В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников, страница 8

УРАВНЕНИЯ ЛОНДОНОВ Итак, дадим функции Н(г) малую вариацию бН(г). Изменение У,я будет равно Ю.г;н: 1 6У,Я = — / (2НБН+ 2Л~ гог Нгоро 6Н) 4К (5.9) 8я/ Искомая функция Н(г) — это такая функция, на которой У,я достигает минимума, т. е. (5.10) 67,Я = О. Воспользовавшись тождеством агогЬ = Ьго1а — йг[аЬ], (5.11) преобразуем (5.9) и (5.10) к виду Н + Л~ гог гоС Н = О. (5.13) Это и есть второе уравнение Лондонов. Его можно записать и по- другому. Используя уравнение Максвелла (5.5) и равенство Н = = гог А, легко получим иэ (5.13) с 4яЛ А' (5.14) Последний интеграл, однако, равен нулю.

Действительно, воспользовавшись теоремой Гаусса, преобразуем последний интеграл к виду у[гог Н,6Н] гБ, где интеграл берется по поверхности сверхпроводника. По поле на поверхности нам задано — это внешнее поле, поэтому там вариация БН(г) = О. Мы пришли к уравнению ] (Н + Л го$ го1 Н)БН 41г = О.

При произвольной вариации 6Н(г) это уравнение может удовлетвориться, только если выражение в скобках равно нулю. Итак, мы получили уравнение для магнитного поля в сверхпроводнике: 34 ГЛ. П. ЗЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ Перейти от (5.13) к (5.14) можно только при условии, что мы выбираем так называемую лондоновскую калибровку векторного потенциала (5.15) (5.16) дьчА = О, Ап = О, 1 ,) = — — А 3 А=4 Л'(с2. (5.17) (5.18) Второе уравнение Лондонов в виде (5.17) будет в дальнейшем нами часто использоваться. 3 6.

Глубина проникновения магнитного поля Исследуем с помощью уравнений Лондонов вопрос о том, как проникает магнитное поле в сверхпроводник. Рассмотрим сверх- проводящее полупространство х > О. Это значит, что поверхность сверхпроводника совпадает с плоскостью х = О. В направлении оси з наложено внешнее магнитное поле Не. Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (5.13). Учитывая, что го$гоФН = — ~зН, и учитывая симметрию задачи, уравнение (5.13) можно записать в виде И Н(~(х — Л Н = О. (6.1) Граничные условия задачи: Н(0) = Не, Н(оо) = О.

Последнее граничное условие учитывает эффект Мейсснера- Оксенфельда. где и — вектор нормали к поверхности сверхпроводника. Уравнение (5.15) совместно с (5.14) дает неразрывность линий сверхтока, отсутствие источников сверхтока, а (5.16) — невозможность сверхтоку течь через поверхность сверхпроводящего тела.

Отсутствие внешних цепей и контактов, подводящих токи, конечно, предполагается. Используя (5.3) и (5.7), уравнение (5.14) можно записать еще и в виде 5 б. ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 35 Решение этой задачи: О цое-*~Л (6.2) Из этого решения следует, что магнитное поле убывает в глубину сверхпроводника. Характерная длина, на которой происходит ослабление поля в е раэ, есть Л (рис.6.1).

Это и есть физический смысл величины Л, введенной формально формулой (6.7). Эта величина называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля; (6.3) Рис. 6.1. Проникновение магнитного поля в массивный сверхпроводннк. 6 Поле на поверхности равно Не. На такую же величину убывает и экранирующий (мейсснеровский) сверхток, текущий по поверхности.

Действительно, (с/41г)го$Н, что в нашей плоской геометрии дает у, = (с/4к) пН/ол. Подставляя сюда (6.2), получим (6.4) 4кЛ Поскольку Л зависит от и„ она зависит от температуры. Довольно хорошим приближением для температурной зависимо- 36 ГЛ. П. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ сти Л является эмпирическая формула Л(0) (1 Я(Т )4)~l~ (6.5) Оценим порядок величины Л(0).

При Т = 0 все электроны металла — сверхпроводящие, т. е. п, = и = 10~~ см з. Подставляя в (6.3) это значение, а также т 10 ~" г, с = 3 10~я ем/с, е = = 4.8 10 ~е абс. ед., получим Л(0) 600 А. Значения Л(0) для некоторых сверхпроводников приведены в табл. 6.1. Таблица 6.1. Лондоновская глубина проникновения для некоторых сверхпроводников (5). 3 7.Нелокальнанэлектродинамика сверхпроводников То, что говорилось до сих пор об злектродинамике сверх- проводников, относилось к так называемой локальной электро- динамике. Действительно, уравнение Лондонов (5.17) связывает плотность сверхтока 3, (т. е.

скорость движения носителей сверх- тока к,) с векторным потенциалом А в этой же точке. Поэтому, строго говоря, оно применимо, только если размеры носителей сверхтока существенно меньше характерной длины, на которой происходит изменение векторного потенциала, т. е. глубины проникновения Л. Носители сверхтока — это электронные пары. Обозначим размер пары ~е. Оценка по порядку величины, которую мы проведем в главе Ч1, покажет, что для чистых металлов се ° 10 4 см. С другой стороны, глубина проникновения Л ° (10 Я лс 10 Я) см.

Отсюда следует, что локальная лондоновская 17, НЕЛОКАЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА электродинамика к чистым сверхпроводникам не применима, потому что на размере (е магнитное поле должно сильно измениться. Поэтому локальное уравнение (5.17) должно быть заменено на нелокальное, устанавливающее связь между скоростью частицы и магнитным полем, которое сильно меняется на размере частицы (е. Такую нелокзльную связь предложил Пиппард [22) еще до появления микроскопической теории сверхпроводимости.

