М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 8

Какова вероятность того,что из 20 компьютеров зависнут:а) ровно 6 компьютеров?б) не менее 5 компьютеров?Задача 7.10. Мастер и ученик играют в шахматный матч.Мастер выигрывает матч, если он выиграл все партии в матче, ученик выигрывает матч, если он выиграл хотя бы одну партию в матче. Из скольких партий должен состоять50матч, чтобы шансы на победу у мастера и ученика были равны, если вероятность победы мастера в одной партии равна0.9, а ученика — 0.1?Задача 7.11. Испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее 0.95 хотя бы один раз появились «триединицы»?Задача 7.12. Вероятность хотя бы одного попадания придвух выстрелах равна 0.96.

Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.Задача 7.13. На отрезок [0,10] брошено 6 точек. Найти вероятность того, что ровно 2 из них попали на отрезок [0,3].Задача 7.14. Найти наиболее вероятное количество успеховв схеме Бернулли с 6 испытаниями при = 1/2.Задача 7.15. Найти наиболее вероятное количество успеховв схеме Бернулли с 6 испытаниями при = 1/.Ответы и решения7.2 Теорема может быть легко доказана аналогично задаче 7.17.3 Биномиальная схема: одно испытание – облучение одноймыши, “успех” — смерть мыши, “неудача” — выживание мыши.Имеем = 0.1, = 10.2P ( = 2) = 10(0.1)2 (0.9)10−2 ≈ 0.194.P ( ≤ 2) = P ( = 0) + P ( = 1) + P ( = 2) =012= 10(0.1)0 (0.9)10 + 10(0.1)1 (0.9)9 + 10(0.1)2 (0.9)8 ≈≈ 0.93.

(14)7.5 Bin(10, 9/10), успех – правильная передача знака, неудача– неправильная10а) P ({не будет искажено}) = P ( = 10) = 10(0.9)10 ≈ 0.349б) P ({будет иметь ровно 3 искажения}) = P ( = 7) =7(0.9)7 (0.3)3 ≈ 0.05710в) P ({содержит не более 3 искажений}) = P ( ≥ 7) =710(0.9)7 (0.3)3 + . . .

+ 10(0.9)10 (0.3)0 ≈ 0.98710517.6 Bin(5, 0.55).P ({правильная передача}) = P ( > /2) = P ( > 5/2) == 53 (0.55)3 (0.45)2 + 54 (0.55)4 (0.45) + 55 (0.55)5 ≈ 0.592(15)7.7 Биномиальная схема: для каждого элемента множества проводится независимое испытание, которое заканчиваетсяуспехом если, либо ∈/ 1 , ∈/ 2 , либо ∈/ 1 , ∈ 2 , либо ∈/ 1 , ∈/ 2 , в противном случае ∈ 1 , ∈ 2 элемент принадлежит обоим множествам, что считается неудачей.1 = 1−2 , = , требуемые вероятности: (а) ( = ) = 1 ,−1(б) ( = − 1) = 1 .17.8 0.0197.

Биномиальная схема: успех – правильный ответ навопрос наобум, = 1/4, = 10.7.9 а) 0.0089; б) 0.04327.10 7. Приравнять вероятность того, что мастер выиграет вовсех партиях матча, к 1/2. Использовать логарифмы.7.11 6467.12 0.4096. Используя биномиальные вероятности, можно легко получить вероятность попадания при одном выстреле, послечего рассчитать вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.7.13 0.3247.14 37.15 2528.

Полиномиальная схема.Полиномиальная схема является обобщением биномиальнойсхемы и описывает последовательность независимых испытаний, каждое из которых имеет ≥ 2 вариантов исхода. Вероятности исходов равны соответственно 1 , . . . , . Тогда в резуль(1)()()тате получим набор , . . . , , где – количество испытаний, закончившихся исходом . Пользуясь техникой, аналогичной биномиальной схеме, можно показать, что)︁(︁!1 · P (1) = 1 , . .

