Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 8

гn'"ro(г_г6| -/?).пpoверки(закoна oб.экспepимeнтальнoйдЛя лeпoсpeдсTвeннoйpатI]ыхквадpатoв',Пусть тeпepь r _ внyтpeнняятoЧкa сфepически-симмeтpич'tloгo распрeдеЛеIlия.PезyЛьTaт иятeгpиpoвания пo сфeрическoйoбЛастис радиyсoм |r г6 < r! мoxнo снoва пpeдставиTьфoрMy.(8,24), в кoтoрoй вп{eстoпoлнoй массьI систeмьI'roй, аI.]аЛoги.]нoйМaсса,L].(г т6|) шаpа с paдиyсoм lг _ т0 ' TaкиM6удeт стoятЬI]oля 0т кooрдинaтвнyт.зависимoстьнапpя)кенtloстиoбpазoN1,xаpактepoмpадиаЛьI]oгoтак)кеoпределяетсячастицpи систeмЬIlt{ассъl:распpeдeлeнияL;(rl:---.илис yueтoм(8,23)G(.47$ 8 Гpав I,n o au o\ ноP взаl2' o0Pl,с n в uP(8,25)гдe ,l/ : I rтrl_ пoЛнaямассаpаспpeдeЛeния.Kак виднoиз (8,25),пoлeтягoтениясфеpичeски.сиl\Ii{етpич.н0г0 pаспpедeЛeниявещeствавнe распpeдeлeнияимeeт тoт xевид' чт0 и пo"1етoчeчнoйчастицьlс llaссoй.pавнoйпoлнoйМассе(истемьIч2с|иц и pаспoЛoжрннoйв цeнтpeсиммeтpиисистeмы'Фopмyлаoстaeтсяспpавeдливoйи цля R: R(t), т.e.д'']яpасширяющиxся,сжиMающихсяиЛи пyлЬсиpyющихсфepи.чески.симМeтpичныxpаспрeдeлeний,так как интeгpаЛoт каждoйфyнкцииri(r г7"(t))в (8.19)oстаеTсяpавIlымединице,пoкаЧaстицанахoдиTсявнyтpиlllаpoвoйoбЛастиинтeгpиpoванияс pа.диyсoм r _ ro].СфеpинeскаясиМмeтpиясистeмы мo)кeтoбeспечиватьсятак.xe эЛeктp0магIlитньlМивзаимoдeйствиямимeждучастицами.LIапpяжeннoстьгpавиTациoннoгoпoля в тoчкeнаблloдeнияrвнe такoг0нeстациoнарн0лopаспpеДеЛeIlиявeществанe зaвиситoT вpeмении oпpeдeля€ т сяфopмулoй(8.25),пoка спpaвeдливoI]еравeнствor г6 > Л(i), Этoт факт мo>кетбьtтьислoльзoванG Л , l г( _ r o ) г - г or _ г0|.|г _ r0|(8.26)сoB частнoсти'eсли oблaсть интегрирoванияпpедставляеT:силoвoeгpaвитациoнIloе,,и(rro0ишap'то60й пoЛый),цЛя сфepическЙ.сип1Мет.пoЛе в noлoстиoтсутствуeтtG(т):0.pасIlpeдeлellиемвeщeсTва oтнoшесoднoрoдньlмричIlьIх систeмpадиyсаoтшаpа и pавнooбъeмунeзависитшapакeгoниe l\1ассыp.сЛeдoватeЛьнo,массып.:]oтнoсти4, l .

