М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 11

главу 8.6. Гипергеометрическое. −−, max{0, − + } ≤ ≤Распределение: P ( = ) = min{, }.Обозначение: HGeom(, , ).Характеристики: M = , D = ( − )(1 − )/( − 1), где = / .Наглядный смысл, пример: имеется деталей, среди них бракованных, выбирается деталей, тогда — число бракованных деталей в выборке. При → ∞ сходится к Bin(, ).Задача 10.5. Найти математическое ожидание и дисперсиюбиномиальной случайное величины с параметрами , .Задача 10.6. Подбрасываются 10 кубиков, сумму очков возводят в квадрат, найти математическое ожидание.Задача 10.7. Найти математическое ожидание и дисперсиюпуассоновской случайной величины.Задача 10.8.

Найти математическое ожидание и дисперсиюгеометрической случайной величины.Задача 10.9. Монетки подбрасываются случайно и раскладываются по кругу. Найти математическое ожидание количества монеток, среди соседей которых есть выпавшие орлом.(а) всего монеток 3 (б) всего монеток .Задача 10.10. Найти математическое ожидание гипергеометрической случайной величины.(︁ )︁Задача 10.11. Найти M 1 , где — геометрическая случайная величина с параметром .72Указание: математическое ожидание существует не для всех ,укажите те из них, для которых есть сходимость ряда.В случае произвольной (не обязательно дискретной) случайной величины для описания её распределения может оказатьсянедостаточно таблицы, тогда используется следующий объект:Опр Функцией распределения случайной величины называется () = P ( < ), ∈ R.Функция распределения задает распределение случайной величины.

Грубо говоря, можно сказать так: () задает вероятность попадания в луч (−∞, ), разность () − () задает вероятность попадания в промежуток [, ), из таких промежутков можно набрать любые множества, в том числе интервалы (, ), если рассмотреть бесконечное объединения данныхмножеств.Свойства функции распределения:1. 0 ≤ () ≤ 1, ∈ R2. (−∞) = 03. (+∞) = 14. () неубывает.5. () непрерывна слева и имеет предел справа.Задача 10.12.

Построить функцию распределения числа орлов при одном бросании симметричной монетки.I⎧≤0⎨ 0,1/2, 0 < ≤ 1 () =⎩1,>1JЗадача 10.13. Построить функцию распределения биномиальной случайной величины с параметрами 3 и 0.3.73Задача 10.14. Случайная величина имеет распределение123570.25 0.25 0.25 0.125 0.125Найти распределение случайных величин + 3, 2 .Задача 10.15.

Распределение случайной величины заданотаблицей-20.25-10.2500.2510.12520.125Найти распределение случайной величины = 2 , построитьфункцию распределения , найти M и D.Задача 10.16. Известно, что M = , D = 2 , найти математическое ожидание и дисперсию для + .Ответы и решения10.3 Рассмотрим сначала 1 , 1 такие, что M1 = 0,M1 = 0.D(1 + 1 ) = M(1 + 1 )2 = M(12 + 21 1 + 12 ) == M12 + 2M(1 1 ) + M12 = D1 + 2M(1 1 ) + D1(33)Теперь рассмотрим 1 = − M, 1 = − M. По свойству 2D1 = D( − M) = D, D1 = D, D(1 + 1 ) = D( + ). Тогдапо формуле (33)D( + ) = D(1 + 1 ) = D1 + 2M(1 1 ) + D1 == D + 2M( − M)( − M) + D. (34)Свойство 3 доказано.В случае, если , независимы, то по свойствам математического ожиданияM( − M)( − M) = M( − (M) − M + MM) == MM − MM − MM − MM + MM = 0 (35)Свойство 4 доказано.7410.5 Заметим, что = 1 +.

. .+ , где – независимые случайные величины, P ( = 1) = , P ( = 0) = 1 − = . ПосчитаемM , D .M = 1 · + 0 · = , D = M2 − (M )2 = 1 · + 0 · − 2 =(1 − ) = .Пользуясь свойствами аддитивности математического ожидания и дисперсии (последнее работает∑︀только в случае независимости), легко получить: M ==1 M = , D =∑︀D=.=110.6 8435/1210.9 а) 9/4; б) 3/4.10.11 /(2 − 1), > 1/2.10.13⎧0,≤0⎪⎪⎪⎪⎨ 0.343, 0 < ≤ 10.784, 1 < ≤ 2 () =⎪⎪0.973, 2 < ≤ 3⎪⎪⎩1,>310.14 + 3:40.2550.2560.2580.125100.12510.2540.2590.25250.125490.125 2:Обратите внимание, что при строго монотонном преобразовании дискретной случайной величины меняются только ее значения, а вероятности остаются неизменными.10.150140.25 0.375 0.37510.16 M = + , D = 2 2 .7511.

Случайные величины IIОпр Распределением случайной величины называется наборчисел P ( ∈ ) для всех “хороших” множеств1) ⊆ R.Такой набор чисел для всевозможных множеств, это ужасно неудобный объект, к тому же в нем есть избыточнаяинформация: если вы знаете P ( ∈ [0, 17]) и P ( ∈ [17, 19]),то у вас есть некие подозрения касательно того, чему равна P ( ∈ [0, 19])(=P ( ∈ [0, 17]) + P ( ∈ [17, 19])), поэтому чтобы задать распределение достаточно задать следующий объект(определение было в предыдущем параграфе, напомним его).Опр Функцией распределения случайной величины называется () = P ( < ), ∈ R.Функция распределения может быть задана для любых случайных величин, однако следующий важный класс случайных величин интересен с точки зрения аналитической работы с нимиметодами математического анализа.Опр Случайная величина называется абсолютно непрерывной если существуеттакая функция () (плотность), что∫︀P ( ∈ ) = ()d.

