Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика, страница 5

3 )Здеcьпoстoяннаяс, pавнаяскopoстисвeтaв вакуумe'ввeдe.на' чтoбыoбeспечитьoдиl.]акoвyюдвyхфизическyюразпlepнoстьпoследнихфoрмyЛ,14ы виДим'Чтo сиЛы, дeйствyюциeна чaстицьIв пoлях1явЛяютсядинаMичeскимиHапpяженнoстипoлейсoфyнкциями.дeр)катся в вЬlpа)кениях дЛя сиЛ тoЛькo св0ипlи 3наЧeниямина трaектopиях,B сooтвeтствиис oснoвныпrзакoнoltlдинaМикисиЛa являeтся единственнoйoбъeктивt,]oйпpичинoй из 1ененияимпyjьса p частицы сo вpeluelleм'т-e. в oпpедeЛeннoЙинeрци.альн0ЙсистeмеoтсЧeтаp ( t ) : г ( t ' г ( t )v' ( t ) ) .(5.4)B нepелятивистскoймeханикep ( , ): m i ( t ) = m v ( r ) .t,сЛискopoстичастицне малЬIпo срaвнeниюсo скopoстьюсвеТас.

паpаметpьIтpаeктopиЙчастиц,напpимepipадиус крy.г0в0Й траeKтopии частицы в п'агllитнoм пoЛe, найденнь!e на0снoваllиинepеЛятивистскихypавнeнийдвижeния(5'4), (5.5),(сil,oткJ.Ioняются oT истиllныxэкспepЙмeнтoв п1oжнo дooиться!PФ = тnv(t)l29s 7), сoгЛасияс peзyЛЬтaTaмиeъЛивМeстo(5,5)полoжить_ v2(t)1.2(5.6)ме\аникесollеpжflтв pелятивистскoйимпУЛЬсt5,6)частицЬ|пoстoqнную. в oтнoшeнии".{l)/'.' чаp-1l::;1ono,"n,г",o*уючaстицьl к предeльнoиi".yoщ"" "'in""o близoсти скopoсти(5 6l. (5,4)60леенеlu.Ьn.'n движeния.' Уpавнeниядви)hрнияoт o!нoЙlu.n'"Ъ,. nn",pn,*'n"'"" o'"o.,.onononРеoбpазoванийгаЛиЛея,пpеoбpазoваний""lистeмык лpyгoйв виде,"o.'",,"нoйгалиJeя,пpеo6pa]oванияi."Ъ]""" isоr' мo дonд"o' 12мени1DспPциальI]oипoстyлатамис"oio onp",","""" t5,6)^сДpуг1rчиJlopечца*oр"" oi"o""..n""o.ти JиFшгейнаи пpеoбра]oвaчиявIleрeЛятивист.чToвидиМ'в(5'4)'"*frЪ,.Т""*""litilили(5,6)час-иUь|.^oй ,] oеля1ивисIсKoй мечани'(р уpавнениq двидeниядиффepeЬur.:o"o"i"i,"Ьi с060йсис.рму"pех oбыкнoвeннЬIха;Ьньlx ypавнeirийвтopoгoпopядKамехaникa),пrjo: Ii(t.

e1,12,jг3,i1.i2, i3) (нepелятивистская(57)/\,,'[ _ _: -l'':) - г " 1 i ' , ' . . , 2 . ' . 3 . ' ; ' ' , i j , " . J {l 5 8 )d'\f t 'i1-:tr.i1' 1" мexaника) (.r = 1 ,2 ,3 ) .(pелятивистскaясyщeствyдви)кeнияB oбoихслуЧаяхo6щеepeшeниeypавнeнийвидимeетидвих<eвийeт дЛявсeх дeйствиTeльныхjзo)':lit = gl(f, zl0, g2o.,зо,itо' tzo.,rаданнoм сoстoяьии части.глe л.n _ -г^lin|' j^n .. j..(i o) Пpина.в качествe,ii i^..;^"' i 'o*"*,,"p"'"*" /o.

