М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 12

Обладает тем свойством, что уже прошедшеевремя ожидания не влияет на дальнейшее время, если событиееще не произошло.803. Гамма-распределение. −1Распределение: () = Γ()− , > 0, , > 0, Γ() =∫︀ +∞ −1 − d.0Обозначение: (, ).Характеристики: M = /, D = /2 .Наглядный смысл и применение: обобщение экспоненциальногораспределения (которое получается при = 1). Полезное распределение на положительной полупрямой с подстраиваемымпод ситуацию параметром формы . Получается как сумма независимых случайных величин с распределением Exp(), если целое. Может использоваться для описания времени донаступления нескольких событий последовательно.4. Нормальное распределение.(−)21− 22 .Распределение: () = √22Обозначение: (, 2 ).Характеристики: M = , D = 2 .Наглядный смысл и применение: очень широко используемоераспределение, имеет много ценных свойств, в частности, суммадвух независимых нормальных – тоже нормальная. Подробнеесм.

главу 13. В химии часто используется для описания концентраций химических веществ.5. Логнормальное распределение.(ln −)21− 22 , > 0.Распределение: () = √22Обозначение: ℒ (, 2 ).222Характеристики: M = + /2 , D = 2+ ( − 1).Наглядный смысл и применение: распределение случайной величины = , ∼ (, 2 ).

Взятием логарифма сводится кнормальной величине. Произведение независимых логнормальных случайных величин также логнормально. В химии иногдаиспользуется для описания концентраций химических веществ,в биологии — для описания параметров живых существ (рост,вес и т.п.).Задача 11.7. * Функция распределения случайной величиныравна () = 1 − − − − при > 0, найти:а) плотность,б) математическое ожидание,81в) дисперсию,г) вероятность попадания случайной величины на отрезок [0.5, 1.5].Задача 11.8. Существует ли M , где — экспоненциальнаявеличина с параметром ?Задача 11.9. Найти математическое ожидание и дисперсиюравномерной на [, ] случайной величины.Задача 11.10. Непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке [−11, 20].

Найти вероятностьP ( < 0)Задача 11.11. Пусть случайная величина распределена экспоненциально с параметром . Найти P ( < ).Задача 11.12. Пусть () = cos при ∈ [− 2 , 2 ] и нольиначе. Является ли эта функция плотностью?√Задача 11.13. Пусть () = при ∈ [0, 1], ноль при отрицательных , 1 при > 1.

Является ли эта функция функциейраспределения?Задача 11.14. Пусть заданы независимые случайные величины 1 и 2 с функциями распределения 1 () = 2 и 2 () = 3при ∈ [0, 1]. Найти M(1 − 2 ) и D(1 − 2 ).Задача 11.15. Пусть случайная величина имеет плотность () = −2|| . Найти математическое ожидание и дисперсию.Задача 11.16. Дана плотность распределения : () = (1 − 2 )(2 < 1).Определить значение константы , вычислить M, D.Задача 11.17.

Пусть — экспоненциально распределеннаяслучайная величина с параметром . Найти M(I ( < 2) −I ( > 2)).Задача 11.18. Высота частиц эмульсии в жидкости имеетпоказательное распределение. Найти:а) долю частиц эмульсии ниже 120 мкм, если средняявысота 40 мкм;б) долю частиц выше 90 мкм, если половина находитсяниже 30 мкм.82Задача 11.19. Радиоактивный распад происходит по экспоненциальному закону. Определить связь между средним временем распада и периодом полураспада (это время, за которое распадается половина атомов).

Какая доля атомов распадется за 4 часа, если среднее время распада — 2 часа?Задача 11.20. В химической лаборатории есть прибор сосредним сроком службы 2500 дней. В предположении, что егораспределение показательное, найти вероятность того, чтоон прослужит не менее 5000 дней.Задача 11.21. Известно, что содержание вещества А составляет в среднем 2% со средним квадратическим отклонением 0,4%, а вещества Б оставляет в среднем 5% со среднимквадратическим отклонением 0,3%. Найти среднее и среднееквадратическое отклонение суммарного содержания веществA и Б.Задача 11.22. Скорости молекул в газе описываются распределением Максвелла:√︂2 2 −2 /(22 ), ≥ 0.

