М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 5

б) 52 /25 .2221 313.9 а) 22 = 12 б) .= 2·3в) 352 г) 2·3+3·2252255553 10 (1, 3, 3, 3)/1010 . Выбрать три множе3.10 а) 10! б) 1010ства этажей (где выходят по 0, 1 и 3 человека), потом посчитать30число вариантов для каждого множества, если людей различаем.44 2 ·8·6 2 1 1 + 1 2 1 + 1 1 2 4 + 4 +143.11 а) 46 б) 6 4 в) 6 8 6 6 48 6 6 8 6 = 1− 14 124г)8·32042020д)3.12 1 −3.15 1 −3.163.173.183.193.203.21225250=2020202250−25250321232334330 40 3010100∑︀3 11−=0 8 1411223.13 а)3.14414420б)=11−11 ∑︀322− =0 8 1411223!2!2!7! −1 ·134 10−3−41010461028815·5 ·15+5·42 ·151920·10∑︀3 ·56−5а) 15б) =0 155620205771 ·677!а) 77 б) 75 в) 77=∑︀3=115·56−620314. Геометрическая вероятность.Отметим, что вероятностные пространства, в которых числоэлементарных исходов конечно – не единственный тип вероятностных пространств.

Примером пространства с бесконечнымчислом элементарных исходов является геометрическое вероятностное пространство. Можно отметить также, что число исходов здесь очень неприятным образом бесконечно – то есть континуально, на пальцах это значит, что их нельзя пересчитать,если считать последовательно, даже если считать бесконечноечисло дней.В модели геометрической вероятности рассматривается самыйпростой вид континуальных вероятностных пространств.

Обычно множеством элементарных исходов здесь является некотораяфигура на плоскости. Событием – подмножество этой фигуры,а вероятность определяется следующим образом.Опр. Вероятностью события называется отношение площадимножества, описывающего данное событие, к площади всего вероятностного пространства.Замечание. Вероятностным пространством для геометрической вероятности вовсе не обязательно является фигура наплоскости – это может быть также фигура в пространства (тогда вместо площади рассматривается объем), либо фигура напрямой (тогда вместо площади рассматривается длина). Теоретически геометрическую вероятность можно рассматривать ив пространствах большей размерности чем 3, но преимуществатакого подхода невелики – многомерные пространства неудобны для восприятия и все равно требуют аналитических методовработы.Задача 4.1. Стрелок производит выстрел в центр квадратной мишени с диагональю 2 м.

Какова вероятность попасть вмишень, если отклонение пули от заданного направления может быть произвольным, но не превосходящим 1 м?I Пространством элементарных исходов здесь является круградиуса 1 м вокруг центра квадрата. Попадание пули в каждуюточку круга равновероятно. Выберем среди этих элементарныхисходов подходящие под событие = {пуля попала в мишень}.Очевидно – это квадрат с диагональю 2 м в центре круга Ω.32Вероятность рассчитывается следующим образомP () =||2== .|Ω|Ω(6)JЗадача 4.2.

Задача о встрече: два человека решили встретиться с полуночи до часа. Каждый приходит на место вслучайный момент времени, ждет 1/4 часа и уходит. С какой вероятностью они встретятся?Указание: предположить, что элементарный исход – это точкас координатами (Время прихода 1-го, Время прихода 2-го).Задача 4.3. В ходе технологической обработки концентрациявещества A случайна и равномерно распределена от 0.5 до 1,концентрация вещества B — от 0 до 1. Реакция проходит, когда концентрация вещества A больше чем вдвое превышаетконцентрацию вещества B, найти вероятность прохожденияреакции.Задача 4.4. Решить задачу 4.3 при условии, что реакция проходит, когда квадрат концентрации A превосходит концентрацию B.Задача 4.5.

Два химика синтезируют случайное количествовещества в сосудах размера 2 и 1 литр соответственно. Послеэтого второй химик сливает вещество в сосуд первого. Еслиу него осталось больше половины вещества в сосуде, или неосталось вообще, он выиграл. Каковы вероятности выигрышадля первого и второго химика?Задача 4.6. Первый поезд метро в центр отходит в 6:00,первый поезд от центра отходит в 6:01, какова вероятность,33спустившись в метро в случайный момент и сев в первый пришедший поезд, поехать от центра, если поезда ходят с промежутком в 5 минут.Задача 4.7. (Парадокс Бертрана): в круг вписан равнобедренный треугольник. Какова вероятность того, что длина случайной хорды, проведенной в круге, меньше, чем сторона треугольника.Замечание.

Парадокс Бертрана является классическим примером “Вероятности эпохи Ренессанса”, эта кажущаяся простойзадача может быть решена тремя интуитивно обоснованнымиспособами, дающими различные ответы. Разгадку парадоксасм. в ответах и решениях.Задача 4.8. (Задача Бюффона) Иголка длины 1 случайно бросается на плоскость, разлинованную на полосы ширины 1. Какова вероятность того, что игла пересечет край полосы?Замечание. В этой задаче вероятность выражается через ,что дает возможность оценивать экспериментально с помощью бросания иглы достаточно большое число раз. В наше время подобные эксперименты легко смоделировать на компьютере.

