Семинар (7) (Семинары)

СЕМИНАР 7Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическаясистема В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)и построение фазовых и кинетических портретов.ИССЛЕДОВАНИЕУСТОЙЧИВОСТИСТАЦИОНАРНЫХСОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКАПусть биологическая система описывается системойдвух автономных дифференциальных уравнения второгопорядка общего вида:⎧ dx⎪⎪ dt = P( x, y ),⎨⎪ dy = Q ( x, y ).⎪⎩ dtСтационарные значения переменных системы определяются из алгебраических уравнений:⎧ P( x , y ) = 0,⎨⎩Q( x , y ) = 0.Исследование характера поведения траекторий системы в окрестностях стационарных состояний, а такжеанализ устойчивости стационарных состояний проводят спомощью метода Ляпунова (метод линеаризации систем вокрестности стационарного состояния).

Ляпунов показал,что в большом числе случаев анализ устойчивости стационарного состояния нелинейной системы можно заменить анализом устойчивости системы, линеаризованной вокрестности стационарного состояния.74Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных системКоэффициенты линеаризованной системы в окрестности каждого стационарного состояния исходной нелинейной системы определяются по формулам (подробныйвывод приведен в Лекции 5 учебника Г. Ю. Ризниченко,(Ризниченко, 2002)):⎛ a = Px′( x , y ) b = Py′( x , y ) ⎞⎜⎟.⎝ c = Qx′ ( x , y ) d = Q′y ( x , y ) ⎠Так же, как и в линейных системах, корни характе1ристического уравнения λ1,2 = (a + d ) ± (a + d )2 − 4(ad − bc)2дают представление о характере поведения решений системы. Если оба характеристических корня имеют отличные от нуля действительные части (грубые системы), тоисследование линеаризованной системы дает всегда правильный ответ на вопрос о типе устойчивости состоянияисходной нелинейной системы, а также о характере фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности.Как и в случае линейных уравнений, возможны пять типов грубых состояний равновесия: узел (устойчивый, неустойчивый), фокус (устойчивый, неустойчивый) и седло.Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю, или если один кореньравен нулю, а другой отрицателен, то для ответа на вопрос об устойчивости необходимо рассматривать членыболее высокого порядка малости в разложении в рядТейлора правых частей уравнений исходной системы(функций P( x, y ), Q( x, y ) ).()75Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР 7.1: Проведите линеаризацию системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния и определите его тип устойчивости:⎧ dx⎪⎪ dt = 2 xy − x + y,⎨⎪ dy = 5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y.⎪⎩ dtРЕШЕНИЕ: Для линеаризации системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния найдем частные производные функций в правых частях уравнений.

Вкачестве координаты стационарного состояния ( x , y ) подставим значения (0,0) .a = Px′( x , y ) = [ 2 xy − x + y ]′ x = 2 y − 1 , 2 y − 1 y = 0 = −1 ;b = Py′ ( x , y ) = [ 2 xy − x + y ]′ y = 2 x + 1 , 2 x + 1 x = 0 = 1 ;c = Qx′ ( x , y ) = ⎡⎣5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y ⎤⎦′ = 20 x3 + 2 , 20 x 3 + 2xd = Q′y ( x , y ) = ⎡⎣5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y ⎤⎦′ = 3 y 2 − 3 , 3 y 2 − 3yx =0y =0= 2;= −3 .a + d = −1 + ( −3) = −4 ,ad − bc = (−1) ⋅ (−3) − 1 ⋅ 2 = 1 ,Имеемособая точка грубая. Характеристические корни системы−4 ± 16 − 4 ⋅ 1первого приближения равны λ1,2 == −2 ± 3 , оба2действительны и отрицательны, следовательно, в окрестности нулевой особой точки поведение фазовых траекторийсистемы будет соответствовать типу «устойчивый узел».76Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системСистемы нелинейных уравнений будем исследоватьпо следующему плану:1)определение стационарных состояний,2)линеаризация системы в окрестности каждого стационарного состояния,3)расчет значений корней характеристических уравнений системы, линеаризованной в окрестности каждого стационарного состояния,4)вывод об устойчивости и характере поведения фазовых траекторий в окрестностях каждого стационарного состояния.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРАКлассическая модель «хищник—жертва», предложенная В. Вольтерра для объяснения периодических изменений числа особей, имеет вид:⎧ dx⎪⎪ dt = x(ε x − γ xy y ),⎨⎪ dy = y (γ x − ε ).yxy⎪⎩ dtЗдесь x — число жертв, y — число хищников, ε x —скорость размножения жертв, ε y — скорость гибели хищников, γ xy , γ yx — параметры, отражающие влияние встречижертвы и хищника на скорость изменения численностижертвы и хищника соответственно.77Учебное пособие «Математические модели в биологии»1)Поиск стационарных состояний.