. , ()= = =1 ! · . . . · ! 11= (1 , . . . , )1 · . (16)Задача 8.1. Известно, что от некоторой дозы химическоговещества 60% лабораторных мышей умирают, 30% заболевают и 10% остаются здоровыми. Найти вероятность того,что среди 10 подопытных мышей после воздействия дозы 7умрут, 2 заболеют и 1 останется здорова.Задача 8.2. Известно, что в пробах наблюдается высокое содержание вещества с вероятностью 10%, среднее с вероятностью 70%, низкое с вероятностью 20%. Найти вероятностьтого, что в 10 независимых пробах окажется 2 пробы с высоким содержанием вещества, 5 — со средним и 3 — с низким.Задача 8.3. Для проверки навыков химического анализа студентам роздано по пробирке с раствором неизвестного вещества.

Известно, что каждому с вероятностью 50% выдаетсясоль, с вероятностью 30% — кислота, и с вероятностью 20%— основание, независимо от других. Найти вероятность того, что в группе из 12 студентов пятеро получат на анализсоль, четверо — кислоту и трое — основание.Задача 8.4. При проведении химического опыта студент свероятностью 10% разбивает колбу и с вероятностью 5% —пробирку, а с вероятностью 85% все остается в целости. Найти вероятность того, что в результате 10 опытов будутразбиты 2 колбы и 1 пробирка.Задача 8.5. На складе имеются колбы, пробирки и другая химическая посуда. Посетителям требуются колбы с вероятностью 50%, пробирки с вероятностью 40%, другая посуда — с53вероятностью 10%. Найти вероятность того, что из десятипосетителей пятерым потребуются колбы, трем — пробиркии двоим — другая посуда.Задача 8.6.

Химический элемент содержится в веществе ввиде трех стабильных изотопов A, B и C в относительныхдолях: А — 70%, В — 20%, C — 10%. Найти вероятность, чтоиз 10 случайно взятых атомов элемента окажется 6 атомовА, 3 атома В и 1 атом С.Задача 8.7. Два шахматиста, А и В, встречались за доской50 раз, причем 15 раз выиграл А, 10 раз выиграл В и 25 партийзакончились вничью.

Найти вероятность того, что в матчеиз 10 партий между этими шахматистами 3 партии выиграет А, 2 партии выиграет В, а 5 партий закончатся вничью.Использовать результаты предыдущих матчей для оценки вероятностей выигрыша каждого.Задача 8.8. В магазине имеются в продаже: один костюмпервого роста, два костюма второго роста, три костюма третьего роста. Костюм первого роста спрашивается с вероятностью 0.2, костюм второго роста — с вероятностью 0.3,костюм третьего роста — с вероятностью 0.5.

В магазинобратилось три покупателя. Найти вероятность того, чтохотя бы один из них ушел без покупки.Задача 8.9. Курс акции за день торгов может поднятьсяили опуститься на 1 пункт либо остаться неизменным (всетри случая равновероятны). Найти вероятность того, чтоза 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.Задача 8.10. Курс акции за день торгов может поднятьсяна 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт свероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс: а)поднимется на 3 пункта; б) упадет на 2 пункта.Ответы и решения8.1 0.0918.2 0.0348.3 0.088.4 0.058548.5 0.058.6 0.0798.7 0.0858.8 0.1318.9 10/818.10 а) 0.14375; б) 0.0612559. Предельные теоремы.При больших значениях (порядка сотен и более) использование непосредственных формул для биномиальных вероятностейявляется затруднительным как для людей, так и для компьютеров (370! не умещается в число с плавающей точкой, например).Поэтому для приближенного расчета используют предельныетеоремы в биномиальной схеме.Теорема Пуассона.

Пусть — вероятность успеха в схеме Бернулли, состоящей из испытаний; = → >0, → ∞; тогда для фиксированного числа вероятность −, → ∞.P ( = ) → !Теорема Пуассона применяется в случае, когда велико, близко к нулю, а произведение невелико (например, при ≥ 100, < 20). Тогда принимают за .Верхняя оценка точности теоремы Пуассона дается следующейформулой: для любого множества ⊂ {0, 1, . .