гlpинятыйвсeх,.приF.li ''гr':r'."з,jt'j.'.i3). извeстн0Й"nвиxениeu n " " o . o ."тoчeч}toйi"леЧaстицы oказывается дeтeрмиllиpoвaнI]ьlмп!eханикe,и в peлятивистскоЙи в нepeлятивистскoй,пp0дуK.Уpiвнeвия движeниячастиц в частных пpoи3вoдньlх(истeмvРo.их\Iетolloв,ивнir пoи фopvvлиpoвке^oЬIиrl)аЛ!ньlх!pавlр.oгpаiичи!1ся,."."u ) npел"ia"neны ниже Здeгь мь|кaк(5.8)'TакэквивaлентнЬlMиuu.'"o.* прoизвoдньIx!,гочка явЛяeтсяToчeЧнoи"n"'n'"(5,8)матepиальнаявфигyриpyющаяи т,п..

eе двих(e..in"i'-iuЁijмассьl,импуЛЬсас d-oaспpeдeлeниeмс060й пpoцeсt Pаспpoсlранenияние в пDoс]oа;сIвъпpедсIавЛяeт_ p " ( / ) 6 i г_ г l l l ) , д и ф ф е p e н ц и p у я,.o."oi* i*nyn".u'nolг.ll30Г'Iaва 2' ЧасmuцbI вo внеll|tluх сuloвыхuмnцльсаs6- Зaкoньtсoхpаненuяulrngj,ьса' a'',|енm|7no!яхэтo вьlpа)кениeпo вpемeни и пpиниN1аявo вниN1аниe(5,8), пo.;t,'):,,t''(r.l){5,9),. _ Л ^ o { г . l ,_ - } ] ' d r г r r i l , 'IJIс|,l dгдe Пao: pa.i"6(г г(')) _ тензop пЛoтнoсTипoтoка имлyльса'y p а в н e н r P| 5 ' 9 |м o ж н o .

p o и н r e . n n p o в а пт ьo в с е м уп p o с г p а ч (гвy,\IЬ|сloва пo"гучи\!LJ pe,])J1Ь,а|eуp.вчсние (5,4),Замечанuе. Уpавнeниядви)кениятoЧeчнoйчастицьl мЬI гIo.лучиЛи исхoдя из диффеpeнциалЬнoгoпpинципа'связьlвающегoyскopeниeчастицьl и сиЛy. пpинимая в каЧeствеисxoднЬll пo.стyЛaтЬIвариaциoннoгoисчислeния!мo)кнoпpийTик ypавнения]Mдвижeния без диссиIlативньIxсил на oсIloванииинтeгpаЛЬt]oгoв a p и .

U y o ч н о глop и н U иа| , Ф y . ] h L и o ч а 1к,o г o o ы йп р и ) I o М г o . - у .!j]иpyетсяlсoдeржитфyнкцию Лагранжа в кooрдинатах'oбPаща.ющих в тo)кдeства yPавнения связeй. пoэтoмy лpeдставляeтсяцe"qeсooбpа3нь|ltloбpатиться к интeгpалЬнoпIyпpинципy пoсЛеввeдeнияфункuии Лaгpaнжа'$6.3акoньr сoхpaнeЦия импyльсa' мoмеtiта иlчпyльсaи эIlеpгии чaстицьIOбщee peшeниe ypавнeний дBи)кения ЧaсTиць1пoлнoсTЬюoпpeдеЛяeтeе динаllику в0 внeшниx силoвьrхпoлях, Bаrкнyю'идJ,]я Nltloгих диIlамичeскихзадачдoстатoчtlую,.lt \Й'n,"): nrц'-в сooтвeтствиитo llDoeKциярll7rllиМI]yльсана этo l]апpaвЛениeвpеМеIlи.стeчeниеN1нeи3MеIlнoЙ6yдeт oсTаватьсяс.

(6,l)'бyдет сoхpаняться, eс"1ив oб.TЬлькo oдна пpoeкция и!!1пyЛЬсaналpавЛeнийвeKтopа4,все3Ilачeния]асти дви)кeниячастицЬlвектopалl, напpавлeнияKoтopoг0rе)катв oднoй пЛoскoсти.д'1явo вpeмeни дBe пpoeк.сoxранятьсябУдyт,:le)катна oднoй пpяl!!oй,сoстoяI]иeTакoeрeализyeтся.напpиNIер'ции иMпyЛьсaЧасTицы,пoвepхнoстиЗеMЛи,вбЛизиoбЛастивмаЛoй.io, o",,."""" тeлип1пyЛьсa.кoмп0l{ентьIвсeTpисoхpаняюTсяIlрlr &:0УI'tнo)ким oбe часTичастицьl=11! на кoopдинату,o(l)уpaвнeния дви)кeния рi.J2.