() = 3Найти его математическое ожидание и дисперсию.Ответы и решения11.3 () = 2 , 0 ≤ ≤ 1; M = 2/3, D = 1/18,P ( ∈ [0.5, 1.5]) = 0.75.11.4a) Так как плотность есть производная от функции распределения, имеем⎧⎪0, < 0⎪⎪⎨, 0 6 < 1 () = 1⎪, 16<2⎪⎪⎩20, > 2.б)∫︁∞M =∫︁1 () =−∞02 +∫︁21 =2183⃒1⃒23 ⃒⃒2 ⃒⃒1113=+= −0+1− =.3 ⃒04 ⃒13412в)∫︁∞D = M 2 − (M)2 =(︂2 () −1312)︂2=−∞∫︁1=∫︁23 +01 2 −2(︂1312)︂2=1⃒1⃒2 (︂ )︂2134 ⃒⃒ 3 ⃒⃒18 1 16917 16935+ ⃒ −=== −0+ − −=−=.⃒4 0 6 11246 6 14412 144144г) Через плотность:∫︁1.5∫︁1∫︁1.51 =P ( ∈ [0.5, 1.5]) = () = +20.50.512 ⃒1⃒ ⃒ ⃒⃒1.51 1 3 15=+⃒ = − + − = .2 ⃒0.52 12 8 4 28Через функцию распределения:P ( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) =3 15− = .4 8811.52∫︁∞∫︁12 · [0,1] () =M = M =−∞2 =0⃒13 ⃒⃒1= ,3 ⃒03(︂ )︂2∫︁∞11D = M − (M) = M −=4 · [0,1] () − =39224−∞∫︁1=084⃒115 ⃒⃒11 14 − =− = − =.95 ⃒0 95 945411.6a) () = (1 − − ) · [0,∞) ().б) Так как плотность есть производная функции распределения, имеем:{︃0,<0 () =−, > 0.в)∫︁∞∫︁∞ () =M =−∞−∫︁∞ = −00∫︁∞=−− (−) =−=−∞− ⃒0⃒∫︁∞+− =1.00г)2∫︁∞2D = M − (M) =2 − −(︂ )︂21=0∫︁∞=−2 − 1(−) − 2 = −∫︁∞2 − −⃒∞1= − 2 − ⃒0 +200∫︁∞+− 2 −12=20∫︁∞− −1211= 2 − 2 = 2.20д) P ( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) = −0.5 − −1.5 .11.7а) () = ′ () = − · [0,∞) ().б)∫︁∞2 − M =0∫︁∞ = −2− 0=−⃒∞2 − ⃒0 +∫︁∞0−2∫︁∞ = 2− = 2.0в)8522∫︁∞D = M − (M) =3 − 2 − 2 = −0⃒∞= − 3 − ⃒0 +∫︁∞∫︁∞3 − − 4 =0− 3 − 4 = 30∫︁∞2 − − 4 = 6 − 4 = 2.0д) P (( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) = 1.5 −0.5 − 2.5 −1.5 .11.8 M существует тогда и только тогда, когда существуетинтеграл∫︁∞∫︁∞− = (1−) .00При > 1 интеграл сходится, при 6 1 — расходится.11.9∫︁∞M =·[,] () =−−∞∫︁2∫︁2D = M −(M) =⃒1 2 ⃒⃒2 − 2+ ===.⃒−− 2 2( − )2⃒(︂)︂22+1 3 ⃒⃒ 2 + 2 + 2−−==−2 − 3 ⃒43 − 3 2 + 2 + 22 + + 2 2 + 2 + 2( − )2=−=−=.3( − )4341211.1011.111131{︃0,P (( < ) = () =1 − − ,11.12 Нет.

