М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 15

Для пространств с несчетным числом элементарных исходов показать аналогичные утверждения техническисложнее, так как вместо сумм требуется использовать интеграл,110причем возможностей интеграла Римана не хватает для описания всех возможных ситуаций и требуется интеграл Лебега.Данные конструкции выходят за границы нашего курса, читатель может посмотреть, как это работает, например, в классическом учебнике “Вероятность” А.Н. Ширяева.Аналогично в дискретном случае легко вывести формулу∑︁M() =( )P ( = )Для абсолютно непрерывных величин имеет место аналогичнаяформула∫︁+∞M() =() ()d.−∞Свойства математического ожидания приведены в главе 10, с.69 .Опр. Дисперсией случайной величины называется величина D = M( − M)2 .Дисперсия характеризует отклонение случайной величины отсвоего среднего значения (математического ожидания).Свойства дисперсии приведены в главе 10, с.

70.Примеры вычисления математического ожидания и дисперсиидискретных распределений можно найти в главе 10, непрерывных — в главе 11.Основные дискретные распределения с их характеристикамиприведены в главе 10, с. 70, непрерывные — в главе 11, с. 80.Независимые случайные величины.Опр. Случайные величины и называются независимыми,если независимы события { ∈ }, { ∈ } для любых , ∈B(R).Опр. Случайные величины 1 , .

. . , называются независимыми в совокупности, если выполняется P (1 ∈ 1 , . . . , ∈ ) =P (1 ∈ 1 ) · · · P ( ∈ ), для любых 1 , . . . , ∈ B(R).Утверждение 1. (Эквивалентные определения независимостислучайных величин)1) 1 , . . . , независимы в совокупности;2) 1 ,..., (1 , . . . , ) = 1 (1 ) · · · ( );1113) 1 ,..., (1 , . . . , ) = 1 (1 ) · · · ( ), если 1 , .

. . , абсолютно непрерывны;4) (1 ), . . . , ( ) независимы как системы множеств.Утверждение 2. (Сохранение независимости при борелевскихпреобразованиях) Если , независимы, , – борелевскиефункции, то (), () тоже независимы.Сходимость случайных величин.Продолжая аналогию между случайными величинами и обычными числами, хотелось бы иметь возможность не только складывать и умножать эти величины, но и переходить к пределу.Небольшое осложнение заключается в том, что есть нескольковозможных видов сходимости для случайных величин.

Приведем два наиболее существенных для данного курса вида сходимости.Опр. Последовательность случайных величин называетсясходящейся по вероятности к случайной величине ( →), еслидля любого > 0 выполняется P (| − | > ) → 0, при → ∞.Опр. Последовательность случайных величин называетсясходящейся по распределению к случайной величине ( →),если для любого такого, что P ( = ) = 0 выполняется () → ().Замечание.

Определение сходимости по распределениюнемного сложно технически, однако оно имет вполне простойэмпирический смысл: распределение случайной величины становится все больше и больше похожим на распределение случайной величины . В примерах 3 и 4 будет пояснено, чем этоотличается от сходимости по вероятности и зачем нужно такоесложное определение.В примерах 1, 2, 3 вероятностным пространством является Ω =[0, 1] с вероятностной мерой P () = ||.Пример 1.

(последовательность, сходящаяся по вероятности) ()=(−1/)I ( ∈ [0, 1/3]) + 0 · I ( ∈ (1/3, 2/3)) +(1/)I ( ∈ [2/3, 1])() = 0 −1/ 0 1/13112131301(︀)︀ →, действительно, P (| − | > ) = 32 I ≤ 1 → 0, при →∞.Пример 2. (последовательность, сходящаяся по вероятности) () = (−1)I ( ∈ [0, 1/2]) + 0 · I ( ∈ (1/2, 1 − 1/2)) +(1/)I ( ∈ [1 − 1/2, 1]);() = 0.

-1011111−22 01 →, действительно, для ≥ 1 все очевидно, пусть < 1, тогда11P (| − | > ) = P ( = −1) + P ( = 1) = 2+ 2= 1 → 0,при → ∞.Пример 3. (последовательность, сходящаяся по распределению, но не сходящаяся по вероятности) () = (−1) I ( ∈ [0, 1/2]) + (−1)+1 I ( ∈ (1/2, 1]);() = −1 · I ( ∈ [0, 1/2]) + 1 · I ( ∈ (1/2, 1]). -1 11212-111212 не сходится к по вероятности, действительно, для = 1 ичетных получаемP (| − | > ) = P ( ̸= ) = 1; →, действительно, их распределения совпадают.Замечание.

