .cдoбaвиМ.кэToй фyнкЦиипoЛнУloпp0иJв(Jднуloпo вpeмениотпрoизвoлЬнoйфyнкции (с/с)/(r, t), ПoЛyчимгдеL0Здeсь.Е_v;.(vll].

B(r{/]'/\).'1,lа^в..i." ' ' l р hГ p o м . н и т ч o г oгo''lсlll,8,rll9;Ho.-lpяжPI чoстyпoЛeи при этoм oсTаются нeизМeнньlми, Такие пpeoбpaзoванияo т Р P l ] . ] а л o вl o \ я т | а J в а Р и е | ' а л и б p o в o ч l Ь | х п p е o 6 p а | o в а P и и , h а .' i Р o p o в oj н ь | ег p р o б p а , o в а Ь и qД а юI в o ' ч o ж l o с I Ь r р p e х o д r ' | ьк б олee прoстьIм вьIpa)кeниям для пoтенциаJloв пoля,$ 12' Уpaвнeния Лагpaнrкa в (pивoЛliliellньIхкoopдиIraтax и цel'цepциaльньtх систeмax oтсчeтaПpеoбpазуeмToЧeчнoйуpавнeниядви)кeниячастицьIB фopMeypавнeнийЛагpaIr)кав дeкаpтoвЬIхкooрllинаТаxd(aL\d t -_ o p 1/o - 1.2.3\(i 2 . 1 ),ir\a"") a,; roк кooрдиl{атам ql' q,l qз пoфopмyЛаlt1x":J [ " \ q I ' q 2 ' ц ' t )'нeKpивoЛинейнЬIекoopдинаTЬIoбьIчнo ввoдятся фopп{yЛаN1и,(l2.2),сeмействooTвpeMeI]и.явItoйзaвисиMoстЬсoдepxащиNIиг|pиax:"/at: aq"l0t : o.(l2,j)тaкиeпрeoбразoваниясoдeржит.кoМпol]ентia скopoсти частицыФopмyЛЬl прeo6pазoваt]ия(l2,2) пo вpе.пyтемyстaнавЛиваюTсядиффеpeнцирoванияЛегкo.dxo0r,".(12.4)и п o з B o Л я ю т с Д е Л а т ьз а м e н y п е P е ] ! { e н н ь lвх в ы р а ж е н и и д л я ф у н к .Ho yравнения дви'{eI]ия и напpя'{eннoсти элeктриueскoгo Еи магнитнoгo пoля B дoЛ)кllЬIoставаTься неизмeнньIмипpи такoмп p e o б O а J o в| иа , rф ) F .

{ ц , r Ли а t p а ь ж а ,П o л с г а в"' я в ( l | , q l p и , 4 ди . ( l | , 7 ) . v 6 е ^ д а e м . я . , т o ) | oД е й с г в l т e 1 Ь н o . 2 ^ , Е Е ' B - в .1 ц ы в и Д и v ," I o п o е o б p - J o Е l o / ри урн ^ ,и и Л а ' p а н ь а п y r e м п p иoавлP|J.]яi нor пoл'-oй прoи.вoднoипo вpeмe]и oт пpoи.uол"н o Й ф t н к U r и h o o o д , . ] Ь..,Ilв o A Ч е н иэ I r в J в а 1 р ь | нl op е o 6 p а , o в а н ия\{ ( l l, / l пoтрьUиал0в59(12.3)q , ,: q " ( l 1 ' x 2 .

ц , t ) .(1\.7)УpавнeнияЛагpанxа пpи этoм мo)кнolIPедставиTьв видePЕlгl/1./lдoлyскающимoбращeниeIleяи:Ф:, :H' ,l,':,l',+fip.s 12, УpaвненuяJla,pанэкa в Кpuвaluней|lb|хкoopduнаnах(\2.2)циЙЛагран)кa:I , ( ц ' x z . x з ,i 1 ' i 2 , f u ,t ) : L k Ь q 2 . q з ' i l , Q z ' 4 зt,) '(i2,5).пoлyuимдиффeрeнциpyяaL-:oxnёL 0сt"aL Оq"::-;-т-i-noqd u1',1aL:-:-dx",циссипативныeсиЛы(12.6)loqd oxo(12'5)aL aE"(t2.7)oqo oaoтаЮKe сЛeдует oтнeстикF P : F у ) | ] 1 ' q 2 , q q3 t' ' 4 l , q зt, )IloBым пepе.(12.8)IlаxoдимЛагpан)кat(l2.6),(12,7)'(l2,8) в уpавнeнияПoдсTавляяо4.d1aL1au"9t,ЦIua!dq" \ ,l1dr.oi" '|t \ai ' ,) al ' Оl"(l2'3)на oснoвании3аметимтепеpь..{тoDq"d,t" ..o" ax,,"dtut.\0t'.