Так как∫︀∞<0 > 0. () ̸= 1.−∞11.13 Да. () — неубывающая, непрерывная функция с (−∞) = 0, (∞) = 1.11.14 −1/128611.1511.1611.1711.1811.1911.2011.2111.22M = 0, D = 2.1 − 2−2 . = 3/4, M = 0, D = 1/5.а) 0.95; б) 1/8 = ln 2. 0.8640.1357√︀M = 8/, D = (3 − 8) 2 /.8712. Случайные величины IIIПотренируемся преобразовывать непрерывные случайные величины. Наиболее простой способ преобразования – манипуляциис функцией распределения.Задача 12.1. Пусть ∼ Exp(), = . Найти (), ().I(︀)︀ () = P ( ≤ ) = P ≤ == P ( ≤ ()) = (ln ) = (1 − − ln )I (ln > 0) =1= (1 − )I ( > 1) . (44)Продифференцируем функцию распределения, чтобы получитьплотность () = ′ () =I ( > 1) .+1(45)JЗадача 12.2.

Найти функцию распределения и математическое ожидание 2 + , где — равномерно распределенная случайная величина на [0, 1].Задача 12.3. Реагента B тратится столько же, сколько реагента A, если A потрачено меньше литра и как квадрат объема A (в литрах), если больше. Известно что затраты реагента A равномерно распределены на отрезке [0, 2] л.

Найтифункцию распределения и среднее значение затрат реагентаB.Полезным аналитическим методом для преобразования непрерывных случайных величин является следующая формулаплотности = () (в случае, когда строго монотонна в области возможных значений ): () = (ℎ())|ℎ′ ()|,где ℎ() = −1 () — обратная функция (т.е. если = (), тоℎ() = ). При этом область возможных значений получается отображением соответствующей области под действиемфункции .88Задача 12.4.

Найти плотность логарифма показательнойслучайной величины с параметром .Задача 12.5. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром = 2. Найти плотность случайнойвеличины , если:а) = 2 − 1;б) = 3 − 1;в) = 1 + 3/;г) = − 1;д) = ln( + 1).Задача 12.6. — равномерно распределенная случайная величина на [0, 1], () = (1 − − )( > 0), найти распределение −1 ().Задача 12.7. Найти плотность квадрата равномерно распределенной случайной величины на отрезке [−1, 2].Задача 12.8. — случайная величина, найти распределение (), если () непрерывна и строго монотонна.Задача 12.9.

Пусть имеет функцию распределения ().Найти функцию распределения: а) 3 ; б) 4 .Задача 12.10. Пусть , = 1, . . . , имеют функции распределения () и независимы. Найти функцию распределенияmax .Задача 12.11. Пусть , = 1, . . . , имеют функции распределения () и независимы. Найти функцию распределенияmin .Задача 12.12. Пусть задана плотность (), найти плотность || ().Задача 12.13. Скорость реакции при увеличении температуры растет показательно. Известно, что при температуре в10∘ реакция проходит за 16 минут, а при температуре в 20∘ –за 8 минут. Пусть температура равномерно распределена 10∘от 20∘ . Найти:а) среднее время реакцииб) вероятность, что реакция пройдет не более чем за 10мин89Задача 12.14. Скорость реакции при 20∘ принята за единицу. При повышении температуры до 30∘ она вырастает вдвое.Пусть температура равномерно распределена 20∘ от 30∘ .