1 ( ! -т 1 6 ) : p . ] т г -гq|J,tфе.lloля внyтpи oднoрoднoгoи Ilапpя)кеннoстьгpавитациoннoгoв сooTвeтствиис (8.26)pически симметричнoгopаспpеделeIlияoпpeдeляeтсяфopi{yЛoйс(r) =_с]тд(г_16),(8.27l-oбщee выражeниe для сильl' действyющей нa чaстицy с I!1ас.,pрДeЛяется. o й l / , в г p а в и г а ц . ] o н н oп vo Л ес и с l e v ы Y ч а с 1 и ц 'oчeрeзнaпpяжeннoстЬпoля фopмyЛoй(8,22),Pезyльтатьtлля сфe.мoгyт бьIтьиспoлЬзoвaньlpaспpeдеЛeнийрически.сиМмeтричньlхnoля Часилы' eсЛи влияниeмгpaвитaциoнI]oг0дЛя вьIчисЛeниямo)<нoстицы с массoй m на pаспрeдeлeниeN Частиц сисTеп{Ьlгрeнебpечь,Тoгда сила pавна F _ лC|"-".,,, Этo o|pаниЧениe,l.

вь|.]oЛняe1ся'в частнoсти'дЛя системы 3eмля-Луна,,Ilвижe./иn Луны даeI rаrIeтньIйвклап в вPдe пpиливнь|хвoJмyЦeнийв oткЛoнeниeраспpeдeЛeIlиявeщeстваи пoЛяoт сфериЧeски.сиNг(8,25) ]MoжнoиспoльзoватЬNlетpl{ч}loгoФoрмулyраспpeдeлeния.ДЛя вьIчисЛeниясильI пpитя)кeниячaстицьIс Iмасс0иm к JемЛеllpи усЛoвии m <<,11, гдe .[/ _ массa 3eмли, BвeдeМ вЬIсoту /r48Глaвa 2- ЧасmuцbLвo внеul||uх cuJ|овbd no!,lяхнад пoвepxнoстьюземнoгo шаpа и напpавЛениen вepтикаЛиQopмyлами|г r0] : л + il' (г г9)/|г r9]: n.для-двиxeния вбЛизипoвepxнoстиЗeмли л(t) <<л (сpeднийpадиyсзeмЛил е 6'37. l0в см), Toгдав сooтветствиис ('8,25)г:,'Г с( Rм="l= ms.+ t l ' J "-[-"#"]LГлaвa 3ФyllкцияЛAгPAII,(Aи УPABнЕIIиялAгPAII'(AчAстицьI B силoBoм пoлЕ(8.28)JДeсЬgнапря)<eннoстЬлoля тягoтel]иявбЛизипoвеpxнoсти3емли,!ля малыхoбЛастейy пoвepхнoсти3емлимoжнЬтакжепpeнeбPеч"зависиI{oс.Ьюn oг yГлoв и сЧи-a,ь g прoсгp.н.ствр|-looДPopoлныtrlпo1емrg r 980 сv/с/),$ 9.

Лaграпrкевa фopмa уpaвнeнийдsихeния тovеннoй нaстицьrдинаMическaязадaчадля тoЧeчнoйЧастицыв Tеpминаxвeк.тoрнЬlх динan4иqeскиxфункций пoставЛeна'eсЛи заданьl кoNl.пoнeнты вeктopa сиЛ и начaЛьныeyслoвия' oднакo нaибoлeеимeют скаЛяpныефyнкции;чтoбЬlпРoстoйзакoн пpеoбразoваниякoopдинатс дpуIoй oриeнГациeЙкoopдинат.лeре;ги к систе^1еI]ьlх oсeй, дoстатoчнo сдeлать извeстяyю замeну пeрeмeнньlхв таKих фyнкциях. Kрoме тoгo, фopмyлиpoвка динамичeских задач в тeрминахскаЛяpныхфyнKций в кpивoЛинейныxкoopдина.,]ах пoзвoЛяeтпpoцeдypyвычисЛенияускopeниЙфopмаЛизoватьи сиЛ в кpивoЛинеиных кoopдинаTах' сoвмeстить ee с пpoцeду.poй сoставЛения ypaвнeний движения' мoжнo такxe yстанoвитьсooтвeтствие ме)кдy хаpaктep0м зависимoсти скаляpllьIх динами.ческиx фУнкций oт кooPдинaт и врeмeни с oдI]oйсTopoны и пeр.вьIмиинтeгралaмиДвиженияс дpyгoй,и пoЛyЧатьэти инTeгpалына oсIloвании oднoгo тoЛьKo вида фyнкции I]а стадии пoста!]oвкидинамическoй задачи.