Собственно, есть много более простых способов вычислить с нужной точностью, однако в отношении многих других величин, которые не вычисляются явно, но могут быть выраженычерез площади некоторых фигур, такие методы применяются иназываются методами Монте-Карло.Задача 4.9. Гном встречает на ярмарке двух хоббитов. Упервого хоббита изначально было 100 монет, а у второго —200 монет, и они тратили деньги независимо друг от друга. Встреча происходит в случайный момент времени, поэтому неизвестно, сколько денег к этому моменту осталось ухоббитов. Если у первого хоббита осталось больше денег, чему второго, то он выигрывает. Если у второго хоббита вдвоебольше, чем у первого, то выигрывает он. В противном случаевыигрывает гном.

Какова вероятность выигрыша гнома?Указание: для простоты считать капиталы хоббитов непрерывными переменными.Задача 4.10. Навстречу друг другу идут 2 пешехода со скоростями, независимыми по отношению друг к другу и взятыми34наугад из отрезка [0, 4] км/ч. Найти вероятность того, чтоони встретятся в течение 2 часов, если сначала между ними6 км.Задача 4.11. На лист в клетку со стороной 5 см бросаетсямонета с радиусом 2 см. Найти вероятность того, что монета пересечет одну из линий.Задача 4.12.

На квадратном поле площадью 1 км2 закопанкусок урана. Обнаружить уран можно, только оказавшись нарасстоянии менее 100 м от него. Охотник за ураном стартует от случайной точки на одной стороне поля и пересекаетполе параллельно одной из сторон, какова вероятность того,что он найдет кусок урана?Ответы и решения4.2 7/164.3 3/8. Использовать равномерное распределение на прямоугольнике [0.5, 1] × [0, 1], посчитать площадь под прямой, разделить на площадь прямоугольника.4.4 7/124.5 Вероятностное пространство: прямоугольник [0, 2] × [0, 1],событие =выигрыш первого химика={(, ) : + < 1} ∪{(, ) : + > 3/2}, P () = 3/4.4.6 1/54.7 Есть три вероятностных пространства, поясняющие “случайность” проведения хорды.1.

Фиксируем некоторое направление, и проводим хорду параллельно ему (или берем случайную точку на фиксированном диаметре и проводим хорду перпендикулярно ему). Ответ: 1/2.2. Фиксируем точку окружности, проводим хорду под случайным углом. Ответ: 1/3.353. Бросаем на круг случайным образом точку и проводим хордутак, чтобы ее центр был в этой точке. Ответ: 1/4.Парадокс возникает из-за того, что не определено понятие “случайная хорда”.

Каждый из описанных методов по сути задаетвероятностное распределение на множестве хорд, однако этотобъект сложнее, чем “очевидные” геометрические соображения.В нашем курсе мы будем лишь немного изучать современныйподход к таким объектам, в ходе рассмотрения случайных величин и случайных векторов.4.8 2/.4.9Вероятностноепространство:прямоугольник[0, 100] × [0, 200], = { выигрывает первый хоббит} ={ > }, P () = (100 * 100/2)/(100 * 200) = 1/4, = { выигрывает второй хоббит} = {2 * < }, P () = 1/2, = { выигрывает гном}, P () = 1 − 1/2 − 1/4 = 1/4.4.10 23/324.11 24/254.12 0.19. Допустим, что охотник начинает идти от западнойстороны поля и движется на восток.

Тогда результат зависиттолько от соотношения между расстояниями до охотника и докуска урана от южной (или северной) стороны поля.365. Независимость и условные вероятностиОпр. Условной вероятностью события A при условии событияB (P () > 0) называется величинаP (|) =P (), P () > 0P ()Замечание 1. В случае классического вероятностного пространства имеет место соотношениеP (|) =|∩||Ω||||Ω|=| ∩ |.||Другими словами условная вероятность – это вероятность события в том случае, когда за вероятностное пространствопринято событие . Исходное определение условной вероятности позволяет определять то же самое для случая произвольного пространства, вне зависимости от сложности события ираспределения вероятности. Кроме того, иногда проще построить интуитивно понятную модель больших размеров и брать вней подмножества-события, чем пытаться строить модель ужеиз новых исходов.Замечание 2. Для условной вероятности выполняются всете же интуитивно очевидные аксиомы, что и для обычной, в частности, выполнена теорема сложения вероятностей:P ( ∪ |) = P (|) + P (|) − P (|).Замечание 3.

Необходимо пояснить отличие интерпретацииусловной вероятности P (|) от P (): в первом случае известно, что событие уже произошло ( – точно произошло, – неизвестно); во втором же события и происходят одновременно (в одинаковой степени неизвестны).Задача 5.1. * Доказать утверждение в замечании 2.Понятие условной вероятности можно показать на следующемпримере:Задача 5.2.