. , } верно неравенство⃒⃒⃒∑︁ − ⃒⃒⃒⃒P ( ∈ ) −⃒ ≤ 2 .⃒! ⃒∈Рассмотрим пример применения теоремы Пуассона.Задача 9.1. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных свероятностью 0.005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.I Биномиальную вероятность приближаем пуассоновской с параметром = = 1000 · 0.005 = 5.P ( ≤ 3) ≈0 −1 −2 −3 −+++≈ 0.2650!1!2!3!JЗамечание 1. На случай, если нам нужно приблизить с помощью теоремы Пуассона не P ( = ), а P ( ≤ ), такие∑︀ −вероятности =0 !для некоторых значений приведеныв таблице в Приложении 4.Замечание 2.

Теорему Пуассона также следует применять, если велико, близко к единице, а близко у нулю, так что56небольшим числом оказывается не , а . В этом случае надопросто переименовать “успехи” и “неудачи”, при этом от величины переходим к = − .В случае, когда велико, а не мало (например, при ≥ 100, > 20) для аппроксимации применяются теоремы МуавраЛапласа.Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа:Для любых чисел , ( < ) выполняется{︂ − ≤≤ √Рассмотрим примерМуавра-Лапласа.}︂1→√ ·2применения∫︁−22,→∞интегральнойтеоремыЗадача 9.2. Имеется 100 мышей, каждая погибает от химического воздействия с вероятностью 0.2.

Какова вероятностьтого, что погибнет от 10 до 30 мышей?I ∼ Bin(100, 0.2)(︂P (10 ≤ ≤ 30) = P10−√−104= −2.5, = √30−20= 104 = 2.5.20·0.8∫︀2Для раcчета значений интеграла √12 − /2 d существуетнесколько методов (напрямую интеграл не берется):где ==10−20√20·0.8)︂ − 30 − 10 − ≤ √≤ √≈√∫︁ 21≈√− /2 d, (17)2 =∫︁ 21√− /2 d =2 ∫︁ ∫︁ 211−2 /2√d − √− /2 d = Φ() − Φ(), (18)2 −∞2 −∞57где Φ() – это так называемая функция стандартного нормального распределения, для неё существуют таблицы, и кроме того, Φ()=НОРМСТРАСП(x) в Excel, Φ()=NORMSDIST(x) вOpenOffice и GoogleDocs.Аналогично можно получить значения∫︀ данного интеграла, имея2лишь функцию Лапласа Φ0 () = √12 0 − /2 d, тогда Φ() =Φ0 9) + 1/2.В нашем случае по таблице в Приложении 4 находим вероятность Φ(2.5) − Φ(−2.5) = 0.9938 − 0.0062 = 0.9876.JЗамечание 1.

Функция Φ обладает полезным свойством:Φ(−) = 1 − Φ(−), поэтому Φ() − Φ(−) = 2Φ() − 1. Такчто в подобных случаях достаточно заглянуть в таблицу только один раз.Замечание 2. В табличном представлении часто прибегают кразличным ухищрениями для представления большого объемаинформации на листе, например, значение для = 1.23 размещается в строчке, помеченной 1.2, и столбце, помеченном 0.03.При значениях аргумента, меньших или больших имеющихсяв таблице Приложения 4, можно считать функцию близкой кнулю или единице соответственно, либо пользоваться более подробными таблицами в других источниках (или компьютером).Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа: Пусть ∼ Bin(, ), тогдаP ( = ) ≈ √(−)21− 2 .2(19)Замечание.

Все три теоремы дают аппроксимацию для истинных значений биномиальных вероятностей в форме, которуюзначительно проще вычислять, причем точность этой аппроксимации зависит от того, какую из теорем в данном случае уместнее применить.Задача 9.3. Известно, что вероятность ошибки при измерении равна 0.1. Какова вероятность того, что при случайномизмерении 300 величин, произойдут ошибкиа) ровно в 27 случаях;б) не менее чем в 20 случаях?58Задача 9.4. В опыте Пирсона по проверке закона больших чисел монета подбрасывалась 12000 раз, и относительная частота орлов1) оказалась равной 0.5016. Вычислить вероятностьтого, что при повторном опыте относительная частота окажется ближе к 1/2, чем в первый раз.Задача 9.5.