ПepeфopмyлиpyемпoэToMУуравнeния дви.)ко|-?]я,lак,чтoбы oни в качeствеl(o[lлoнеь|вe(.opoв yскopeчийи сиj сoдep,(а?']ипpoизвoдныe oт скаЛярныx фyнкций, Pассмoт.pим эту задaqy сначaла в декаpтoвЬlх (oopдинатаx.Мorкнo yказать чeтыpe вoзмoжяых типa скаляpньtxдинами.Ческиxфyнкций:. ( г ' v ' , ) ' i l ( r .p ' . ) ' s ( г ' t ) ' s ( р ' t ) 'oбpатимсяк фyнкцииL: L(t'v't)' oстальныeбyдyтис.пojьзoванытpeхмepнoгoскaляpадалее,Пo oлpeдeлeниюL : L(:ц,lz, tз' i t, iэ' fu, t) : L('l\'x,2,x|' i,i' ni' ii'')(9.l )при vсJoвии, чтoI;:аBoc|,i":ав"ip.(9.2)s I0' oб06ценн0 nonенцuahньLecш'|t,Г!|ава 3, Фцl1кцuя ,|1а2pа11xoau gpавненuя ЛaеpанIсa--.(9,l) пo r,, наxoдиМ,циффepeнцирyя0L 0d,,aLaLau:ф,a*=*,ц,.Мы видим,Чтo кoмпoнeнTьlaLfaI.

o6paзуютвeктop0I,/0t.ПpoизвoдньlеaLfaio raK'<eoбpазyютвектopaZ/ov, Эти вектo.pьl мoжн0пoставитьв сooтвeтствиeвектopамp и F в ypавtlеtlияхдвижeния,ПoЛoжимp:aL/Фу-t'tо" kl: !'2'3).(9.4)Интегpиpyяэту систeМуypaвнeнийпepBoгoпopядкапpифиK.D L / D u' :сиpoваннЬlх г и ft пoЛyчимl,:,$_uь't,l.(e.5)где U(г,.) _ лpoизвoJЬнаяска.1яpнаяфyнкция кooрдиIlати вpe.мeни,B peлятивистскoйlttеханикeиМeeМв сooтвeтствиис (9,3)ol/a,,. : -u,,/{Iчё ,(e.6)и в peзyльтатeинTeгpиpoванияпpи Teх '<e физическихyслoвияхнаидeМr : -п,'с,\f 1 u,lc, _u|r,t).(9.7)B oбoихслуuаяхDL/aa" = 0Ulal., TакиМoбpазoм,приуслoвии(9'3) в видeОLfax" мoгутбыть пpeдставлeнытoЛькoпoтeнциальныe силЬl lj!,.для кoтopьtх' сJlедoвателЬнo'AUot"AL0t"(9.8)Пoдставляя(9,з)' (9-8) в ypавнeниедви)кеIlияЁ:F(',+i'гдefr _ сyммасил,нeпpeдсTaвимаяв видe(9,8)'пoлyчаeМпрeд.стaвЛениeToчеЧнoйдви)кeниячастицьrв лагpaнжeвoйуpaвнениЙфopМepL,t(dL\_ i i , , ' ,l , l .

