В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников, страница 9

Эта величина имеет размерность магнитного потока, а с ее физическим смыслом мы познакомимся в следующем пункте. 8.2. Квантование магнитного потока. Мы переходим к изучению очень интересного (и важного для различных технических применений сверхпроводимости) явления — квантования магнитного потока в сверхпроводниках. Рассмотрим внутри массивного сверхпроводника цилиндрическую полость (рис.8.1). Пусть сперва Т ) Т, и сверхпроводник находится в нормальном состоянии. Наложим внешнее поле Бс параллельно образующей полости.

Понизим температуру так, чтобы сверхпроводник перешел в сверхпроводящее состояние. Теперь поле из тела сверхпроводника будет вытеснено, а в полости будет заморожен некоторый магнитный поток. Этот поток будет создаваться сверхтоком, возникающим на внутренней поверхности полости. Найдем этот замороженный магнитный поток. Рассмотрим контур С (рис. 8.1), который охватывает полость и проходит всюду внутри сверхпроводника на расстояниях от границы полости, много больших А. Тогда в любой точке этого контура сверхток 4, = О, и контурный интеграл уравнения (8.3) по этому контуру сведется к выражению — '700! = АИ1.

(8.4) 18. КВАНТОВОЕ ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛОНДОНОВ 41 Рнс. 8.1. В сплошном сверхпроводннке (заштриховано) имеется цилиндрическая полость. Контур С проходит всюду внутри сверхпроводника на больших по сравнению с Л расстояниях от границы полости. Учитывая, что АЙ1=Ф, С (8.5) имеем Ф = (Фо/2х) ~70 сй. С (8.6) (8.7) Ф =пФо, где хйс Йс Фе = — = —. е 2е (8.8) Из формулы (8.7) следует, что магнитный поток в полости (точнее — магнитный поток, охватываемый контуром С) может Здесь Ф вЂ” это полный магнитный поток, охватываемый контуром С.

Отсюда сразу видно, что 0 — многозначная функция; каждый раэ при обходе вокруг отверстия она изменяется на некоторую величину. Но волновая функция Ф должна быть однозначной. Поэтому мы должны потребовать, чтобы изменение 0 при обходе вокруг отверстия с магнитным потоком было кратным 2кп, где п = 0,1,2,... Действительно, добавление к 0(г) величины 2хп не изменяет функцию Ф(г) = (и,/2)1~те'е, так как еи'" = = 1. Поэтому у удсИ = 2яп, и равенство (8.6) можно написать С окончательно в виде 42 ГЛ. П. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ принимать только значения, кратные минимально возможному потоку Фо — кванту потока.

Величина Фо определяется формулой (8.8) и равняется Фр = 2.07 10 "Гс см2. Физически квантование магнитного потока имеет то же происхождение, что квантование орбит электронов в атоме. Нужно, чтобы волновая функция электронов, вращающихся по некоторому замкнутому контуру, имела целое число длин волн на длине этого контура. Экспериментально квантование магнитного потока было обнаружено практически одновременно в США (В. Дивер и В. Фербенк) ]11] и в ФРГ 1Р. Долл и М. Небауэр) ~12] в 1961 г.

Интересно отметить, что Ф. Лондон, предсказывая квантование магнитного потока, считал, что квант будет равен йс/е, т.е. предсказывал значение, в два раза большее Фо. Это и понятно, он считал, что элементарный заряд носителя сверхтока равен заряду электрона е. Опыт подтвердил правильность формулы (8.8). Таким образом, результаты опытов по изучению квантования магнитного потока явились прямым доказательством того, что сверхток переносится парами электронов. Задача 8.1. В массивном сверхпроводнике имеется отверстие диаметром 0.1 мм, в котором захвачено 7 квантов магнитного потока.

Определить напряженность магнитного полл в отверстии. Отиеети. Н = 1.84 10 л Э. Задача 8.2. В массивном сверхпроводнике имеется цилиндрическое отверстие диаметром 2 ем. В ием захвачено магнитное поле с напряженностью Н = 300 Э. Найти величину векторного потенциала А на расстоянии Н = 2 см от центра отверстия. Найти градиент фазы тур на этом же расстоянии Н. Отвести. А = 75Гс см, Tд = 2.36 10л рад/см. Задача 8.3. Рассматривается тонкая сверхпроводящая пленка толщины т1 та Л, нанесенная на поверхности диэлектрической нити.

Радиус сечения нити равен Н. Нить внесена в продольное магнитное поле при комнатной температуре, и затем температура нити опущена ниже Т,. После этого внешнее магнитное поле выключается. Как квантуется магнитный поток, захваченный нитью с пленкой? з 9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ И ТОКА Решение. Поскольку И «С Л, ток будет распределен по пленке однородно.

Поэтому интегрирование выражения (8.3) по замкнутому круговому контуру радиуса тС дает Ф = Фоп — з 3т. (8.9) С другой стороны, магнитное поле внутри цилиндра к ток по поверхности цилиндра связаны соотношением 4я . Н= — у,И, с поэтому поток внутри цилиндра Ф = (4я~/с)у,ттгт~. Выражая отсюда у, и подставляя в (8.9), имеем 2Л Л Ф = Фоп (1+ — ) лл) Замечание. Если ЛИ » 2Лз, квантование магнитного потока в тонкостенном цилиндре (Н (( Л) происходит так же, как и в массивном. В остатьных случаях «квант потока» меньше Фо. Задача 8.4. Найти распределение магнитного поля в условиях предыдушей задачи. Отвеетз. См. рис. 8.2.