Найти:а) вероятность того, что скорость реакции составитменее 1.5 единиц;б) среднюю скорость реакции;в) среднее квадратическое отклонение скорости реакции.Ответы и решения√12.2 () = ( 1 + 4 − 1)/2, ∈ [0, 2]; M = 5/6.12.3 Принять расход реагента А за , а расход В — за .⎧≤0⎪⎪ 0,⎨,0<≤1√M = 17/12 () =,1<≤4⎪⎪⎩1,>412.6а) () =−2(+1),+1 > −1б)1/32−2(−1) () =,3( − 1)2/3>1в) () =6−6/(−1),( − 1)2>1г) () = 2/( + 1)3 , ≥ 0.д) () = 2−2( −1)+ , ≥ 0.12.5 () = − + .12.6 Exp()12.7⎧∈/ [0, 4]⎨ 0,√1/(3 ), 0 ≤ ≤ 1 () =√⎩1/(6 ), 1 < ≤ 49012.8 (0, 1).12.9 а) (1/3 ); б) (1/4 ) − (−1/4 ), > 0.12.10 1 () .

. . ().12.11 1 − (1 − 1 ()) . . . (1 − ()).12.12 || () = () + (−), ≥ 0.12.13 а) 11.54 мин; б) 0.3212.14 а) 0.415; б) 1.14; в) 0.299113. Нормальное распределение. ЦПТ.Напомним определение нормального распределения, ранее введенного в главе 11, с. 80.Опр.

Случайная величина имеет нормальное распределениес параметрами и 2 (обозначается (, 2 )), если () = √12 2−(−)22 2.При этом ее функция распределения выражается формулой(︂)︂− () = Φ,где Φ() — функция стандартного нормального распределения,ранее введенная в главе 9 (таблица значений - в Приложении4).Задача 13.1. Найти M, D для ∼ (, 2 ).I Приэтой задачи следует учесть, что интеграл Пуас∫︀ решении2сона − d не берется в явном виде. Однако мы можем опираться на свойства плотности (полный интеграл от плотностивсегда равна единице).

Произведем вычисления.∫︁+∞√M =1−(−)22 2d =2 2∫︁ +∞∫︁ +∞(−)2(−)211− 22√d + − 22 d ==( − ) √2 22 2−∞−∞∫︁ +∞21=− 22 d + · 1 = 0 + , (46)√2 2−∞−∞где в последнем равенстве использована нечетность функции21 √2− 22 , а в предпоследнем – тот факт, что2является плотностью.Вычислим теперь дисперсию.D = M( − M)2 = M( − )2 =92√ 1−2 2(−)22 2∫︁∞( − )2 √1−(−)22 2d =2 2∫︁− 2 1( − )2−1√= 2 −( ) 2 d=222 2−∞)︂2∫︁ +∞ (︂∫︁ +∞(︁)︁2 − √2 2 √− 2 /222 12√√ d = √ 2d √ ==2222−∞−∞)︂∫︁ +∞∫︁ +∞ (︂22212√ d− = 2 √ − d = 2= 2 −2−∞−∞(︂ (︂)︂)︂)︂∫︁ +∞ (︂⃒2 +∞2111 · −√= 2 − √− ⃒−∞ −− d =−∞∫︁ +∞∫︁ +∞2211√ − /2 d = 2 , (47)− d = 2= 2 √ −∞2−∞=−∞∞где в последнем равенстве вновь был использован тот факт, что2√1 − /2 — это плотность.J2Задача 13.2.

∼ (0, 1), найти распределение = + .Задача 13.3. ∼ (, 2 ), найти M( − )3 .Задача 13.4. ∼ (, 2 ), найти M 3 .Задача 13.5. ∼ (0, 2 ), найти плотность = 2 .Задача 13.6. = ( − )/, ∼ (, 2 ), найти распределение.Задача 13.7. Пусть распределена по закону (3, 9). Найтивероятность того, чтоа) 2 < < 6;б) < 4;в) > 2.Опр. Случайная величина ∼ (0, 1) называется стандартнойнормальной случайной величиной.Стандартноенормальноераспределениеимеетплот21−ность √2 2 . Внимательный читатель может заметить,что именно эта функция стоит под знаком интеграла винтегральной теореме Муавра-Лапласа. Это совпадение неслучайно.