l , 2 . 3 )_(9,9)аt\оi" ).];ФopМyлами (9,5)' (9,7) пpeдставле!lьlфyнкции ЛагрaнжaЧастицЬlB нepeлятивистскoйи peЛятивистскoймeханике, .цляOкoнчатeльнoйфoрмуЛиpoвкидивапlичeсKoйзадачи в пoTeнци.втepми!{ax функций ЛaгPaн)кa oстаeтся задатьпoлeаJь,,]oмэнeргии .,r(r'') частицьtи eе начальявIrыйвид пoтeнциаЛьнoйнoe сoстoяние. Tак' для чaстицьt с l'tассoй rD в лoЛe тягoтeниямассы,Iro с цeнтpoмсфepически.симNeтpичнoгoраспреДeЛенияв тoЧкe r0t внe эт0гo рaслpeделения(s.3)Тoгда в нepeлятивистскoйMеханикe5l,,nr2 , n,nn,6"= z ''1.mlBбЛизи пoвеpxнoсти Зeшtли,кoгдa пoЛe Nlo)кнoсчитатЬ oднopoдным' (/ : _,n8'г. Пoтeвциальнаяэнepгия тoЧeчнoгoэЛeкпoле E : _vg pав.тpичeскoгoзаряда с в элeKтpoстаTичeскoмеE r в oднopoднoмпoЛe;нa U: е9f)' B частнoсти, U:l.i =ееo/ t-- to в п0ле яeпoдBи)кн0г0тoчeчнoгo заpяда сO.сильI F дoл)кньIзадаваться нeзависиМo, Bместe с тeм фopмaуpавнeнийЛагpан)капoзвoляeтвкЛючитьв фyнкцию Лагpан)кaбо'ree ширoкиЙ класс сиr1, зависящих oт кoopдинат и скopoстичастицы. ПoскoJьку эти силЬl oтнoсяTся к фyt]даnjeнтаЛьньll4.\,станoвимиx oбЩий вид.спльI.

Cплa Лopeпцa.$ lo. 06oбщеннo-пoтеIlциальньIeпoлeФyнкция Лaгpaнrка чaстицьr в элeктPoмaгвитlloмнайдeMoбщий вид сиЛoвoгoпoЛя' в к0т0poмypавненияцастиць.дoпy\каю|прeflставЛeниeв виде \равнeниРЛагpанжadALdt A\,OL :0,1""(o: 1,2,3),а так)кe o6щий вид фyнкции Лагpанжа .(r,v,.)Для этoгo замeтим,Чтo урaвнeниядвиxeнияй:(10.1)в таKoм пoЛe,F'"(г' v' ')всегда мo)кнo пpeдсTавитьв видed ОLo7fr:+ir'"'tl'(r 0 . 2 )ь9 : mv272д.rlянepеЛятивистск0йзaвисимoсTиимпyлЬсаoт скopoстииЛиГлaва 3' Фgнкцuя Jlazpаю$a u gpaвнeнuяJlaёpанжa,,,зависимoсти.дляреЛятивистскoйBынтeм(l0,l) из (10.2)и вве.дeмoбoзначeниeLo - L: U(r'v't).(10.3)Этo даeтвoзмoжнoстьпpeдстasитьсиЛy4r в видeл"(г' v, t) :dаUaUdt 0u"0x"(10.4)Фyнкция U(r, v,') нaзьlвается o6o6ще1|||bl,цnoпенцua\ol|.а сила (l0'4) - 0606ченн0 nomенцuал|'нoй сlr,od.

BведeнньIмBt;lrJJenomeнцuaJ|bt|t'|ЛсиЛам сooтвeтстByeт 0U /0о. : o'выпoЛним диффepенциpoваниeв пpавoй части (l0.4)' Пo.лУчимa2Ud2lJыU,"o{г,v'l]_, u"б'I u1aI)B}.o,au"a'aц0xo(10.5)(а'9 : |'2'3, и пo p сyМпlиpoвание).Лeвaя насть pавeн.ства (10-5)не зaвисиToт v, слeдoвaтeлЬнo'iРUь,v,t)OUtloltoоJ .сuльIs I0, o6o6щeннo-nonенцuа,Ilьныечастицывзаимoдeйствиясилy.д; как pезyльтатРассматpивая(l0.8) в видeс пoлем,мьl мo)кeмпpeдставить^г 'JL\г " - | a v | ( _ уo"гo _ '.o " ^ "- э l 1 z 1 o o^o g' , ] _ r ( f ) ) ,\ . \oJo ot1/ ) | d ( r01)'|U(t't) = e?t't)'ao(г't) = r,4"(r',)'(l 0 .