В частности, выполняется () =∫︀ P ( ∈ (−∞, ]) = −∞ ()d. Соответственно, и распределениеназывается абсолютно непрерывным.Замечание 1. Для того, чтобы случайная величина былаабсолютно непрерывной, необходимо и достаточно выполнениеусловия∫︁ () = ()d,∀ ∈ R−∞для некоторой функции .Замечание 2. Плотность – это производная функции распределения2) . Таким образом, можно сказать, для того чтобыфункция распределения была абсолютно непрерывной, достаточно непрерывности и кусочной дифференцируемости функции ().1) Cтрого говоря, ∈ B() – это -алгебра борелевских множеств напрямой. Что это такое и как этим пользоваться, можно подробно прочитатьв Приложении 2.2) в тех точках, где эта производная существует (в других точках онаможет быть определена любым удобным нам образом)76Для абсолютно непрерывных распределений имеют место следующие свойства:1.

() ≥ 0.2.∫︁ +∞ ()d = 1.−∞3.∫︁P ( ∈ [, )) = P ( ≤ < ) = () − () = ()d.4. Для любого верно P ( = ) = 0, поэтомуP ( ≤ < ) = P ( ≤ ≤ ) = P ( < ≤ ) = P ( < < ) .Назовем равномерной случайной величиной на множестве величину такую, что для любого ⊆ P ( ∈ ) =||,||кроме того P ( ∈ R ∖ ) = 0.

Такие случайные величины обозначаются ∼ (), от слова Random.Задача 11.1. Найти плотность равномерного распределенияна отрезке [0, 1]. Построить график плотности и функциираспределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [0.5, 1.5].IПусть ∼ ([0, 1]), следовательно, как и в модели геометрической вероятности, вероятность попадания в любое ⊆ [0, 1]||пропорциональна суммарной длине : P ( ∈ ) = |[0,1]|. Вчастности для любого ∈ (0, 1) выполняется|[0, )|= =|[0, 1]|1т.е.

функция распределения имеет вид⎧⎪⎨0, ≤ 0 () = , 0 < ≤ 1⎪⎩1 >1P ( < ) = P ( ∈ [0, )) =(36)(37)77Продифференцируем (), чтобы получить плотность () =′ (), легко видеть, что () = 1 · I ( ∈ [0, 1]). Заметим, что вточках = 0 и = 1 производная не существует, и мы положили там () = 1 для удобства.Найдем теперь вероятность попадания в [0.5, 1.5].P ( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) = 1 − 0.5 = 0.5.JВместо обозначения ([, ]) обычно используют (, ) длякраткости.Для расчета математического ожидания случайной величиныимеют место следующие формулы, аналогичные дискретномуслучаю:∫︁M = ()d,(38)() ()d,(39)R∫︁M() =R78где () – произвольная борелевская функция1) (в частности –любая кусочно-непрерывная).Задача 11.2. Случайная величина ∼ (0, 1). Найти M, D.I Применим формулу (38)∫︁ · 1 · I ( ∈ [0, 1]) d =M =R∫︁=1d =012 ⃒⃒1= .

(40)022Применим формулу (31)D = M 2 − (M)2 =∫︁012 d −(︂ )︂21=2=13 ⃒⃒1 1− =. (41)3 0 412JЗадачаа)б)в)г)11.3. Найтифункцию распределения,математическое ожидание,дисперсию,вероятность попадания случайной величины на отрезок [0.5, 1.5],если известна плотность:⎧⎪<0⎨0, () = 2, 0 ≤ ≤ 1⎪⎩0,>1Задачаа)б)в)1) См.(42)11.4. Найтиплотность,математическое ожидание,дисперсию,Приложение 2.79г) вероятность попадания на отрезок [0.5, 1.5]случайной величины с функцией распределения⎧⎪⎪0,2 < 0⎪⎨ , 0 6 < 1 () = 2⎪2, 1 6 < 2⎪⎪⎩1,>2(43)Задача 11.5.

Случайная величина — равномерная на [0, 1], = 2 , найти M и D.Задача 11.6. Для экспоненциальной случайной величины известно, что P ( > ) = − , > 0, и 1 при ≤ 0. Найтиа) функцию распределения,б) плотность,в) математическое ожидание,г) дисперсиюд) вероятность попадания случайной величины на отрезок [0.5, 1.5].Прежде чем переходить к тренировочным задачам, перечислимосновные непрерывные распределения.1. Равномерное.1Распределение: () = −I ( ≤ ≤ ).Обозначение: (, ).Характеристики: M = ( + )/2, D = ( − )2 /12.Наглядный смысл и применение: попадание в каждую точкуотрезка равновероятно (строго говоря, вероятность попаданияв любое подмножество отрезка пропорциональна его длине).2. Экспоненциальное (показательное).Распределение: () = − I ( > 0), > 0.Обозначение: Exp().Характеристики: M = 1/, D = 1/2 .Наглядный смысл и применение: часто описывает величины типа времени до наступления некоторого события, например, время до радиоактивного распада атома, время безотказной работы прибора и т.п.