Coхpaнeниe мoмeнта импУльса.i o . l i : l , 2 , 3 ) 'П o л y v и м!oр1:дЛя(6,l)ЕсЛи сyществyет xoтя бЬI oднo напpавлel]иen.!. такoe' чTonpoекЦияJ'a}l.l сyпIмьIсиЛ д^ на зтo направлениepавна IlуЛю'd_ x o р r 1: J ' o a r 1 'rt\'r'|pr1)peлятиви(тсhoйlависиiloс,lеЙи неPрлятиви.тскoй(6.2)им.jaPi1 симМeтричLl00тнoситeЛь.пv,1Ьсaoт скopoстипрoизведeние.Ь пеpe"таьoвки и;дрч(oв lt' /з, с1рдoваIеЛЬРo' сим],Ielриiнo,чт"n,""."".е '(6,2).сЛагаeмычиoстальными."нзoo.пDедс]авЛeнный-t+|!"pJ|oтсюдафизичeскyюинфop iацию мoжнo пoлуЧить yxе на oснoве nеpвtlх u||mеzpа'IoooвuэlIенuя,- динаt\{ичeсKихфyнкций, yсTанавливающих ollpедeЛeнньlесooтн0шеIJиямeждy кoopдиL]атаMии кoмпoнeнтамискo.рoсти Час'ГицьlвдоЛЬтpaектopии,интeгралЬlдвижения,кoTopыeсв0дятсяк с0хранei]июэllеpгии.кoмпoнeвти]\'пyЛьсаи lloмeнтаимпульса вдoль тpаектopии, [to)кнo pассltэтpивать в каЧeствечастньIхpeализацийв [1eханикeсooтвeтствyющихoбщихфизи.ческиx закoн0всoхpaнeния.сoхpaнeниe иМпyльсa' пyсть 7,.t- непoдви)кныйeдиниЧ..,l.llьIи вeктop oпpедeленнoгoI]агIpавЛeнияв пpoстpaнствe,Умнo)киl{ уpавt]ениядви)кения(5,4),po : 4l.

на nn и пpoсyi,|миpyем пo a- Toгда' нeзависи]tlooт Toгo' явJ]яетсяЛи зависиlloстьип1пyльсаoт скopoсти peЛятивистскoйиЛи нepeЛятивисTскoй,-d3ld.\xoprI',F-r:,1;|rзp',|'rзF"', I 1 p о ) : x ' lr r 1 I l a | .(6.3)Мьt пoлу.tилив тензopнoйфoрме закoн измeнel]иявo Bpe.тeнзopамчастицьI.AнтисимМетpичньlMNle!lимoмeнта иIt1пулЬсав лeвoй ri пpавoй uастях (6.3) мo)кнoпoстави'Гьв с00твeтсTвиеIIсeвдoвeктopымoменTаимпуЛьсаЬ,*u,,,,o.,xiзpd): € 1 a3xap3 = fxp).,= L.(6.4)и MoМeнтa сиЛ Ьl(6,5): {r ' Е)) = ]4'z 3 г " \ = 6,,o,1roЛ,1}с.,,.p(l.'rjгдe 6ao9 _ aнтисимMeтpичный пo всеМ индeксапl eдиничныйимпУль.п1oMентa(сМ.s 2).

ToгдаДляпсевдoвeKтoрапсевдoTeнзopса вмeстo(6,3)бyдeмимeтЬypавнeниed.dl\€:1a |]I dP i ).f|1xo f n'(6.6)З2s6. Зal.oньl coхpaненuяuнngлbса'яoмe]1nа uмnцльсаГлава 2, Часmuцbl вo внеulнuх cu]|oвых nolях(6.7)виднo.Чтo в зтoмслуЧаeвсeтpи кolllпoI]eнтыиз Уpaвнения(L = Lo) и тpаeктopияимпyльсаL сoхpаняютсячастицыtIoмeнтаd,.Lо=внeлoдви)кнoйплoскoстит0'пpoхoдящeйчepeзp) :тxF'(6.7) .llе)китl'J(гxпoля,lteнтpv|лЙKpalКo| L":lI,".