l l )a u ь ' v ' t ) : - - lo o ( r ' t ) 'li,r\tlA*Пoвтopнoeивтeгpиpoваниeдаeт(10.6)так чтo в сooTвeтствиис (l0.3) фylrкцияЛaгpанx{аpавнаL : L o - U ( r , t \+ b a o \ r l Ь(10.7)гдe U(r'.)' ao(г' ')-_ лpoизвoЛЬIlыедЙнамичeскиeфункции кoop.динат и врeмeни,lloстoяlrнaяс' pавI]аяск0рoстисвeта,ввeденаlЧтoбы oбeспeчитЬoдивакoвуюфизичeскуIоpазMepнoстьфyнк.Цuй U|r't)' aaь't) 'Пoдставим тепеpь oбoбщеннЬIй пoтeнциаЛ (10'6) в вьIpа)кeниe (l0.5) для вeктopасилы. пoлyчимaU|0а. | |0а6 6a"\."_a'"_; a| ' .\a'"_ oц)""(10.10)тензoр!]oмylioлю. кoтoрoe п0явитсяAнтисиммeтpичнoМy(l0.l0), мoхнo пoставитьв (l0.9) пoслe нoвых oбoзнaчeнийBo(г'') пo фoрмyламв сooтвelствиeпoлe псeвдoвектopаЭту систeмyypавнeнийлегкoпpoинтeгpиpoвать,имeeмU (r' Y' t) : U (t, t) - a"(t, t)u"I c,0.9)BьIpа)кенияв KpyгльIхскoбках в эToй фopмyЛeявЛяютсяи вpeмeникак незави.кoopдинатфyнкциямипpoстpaнствeнныx(- пoзи.пoЛями.т.вeктopнымитензopнымпepeмeнныx,eсиlttыхoдин и тoт )кeфизичeскийций дияaмикиoба пoЛяпpeдставляютoднoйс нимипoсpедствoмoбьeкг,есличастицавзаиvoдeйствyeти тoй х(e пoстoяннoй взaимoдeйствия.B этoм сЛучае функ€взаимoдействияuии Lr(r,f),o"(г,.) сoдepжатэтy пoстoяннyюв Kачествемtlo)китeЛяи мo)кнoл0Лo)кить(10.8)Bиднo, uтo {, oпpeделяeтсякoмбинациямипpoизвoдныхфyнк.ций U(г'.)' aa(г'')' а нe самиМиэтиMифyнкциями.в : тotA'KoMбинация пpoиJвoднЬIхпoлeй p(r'l), 4o(г./] в лepвoйкpyглoй скoбкe (l0'9) oпpeдeЛяетпoле истинIloгo (пoляpнoгo)вектopаили,09| aА"\aoc0t'(10.l2)|аAЕ _ _ Y a' _ : " - i _сd|(10.9)приtlимаeтвидпoзтoмyфopMyлал" =r(t)).

(l0'l3)rl + !с.цоp(t)B.,(r,t))e6(гJaз,(л"i''в (10.13)oстаютсяB pезyльтатес 6.фyнкциeйинтeгpиpoванияЛиlllь значeния п0леЙ Itа тpаекTopии' так чтoF:eE(r(t),O + : (v(t)x B(г(t),t)).(10.14)Jтo выpа)кeниeдля силы спpавeдливoпри выпoЛнeвииyслo.вий (l0,ll)' (l0'l2). нo силy (l0'l4) oпpeдеЛяюттoлькo пoля E, B, а сaми пoтeнциалЬl9 и,4a oстаюTсянeoднoзначнымиГnава 3, Фцнкцuя Jlа.paнжа u gpавнен||яJ|azpанJlса'..сuJ\ь|$ l0, oб06щеннo.nomенцua,ьнblенeнaблюдаeмымифyнKциями.