М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 14

∼ Bin(, 1 ), ∼ Bin(, 2 ), найти распределение + .Задача 14.12. ∼ (0, 1), ∼ Exp() найти плотность распределения + .Задача 14.13. Пусть 1 распределена равномерно на [0; 1], 2распределена равномерно на [0; 1]. Найти плотность распределения 1 + 2 .Задача 14.14. Пусть 1 распределена равномерно на [3; 4], 2распределена равномерно на [0; 1]. Найти плотность распределения 1 + 2 .Задача 14.15. Пусть 1 распределена равномерно на [0; 2], 2распределена равномерно на [0; 1]. Найти плотность распределения 1 + 2 .Задача 14.16. Пусть заданы независимые случайные величины 1 и 2 с функциями распределения 1 () = 2 и 2 () = 3при ∈ [0, 1]. Найти плотность их суммы.Задача 14.17.

В химической лаборатории есть основной и запасной прибор со средним сроком службы 2000 дней и среднимквадратическим отклонением 500 дней. В случае отказа основного пользуются дополнительным. В предположении, чтоих распределение нормальное, найти вероятность того, чтоэтих приборов хватит на использование в течение 5000 дней.102Задача 14.18.

Радиоактивный распад происходит по экспоненциальному закону. Изотоп А превращается в изотоп В всреднем за 1 час, изотоп В в изотоп С — за 2 часа. Найтидолю изотопа А, которая превратится в С за 4 часа.Задача 14.19. Изотоп А превращается в изотоп В в среднем за 2 час, изотоп В в изотоп С — за 3 часа. Найти долюизотопа А, которая превратится в С за 6 часов.Задача 14.20. Работа состоит из двух частей, которые выполняются независимо и последовательно. Время выполненияпервой части работы распределено равномерно от 1 до 3 часов, второй - от 2 до 4 часов. Найти вероятность того, чторабота будет выполнена за 5 часов.Ответы и решения14.1 1 214.2 1/214.4+ () = 1 2−2 − −1 ,1 − 2≥014.5 ( + 1, )√14.6 (, ) = 1/3, (, ) = 2/314.7 1314.8. 014.9 (1 + 2 , 2)14.10 (1 + 2 , 12 + 22 )14.11 Bin(, 1 + 2 )14.12⎧<0⎨ 0,1 − − ,0<<1+ () =⎩( − 1)− , > 114.1314.14⎧⎨ 0,,+ () =⎩2 − ,∈/ [0, 2]0<<11<<2⎧∈/ [3, 5]⎨ 0, − 3, 3 < < 4+ () =⎩5 − , 4 < < 510314.15⎧0,∈/ [0, 3]⎪⎪⎨/2,0<<1+ () =1/2,1<<2⎪⎪⎩(3 − )/2, 2 < < 314.16⎧∈/ [0, 2]⎨ 0,4 /2,0<<1+ () =⎩(4(1 − (1 − )3 ) − 3(1 − (1 − )4 )/2, 1 < < 214.1714.1814.1914.201040.07930.7480.6941/215.

Приложение 1. Греческий алфавитДалее приведено правописание греческих букв, их названиеи примечание касательно их употребления в вероятностномкурсе. Стрелками показаны направления движения ручки приписьме.альфачаще используется для обозначения чиселбетачаще числагаммачаще числадельтачаще числаэпсилончаще числадзетачаще случайные величиныэтачаще случайные величинытетачаще числайотаредко используется – похожа на iкаппалямбдаредко используетсячаще числа105106мючаще числанючаще числаксичаще случайные величиныомикронпиредко используется из-за одноименной константырочаще числасигматауипсилонфичаще числахичаще числапсичаще числаомегаредко используется – похожа на oобычно среднее квадратическое отклонениеиспользуется редко, часто для обозначения случайных моментовредко используется – плохо отличима от нюобычно обозначает элементарный исход16.

Приложение 2. Краткий теоретический обзор.Для получения начальных знаний о вероятностной парадигме,см. главу 3 (Классическое определение вероятности).Когда множества становятся более 5 элементов, восприятие ихсистем подмножеств становится неудобно для человека. Когдабольше 100 – неудобно для компьютера. Для счетных множеств обработка компьютером невозможна.

Для континуальных – множество подмножеств плохо описывается элементарной математикой, возникают парадоксы, разрешаемые толькопри определенных ухищрениях современной теории множеств.Таким образом, в случае более или менее общего множестваэлементарных исходов требуется формально определять систему подмножеств. Нужны типы таких систем. Первый тип такихсистем подмножеств, это алгебра.Опр. Алгеброй A называется система подмножеств, обладающая следующими свойствами:1.

Ω ∈ A,2. ∈ A ⇒ = Ω ∖ ∈ A,3. , ∈ A ⇒ = ∩ ∈ A.Если мы хотим работать с бесконечными наборами событий(например, монетка подбрасывается до появления первого орла), то кроме обычных операций нужно “прописать” еще бесконечные объединения и пересечения. Система, удовлетворяющаяэтому условию, называется -алгебра.Опр. -алгеброй F называется система подмножеств, обладающая следующими свойствами:1.