В общем виде нелокзльная связь между ), и А может быть записана в виде ,1,(г) = Я(г — г')А(г') йг', (7.1) где Я вЂ” некоторый оператор, который, действуя на вектор А, превращает его в вектор 4А. Радиус действия оператора ©г— — г') берется равным (е, т.е. фг — г') отличен от нуля только при ~г — г'~ < Се. Так происходит усреднение действия вектора А на частицу (носитель сверхтока) больших размеров. Если этот размер устремить к нулю, то 4 превратится в с-функцию, и мы вернемся к локальной злектродинамнке.

Пиппард предложил ЯА выбрать в виде Я(г — г ) А(г ) = —, 4 (А(г ), г — г ) е ~" ~ ~~~'. (7.2) (г г~)4 В нелокальном случае закон проникновения магнитного поля в сверхпроводник отличается от экспоненциального, однако и в этом случае можно говорить о глубине проникновения магнитного поля, определив ее так: (7.3) Л = — НЙх. о Здесь Не — поле на поверхности полубесконечного сверхпроводника. Если поле уменьшается вглубь сверхпроводника экспоненциально, то это определение Л и предыдущие (см.

(6.1) и (6.2)) совпадают. 38 ГЛ. П. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ Мы не будем решать нелокальную задачу, а покажем, как можно просто получить правильный ответ по порядку величины [71. Допустим, что истинную зависимость Н(х), т.е. закон проникновения магнитного поля, мы аппроксимируем экспонентой с новой глубиной проникновения. Обозначим эту глубину ЛР (пиппардовская глубина проникновения). Итак, на частицу диаметром се векторный потенциал А действует только на глубину Лр « ~е.

В результате частица участвует в создании плотности тока 3„но действие А на частицу в нелокальном случае менее эффективно, ведь только доля частицы Лр/Се ечувствуете действие вектор-потенциала А. Соответственно, и плотность тока будет меньше в (е/ЛР раз. Подставив этот коэффициент в формулу (5.14), получим Лр 4яЛ со (7.4) Если это уравнение записать в виде с Ь= — 2А, 4яЛР (7.5) мы получим, как и хотели, экспоненциальный закон спадания по- ля на глубине Лр. Сравнение (7.4) и (7.5) дает ЛР~ — — Л~Се/ЛР, откуда оценка Лр по порядку величины будет (Лз~ )1/3 (7.6) Величина Л здесь по-прежнему определяется формулой (5.7). Из формулы (7.6) следует, что в случае Л « Се имеем Лр» Л, т.

е. нелокзльная злектродинамика предсказывает более глубокое проникновение магнитного поля, чем то, которое следует из локальной электродинамики. При этом, конечно, предполагается, что Лр тоже удовлетворяет неравенству ЛР « (е. Но так может быть не всегда даже у чистых металлов.

Типичным представителем сверхпроводников, хорошо описываемых нелокальными соотношениями (пиппардовских сверхпроводников), является А1. Наоборот, даже чистый РЬ является лондоновским сверхпроводником. 1В. КВАНТОВОЕ ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛОНДОНОВ 39 С приближением Т к Т, все сверхпроводникн становятся лондоновскими, так как Л растет при Т -+ Т„, а Се от Т не зависит. Все, что говорилось до снх пор, относится к случаю чистого металла, т.

е. такого, у которого длина свободного пробега электрона (» Се. Если загрязнить металл прнмеснымн атомами, то может возникнуть ситуация, когда 1 « (е. Такие металлы мы будем называть грязными. Сюда же относятся н сплавы. В очень грязных металлах роль размера электронной пары уже играет величина порядка (~е1)"/э. Микроскопическая теория также показывает, что для грязных сверхпроводников глубина проникновения магнитного поля Лл Л((е/1) ~/~ прн1 << (е. Таким образом, сплавы хорошо описываются локальными лондоновскими уравнениями.

В дальнейшем мы будем пользоваться локальными уравненнямн. 8 8. Квантовое обобщение уравнения Лондонов. Квантование магнитного потока Ь'70 = 2ту, + — А, 2е с (8.1) где Ь вЂ постоянн Планка. Действительно, в отсутствие магнитного поля плотность потока частиц п,ч,/2 можно записать в виде (Ю/4т) (Ф~7Ф* — Ф'~79). Подставляя сюда выражение Ф(г) = = (п,/2)'7эе'~, получим Ьуд = 2ту,. Если частица движется в 8.1. Квантовое обобщение уравнения Лондонов.

В главе 1 уже говорилось о том, что элементарным носителем сверх- тока является пара электронов, куперовская пара. При этом все пары находятся на одном энергетическом уровне, в одном квантовом состоянии, образуют конденсат. Волновая функция такой конденсатной частицы может быть записана в виде Ф(г) = = (п,/2)"/эеи~'), где  — фаза волновой Функции.

В нормировке Ф(г) учтено, что плотность электронных пар равна и,/2, где п, — плотность сверхпроводящих электронов. Если частица с массой 2гп и с зарядом 2е движется в магнитном поле, то импульс частицы можно записать в виде 40 ГЛ. П. ЗЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ магнитном поле, то полный импульс ЧУ0 есть сумма 2гпч-импульса и импульса — А, создаваемого магнитным полем. 2е Используя выражение для плотности сверхтока в виде (8.2) 3, =п,еи, и формулы (5.7) и (5.18), легко получим из (8.1) следующее обоб- щение второго уравнения Лондонов: 5 = — — "70 — А (8.3) Здесь введено обозначение Фс = ябс/е.