tF . ' d ,\ | 2 , g )( 1 2r.0 )ПoэтoмУd^4g,!]! сl9r dЦ"(l2.!l,'a-i. l]r". Jt D,л. 1toв ЛевoйЧaсти(i2,9)oбpа.слагаеMoeсЛедoватeльнo' пoсЛeднеещаеTся в нулЬ'аq"|а 1ai 1_ аil :;.,,ifu"Idt\di" li:Jч.J(t2.t2)oбeчасти(|2,|2)нa 6t./0q, и пpoсyМItlиpyeмпo o.- Упjнo)кимТак как0q" 0ц0q.(l2.l3)йй=й=6op'pавeнствадЛя oбoбщeннo-пoтeнциaЛьнoйсиЛьl тroлyчаемоU ax" - 0U 0i" _J|аU\ _ aU dIaU ai"\l , \ a Й ) a qц,_: ,н1't\\aыl , ,.aЙф ) - б ' " a , 1 ' - o i " a q 'а"Ia 1аu1 аu.l:Й,|d1\a"J a.l'oк0I.]чaтeЛьнo lJахoдим!(aт\_Ф.nвldt\a(I,J dqp чp(\2.t4)си.пpoекциивeктopаo6oбщeннo.пoтeнциаЛЬнoйопpeдeЛяющиe,1ыЁa вeкTopыnд:- |a 1оu1qul_ ' lj (Ц \_!L|') aq-,'J tlz,tl," "'[;,\ а") т, J= н ',|fu\iо'"o6oбщеннaясuLla oпpeдe,lяeтсяpавeнстваМиQ p k t ' , l э ' , l з4' t Q' z 'q зо' : F " ж '( r2 .

1 5 )Qf) в {|2'|4) _ oбoбщeннаядиссипативllаясиЛа.Мы видим' чтo ypавнeяияЛагpан)касoхраI]яютсвoюфopМy,lявЛяютсяк0ваpиаIlтltЬlNIи)oTнoситeльнoпpеoбpaзoвaний(l2'2),вкЛючаялpeoбразoванияк прoизвoЛьнымкpивoлинeйныMкooр.динатаM' llpи дoказатеЛьствr этoгo факта нигдe нe испoльзo.вался явный вид кoopдинат. этo даeт вoзмo)t(нoстьиспoЛьзoвать0дин и тoT xe yнивeрсальнЬIй аЛгopитм гloлy.reния ypавненийДвижениянeзависи|t10oт тoгo! к кaкиN'кpивoлинeйнымKooрди.tlа1амoтнeсeнафункUия Лагpанжа и o6oбцeннаясиЛа,Еще oднo пpeимyщeствo лагpаюкeвoй фoPмyЛиpoвки дивамики сoст0ит в oтсyтствии неoбхoдиMoсти вьIчислять oтдeльнo,вне yKазаннoгo aлгopитма! сoставляющиe yскopeния чaстиllьIи 060бU,rеннoйс/ЛЬl вдoлDнапpавляющихвeктopoвкpивoлинeй.нoй системы кooрДинат.Эти сoставляющиелoявляютЪяв явнoмвиде в vpaвнeнияхЛагpанжа в peJyльтатeдиффepeнциpoванияФyPкции JIагpанжа и пpи чeoбхoдимoстиMoгyт быть найдeньlтаким^спotoбoп', l.{eлeсooбpазнoпoзтoмy пpедстaвитЬ ypавне.ния (|2,|4) в фoрмe,сoдеp)кащeйявнo указанl,{ыепpoекциисиЛЬlи yскopeния,0бo6щецнyю силy (l2,l5) мoxнo пpелстaвитьв видeл"|, ;^..- ] F., _ Ёl"FQ, _ F' ;_ :oqtoq"l",I|2,!6)гдe 11д _ кoэффициeнтьI Ламe' слeдoваt.ельIlo' пpoeкция сиЛы Ilaвeктop n/]t кaсaTeльIlыЙ к кoopдинатнoй линии q,' paьнaQ,f E,,6lЛa2pа"*!:!цу!уу!у!уp0'!!!уs 12, УpавнеtluяГnава 3, Фg!1кцuя.0а2pаh)1{аu gpaвненI'я лoеpан)nа,,,(l2.ll)здесь принять]вo внимaниeсoo1!{oшеtlияи пo (p) нeTЛaгранxа(12.l.4]даЛеeв ypaвненияхifn.i*p.i"un"",пoлo}кимL:LoU и умнoжим ка)кдoeиз ниx t]а сooтвeтствyющииhoэффиuиент (tJд ), lloлучиlиau1,a','.,ilii,dlol .