Рис. 8.2. Распределение магнитного поля, захваченного тонкостенным О сверхпроводящим цилиндром. 8 9. Распределение поля и тока в простейших конфи- гурациях сверхпроводников 9.1. Пластина в параллельном поле. Переходим к рассмотрению распределения поля и тока в некоторых простых конфигурациях, Начнем со случая, когда бесконечная пластина толщины тт помещена в однородное параллельное пластине магнитное 44 ГЛ.П.ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ поле Но. Пусть плоскость х = 0 проходит по центру пластины, поверхности пластины совпадают с плоскостями х = ~ф2, магнитное поле направлено вдоль оси ю Поле внутри пластины должно удовлетворять уравнению (5.13).

Учитывая, что по соображениям симметрии поле Н внутри пластины должно быть направлено вдоль оси з и зависеть только от х, уравнение (5.13) можно записать в виде ,(гН/,1хг — Л гН = 9 (9.1) с граничными условиями Н(~ф2) = Но. Общее решение уравнения (9.1) имеет вид Н = Н1 сЬ(х/Л) + Нг вЬ(х/Л), (9.2) где Нг и Нг — постоянные интегрирования. Подставляя в (9.2) граничные условия, получим и решим два алгебраических урав- нения с двумя неизвестными (Н1 и Нг). В результате имеем окон- чательно сЬ(х/Л) сЬ(о/2Л) (9.3) Плотность сверхтока в пластине можно найти, воспользовавшись формулой (9.3) и уравнением Максвелла гоФ Н = (4я/с)г,: с оН .7ю 4я ох ' (9.4) В результатеполучим сН вЬ(х/Л) 4иЛ сЬ(д/2Л) (9.5) Н = Но г', = сНох! (4яЛг) Из (9.3) и (9.5) следует, что и магнитное поле, и ток проникают в пластину только на глубину порядка Л, если пластина толстая (Ы >) Л).

Если же зто тонкая пленка (д « Л), то, разлагая гиперболические функции по степеням малых параметров х/Л и Н/2Л, получим в линейном приближении $ 9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ И ТОКА 45 Это означает, что магнитное поле полностью проникает в пленку, а плотность сверхтока — линейная функция координаты. Распределение поля и тока в пластине при И Л показано на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Распределение магнитного поля и тока по се- ченню тонкой пленки, нахо- дящейся в однородном парал- лельном магнитном поле. Токи текут по краям пластины так, чтобы созданное ими магнитное поле уничтожало внешнее поле Не в глубине пластины. зЬ(х/Л) зп(И/2Л)' (9.6) где Нт = 2я1/с. Снова используя уравнение Максвелла (9.4), найдем распре. 9.2. Пластина с током.

В этом пункте рассмотрим случай, когда по бесконечной пластине течет заданный ток, а внешнее поле отсутствует. Пусть пластина будет такая же, как и в п. 9.1, а заданный ток течет в направлении оси у. При этом, конечно, предполагается, что ток распределен однородно вдоль оси я, т.е. краевые эффекты не учитываются. Итак, в единичной полосе вдоль оси я течет ток 1.

На поверхностях пластины (х = ~Н/2) он создает магнитное поле Н(~И/2) = ~Н~. Подставляя эти граничные условия в общее решение (9.2), найдем поле в пластине: 46 ГЛ. И. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ деление тока в пластине: сн! с1г(х/Л) 4яЛ еЬ(г1/2Л) (9.7) Из (9.6) и (9.7) следует, что и в этом случае поле и ток распре- делены только в поверхностном слое толщины Л, если г1 » Л.

В случае же тонкой пленки (г1 « Л) ток течет по всему сечению пластины, а поле — линейная функция координат: сНг Х Н = -Нг 2х/д, 2яг1 0 Напомним, что однородный ток в бесконечной пластине создает вне этой пластины неубывающее однородное магнитное поле. Распределение тока и поля в пластине с током показано на рис. 9.2. Рис. 9.2. Распределение магнитного поля и тока в тонкой пленке с заданным током. 9.3. Пластина с током в однородном поперечном магнитном поле. Пусть пластина находится в однородном внешнем магнитном поле Бе, направленном вдоль оси я, как в п, 9.1, и по пластине течет ток в направлении оси у, который однородно распределен вдоль оси л, как в п.

9.2. Полный ток через поперечное сечение единичной высоты равен Е, он создает на поверхностях пластины (х = хг1/2) поле ТНг. Такая суперпозиция условий двух предыдущих задач, в силу линейности уравнений Лондонов, должна привести к суперпозиции их решений. 47 9 9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ И ТОКА Рассмотрим частный случай, когда Н7 = Но.

Это значит, что внешнее поле Но будет полностью компенсировать поле тока с одной стороны пластины и удваивать его с другой стороны, что приведет к тому,что ток 1 теперь будет течь только по одной стороне пластины. Такую ситуацию можно реализовать, создав внешнее поле Но посредством второй пластины с таким же током 1, но противоположно направленным (рис. 9.3).