Для пpoeкций .and и ,1,1.,naна фиксиpo.как этo o6щeпpинятo'в вЬI.3амечанuе.B даЛьнeйшeм,ванtl0еI]апpавлeниen B пpoстpанствeoтсюда иМeемгpадЙellтaoпеpатopавдoЛь тpаeктopииа/.,Jo(t)дЛяра)кенииаргУмeнтt фyнкuии л"(r) бy.Дeтoпyскатьсяи испoЛьзoваTь.(6.8) ся такжe сиМBoла/ar' B фopMyЛахдЛя динамическихфyнк.(t),rл(l)'ir'''бyлyтoпyскатьсяаpцI4i1''iл-(l))f:f(t't|(t)'...Слeдoвaтельнo,L,n : сonst, есЛи тt{' n : 0, IIpи N4 : 0'"ft), oднакoэтo нe дoЛ)кноl]pивoдитЬ|уN|eнтыфyнкцийсoхpаIlяюTся всe тpи кoМпoнeнтьl мoМeнTа иMпyлЬса частицЬI.т n Йс и Л ь |и л o л я . п o т е н ц и а Л o l .

o17н r P - v и,' a Р с м A ш A н и юп o Р я""(t)'кoтoPoeв силу (6.4),(6'5)мoxнo записатьтакжeв видett."..ft!,"""):Kpoмe oveвиднoгoслyчая' кoгдa F:0,такое сoстoяниедви)ке.стицьl и пoтeнциалапoЛя,ния])eаЛизyeтсяв цеl]тpальнoМпoЛе,3. сoхpaнeвиe 9нepгии частицьI. Умнoжим oбe части ypавlloтeнциаЛстаци0I]apнoгoгpавитациoннoгoцeнтpаЛьнoгoилиэЛeкTpoстaтичeскoгoпoЛя !,: (p(|г r0l) явЛяется сKаЛяpнoй нeний дви)кения(5'4) на векTopскopoстиv qaстицы скаЛяpнo.силoвoгoцентpа,Hапpя. Пoлyчимфyttкциeйpасстoячиядo нeпoлви)t\ьoгo(6.11)v .p : F .v.)кeннoстьп0Jя eсть взятьlй с oбpатнымзнакoM гpадиент9,, такчт0 для гpавитаЦиollнoгoпoляЛевyю часть этoгo ypавнeния ltloжнo прeдставить в видe v х. Ё _ Е.l,' дeйствитеЛ"нo.в rереJяIивистскoй мPханике p _(6.9): Йv- Пoэтoмy тпv.t:d(тnll,/2)/dlи' с тoчнoстьюдo лoсTo'яннoй.Е1l1есTькиIJeтическаяэнеpгиячaстицьl, Еtlt: -,p/zгдe штpиxoм oбo3начена гlpoизвoдная пo пoлI]oмy аpгумeнтy;тoт факт, чтo гpадиент Nloдуля |r _ 16| eсть eдиничный вeк.!ля peлятивистскoй заBисимoсти импуJьсa oт скopoсти бy.тop (г _ гo)/|r г9|,лeгкo.устанавливаeтсядиффepeнциpoваниeм дем имeтьлo Jd pавeнства |r rp2: (г г0)2, Сила' дeйствyющая начастицу в пoЛe.явЛяетсядинамическoЙфyнкциeй'кoтopаяпoслeпoдстанoвки(6,9) в (5.1) пoлyЧаетсяв виде(| - (v2 lсz))|1/2с"ь,r):.#:-'*,*t:,,ffiЛ .

( I \ / J /.A.LUF\l)|o l o | 1|- t+'U'r'n|тl| г ( /llonгo''r) tu(6.r0)3десЬ ./ (г(')) : m.p ( r(t) ro )пoтeнциалЬнаяэ!!еpгия и слeдoватеЛьнo'чaстицы с МaссoЙ7n в ЦeнтpaЛьнoмгpавиTациoннoNtлoЛe, Ес.ли р=ip(rroJ _ пoтe!]циаЛцeнтpальI]oгoэЛeKтpoстaTичe(6.13)сKoгo п0ля' тo пoTeнциаЛЬнаяэнepгиЯчастицЬIс эЛектриЧескиN,tзаpядoMe в такoM пoлe бyдет pавна .J (т(,)) : сP ( т(t) _ ro )Пoлагая' чтo частица lt1oЛ(етoдlloвpeМeннo нахoдиTься пoди так)кe явЛяeтсядинап{ичeскoйфyнкциeй, B oбoих сЛyчаяхi\е|,lсTBЙeМnoпенцua!|b||blх cu!,l.