F – алгебра, (т.е. Ω ∈ F, ∈ F ⇒ =∈ F, , ∈ F ⇒ ∩ ∈ F.)⋃︀∞2. 1 , 2 , . . . ∈ F ⇒ = =1 ∈ F.Замечание 1. Система может быть алгеброй, но не быть алгеброй. Пример – набор всех ограниченных подмножеств.Замечание 2. Слово “вероятность” в отношении произвольныхсистем множеств до сих пор произнесено не было. Дело в том,что главная штука в теории вероятностей — это не собственно вероятность, а событие (т.е. подмножество Ω), вероятность107которого нужно рассчитать.Замечание 3. Множество всех подмножеств является алгеброй. Не смотря на то, что это было бы логично, в сложныхситуациях его стараются не использовать, т.к.

возникают сложности в теории меры.Опр. Вероятностным распределением называется такая функция от подмножеств, что для любых подмножеств , выполняется P ( ∪ ) = P () + P () − P ( ∩ ); 0 ≤ P () ≤ 1.Замечание. Если вдуматься, то вообще-то не очевидно (а) чтонабор таких чисел для каждого вообще существует (б) еслисуществовало распределение на системе A = {1 , 2 , . . .}, тообязано существовать распределение на B ⊆ A, совпадающеена A с исходным (Пример: A – все подмножества целых чисел,B – все подмножества действительных чисел)Теорема Каратеодори.

Если распределение задано на системе множеств A (обладающим некоторыми техническими свойствами), тогда это распределение может быть однозначно продолжено на минимальную -алгебру, объемлющую систему A.Данная теорема дает множество важных следствий, в частности, следующее.Следствие 1. Если есть распределение на системе множеств {(−∞, ), ∈ R}, то оно однозначно определяет распределение на системе множеств B(R), где B(R) = ((−∞, ), ∈ R).Система B(R) называется борелевской -алгеброй, а входящиев нее множества борелевскими.Опр.

Борелевской функцией называется функция, у которойпрообраз любого борелевского множества тоже борелевскоемножество.К борелевским функциям относятся, в частности, кусочнонепрерывные функции, и этого достаточно для практическогоприменения.∫︀ Следствие 2. Если P ([, ]) = ()d задает меру на системе всех отрезков [, ],∫︀ то она может быть продолжена насистему B(R) и P () = ()d.Приведем еще пару высоконаучных утверждений:Утверждение 1. Имеет место единственность -алгебры, порожденной данной системой.Утверждение 2.

Имеют место несколько эквивалентных опре108делений борелевской -алгебры: B(R) = (, − открытое) =(, − замкнутое) = ((−∞, ), ∈ R) = ([, ], , ∈ R)Случайные величины.Мотивация: хотим работать со случайными величинами (например, с концентрацией вещества, которая известна только с некоторой случайной погрешностью) как с обычными величинами –складывать, умножать, решать уравнения, и при этом следитьза тем, как преобразуются случайная компонента этой величины.Механизм работы случайной величины “на пальцах” удобноописывается на примере с гномом из главы 10 (Случайные величины I).В более сложной ситуации требуется более строгое определениеслучайной величины.Опр. Случайная величина – это отображение из Ω в R, такое, что полный прообраз любого множества (−∞, ) лежит в-алгебре F вероятностного пространства (Ω, F, ) (т.е.

множество { : () ∈ (−∞, ) ⊆ F}).Опр. Функцией распределения случайной называется () = P ( < ).Замечание1.Функцияраспределенияопределенана (−∞, +∞) и принимает значения в [0, 1].Замечание2.ПотеоремеКаратеодори ()(=P ( ∈ (−∞, ))) задает распределение на всей борелевской-алгебре B(R).Два важных частных случая распределений случайных величин.1) Дискретные величины – существует не более чем счетноемножество ∑︀возможных значений (пример = N), тогдаP ( ∈ ) = ∈ P ( = ).2) Абсолютно непрерывные∫︀ величины – существует такая функция (), что () = −∞ ()d.Для этих величин может быть легко рассчитано математическое ожидание:∑︀(1) M = =1 P ( = ), если – дискретно;∫︀ +∞(2) M = −∞ ()d, если абсолютно непрерывна и имеетплотность ().109Замечание 1.

Данные формулы полностью аналогичны, следует помнить, что определенный интеграл – это просто континуальная сумма и был в свое время изобретен именно дляудобства расчета таких бесконечных сумм, а вовсе не для издевательства над студентами.Замечание 2. В формуле (1) может равняться бесконечности (пример – математическое ожидание пуассоновского распределения), в этом случае суммируется числовой ряд (он должен сходиться абсолютно).Замечание 3. Общее определение математического ожиданиядля произвольной случайной величины достаточно сложно ибазируется на понятии интеграла Лебега, однако рассмотрениедвух указанных частных случаев дает все необходимое многообразие прикладных моделей.Опр.Для дискретного вероятностного пространства M =∑︀()P({}).∈ΩУтверждение. Для дискретных вероятностных пространствданное определение эквивалентно формуле (1)I Покажем равенство величин в правых частях данных формул:∑︁ P ( = ) ==1∑︁ P ({ : () = }) ==1=∑︁=1∑︁P () =∑︁∑︁ P () ==1 :()=:()==∑︁∑︁=1 :()=()P () =∑︁()P () , (53)Ωгде в последнем равенстве был использован тот факт, что события = { : () = )} образуют разбиение Ω на непересекающиеся подмножества.JЗамечание.