Решаем систему алгебраических уравнений:⎧⎪ x(ε x − γ xy y ) = 0,⎨⎪⎩ y (γ yx x − ε y ) = 0.Получаем координаты двух стационарных состояний:x1 = 0, y1 = 0, x2 =εyε, y2 = x . Все параметрыγ yxγ xyположительны, поэтому точка, соответствующаявторому (ненулевому) стационарному состояниюпринадлежит положительной четверти фазовойплоскости.2-3) Линеаризация системы в окрестности стационарногосостояния и расчет значений корней характеристических уравнений системы, линеаризованной в окрестности каждого стационарного состояния.Px′( x , y ) = ε x − γ xy y , Py′( x , y ) = − x γ xyQx′ ( x , y ) = yγ yx , Q′y ( x , y ) = γ yx x − ε yВ окрестности стационарного состояния x1 = 0, y1 = 0матрица коэффициентов линеаризованной системыимеет вид:⎛εx⎜⎝00 ⎞⎟.−ε y ⎠Корни соответствующего характеристического урав⎡ εx1I.нения есть λ1,2= (ε x − ε y ) ± (ε x − ε y ) 2 + 4ε xε y = ⎢2⎣ −ε y(78)Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системКорни действительные, разных знаков. Таким образом, получаем, стационарное состояние x1 = 0, y1 = 0неустойчиво, и поведение фазовых траекторий в егоокрестности имеет седловой характер.Вx2 =окрестностистационарногосостоянияεyε, y2 = x матрица коэффициентов линеаризоγ yxγ xyванной системы имеет вид:⎛⎜ 0⎜⎜ γ⎜ ε x yx⎜ γxy⎝−ε yγ xy ⎞⎟γ yx ⎟0⎟.⎟⎟⎠Корни соответствующего характеристического уравIIнения есть λ1,2= ±i ε xε y . Таким образом, исследование показывает, что особая точка x2 =εyε, y2 = x явγ yxγ xyляется центром, а траектории вблизи этого стационарного состояния являются концентрическими эллипсами.79Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИВ. ВОЛЬТЕРРА «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»1.

Используя численные значения параметров, найдитекоординаты стационарных состояний, коэффициенты линеаризованной системы в окрестности каждого из стационарных состояний, значения корней характеристических уравнений системы уравнений:⎧ dx⎪⎪ dt = x( p1 − p2 y ),⎨⎪ dy = y ( p x − p ).34⎪⎩ dtРезультат занесите в таблицу.Параметрыp1 = 4p2 = 0.1p3 = 0.8p4 = 0.5КоординатыстационарныхсостоянийКоэффициентылинеаризованной системыЗначения корнейхарактеристического уравненияx1 =y1 =a=b=c=d=a=b=c=d=λ1I =x2 =y2 =λ2I =λ1II =λ2II =2. Найдите уравнения главных изоклин и сепаратрис.Постройте в тетради качественный фазовый портрет решения системы В.

Вольтерра «хищник-жертва».3. В программе TRAX постройте фазовый портрет решения системы В. Вольтерра «хищник-жертва». Обратитевнимание на выбор масштаба окна фазовой плоскости. Зарисуйте результат.4. В программе TRAX постройте кинетический портретрешения системы В. Вольтерра «хищник-жертва» для произвольного начального положения изображающей точки.Зарисуйте результат.80Семинар 7.

Устойчивость стационарных состояний нелинейных системЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 77.1. Проведите линеаризацию системы уравнений вокрестности нулевого стационарного состояния и определите его тип устойчивости:⎧ dx⎪⎪ dt = 2 xy − x + y,а) ⎨⎪ dy = 5 x 4 + y 3 + 2 x − 3 y;⎪⎩ dt⎧ dx22⎪⎪ dt = x + y − 2 x,б) ⎨⎪ dy = 3x 2 − x + 3 y;⎪⎩ dt⎧ dxx+2 y− cos 3 x,⎪⎪ dt = eв) ⎨⎪ dy = 4 + 8 x − 2e y ;⎪⎩ dt⎧ dx−3 x⎪⎪ dt = ln ( 4 y + e ) ,г) ⎨⎪ dy = 2 y − 1 + 3 1 − 6 x .⎪⎩ dt7.2. Для модели «кинетические уравнения Лотки»⎧ dx⎪⎪ dt = k0 − k1 xy,⎨⎪ dy = k xy − k y12⎪⎩ dtнайдите стационарную точку ( x , y ) и определите ее тип.Найдите уравнения главных изоклин, изоклин ±45 .

Длязаданных значений параметров постройте эскиз фазовогопортрета системы:1) k0 = 8 , k1 = 1 , k0 = 2 ;2) k0 = 8 , k0 = 1 , k0 = 1 .81.