Из примера видно, что основную роль в сходимости по распределению играют именно распределения, а несобственно случайные величины. В частности, очевидная зависимость между случайными величинами 1 , . . . , оказаласьнесущественной для сходимости по распределению.Пример 4. (последовательность, сходящаяся по распределению) 17 + 1/1113171 () = 1 · I ( > 17 + 1/), () = 1 · I ( > 17) →, действительно, для любого : P ( = ) = 0, т.е. для ̸=17, () = 1 · I ( ≥ 17 + 1/) → () = 1 · I ( ≥ 17).Заметим, что для = 17 верно () = 0 для любого , тогдакак () = 1, тем не менее сходимость по распределению этойпоследовательности имеет место.Следующие утверждения описывают свойства сходимостей более подробно.Утверждение 1.

→ ⇒ →.I () − () = P ( < ) − P ( < ) == P (| − | > , < ) + P (| − | ≤ , < ) − P ( < ) ≤≤ P (| − | > ) + P ( < + ) − P ( < ) == P (| − | > ) + P ( ∈ [, + )) . (54)Для такого, что P ( = ) = 0 и произвольного > 0 всегдаможно найти > 0 столь маленькое, что P ( ∈ [, + )) ≤ 2 ,после чего из сходимости по вероятности для этого получаем P (| − | > ) < 2 для достаточно больших . Другимисловами, показано, что для любого существует такое 0 , чтодля любого < 0 () − () < . Строго говоря, чтобыутверждать, что () → (), нужно написать еще одноаналогичное неравенство, но оно абсолютно аналогично и неинтересно.

Читатель может тем не менее его выполнить в видеупражнения.JУтверждение 2. →, → ⇒1) + → + ;2) · → · ;3) в частности, →, + → + .Доказательство также является отличным упражнением наумение пользоваться формализмом вероятностных событий.114Следует заметить, что{| − | + | − | > } ⇒ {| − | > /2} ∪ {| − | > /2}Доказательства следующих утверждений немного сложны врамках этого курса, поэтому мы их не приводим, но тем неменее желающие могут попытаться освоить их, используя открытые источники и учебник.Утверждение 3. → ⇔ →, где ∈ R, , – случайныевеличины.Утверждение 4. →, → ⇒1) + → + 2) · → · Следующие три утверждения являются полезными и дают возможность удобной проверки сходимости по вероятности.Теорема 1.

(Неравенство Маркова)Пусть случайная величина ≥ 0. Тогда P ( > ) ≤ M .IM = MI ( > ) + MI ( ≤ ) ≥MI ( > ) ≥ MI ( > ) == MI ( > ) = P ( > ) . (55)Другими словамиM≥ P ( > ) ,что и требовалось доказать.JТеорема 2. (Неравенство Чебышёва)Дляпроизвольнойслучайнойвеличинывыполняет.ся P (| − M| > ) ≤ D2I Рассмотрим случайную величину = ( − M)2 и применимдля неё неравенство Маркова.(︀)︀P (| − M| > ) = P ( − M)2 > 2 =115(︀)︀ MM( − M)2D= P > 2 ≤ 2 == 2 .△2(56)JТеорема 3. Для того чтобы последовательность случайных величин сходилась по вероятности к нулю, достаточно, чтобывыполнялись условия: M = 0, D → 0, при → ∞.IP (| | > ) = P (| − M | > ) ≤D→ 0,2 → ∞.JПредельные теоремы.Следующие два утверждения являются полезными с прикладной точки зрения.Теорема 1.

(Закон больших чисел)Пусть случайные величины 1 , . . . , независимы, одинаковораспределены и имеют конечное математическое ожидание. Тогда имеет место сходимость случайных величин:1 + . . . + →M1 .Замечание 1. Закон больших чисел утверждает достаточнонетривиальное утверждение – если взять сумму случайных объектов и поделить её на количество этих объектов, то результатбудет близок к неслучайному при достаточно больших . Конечно для этого требуются дополнительные условия такие, какнезависимость, одинаковая распределенность и наличие конечного момента (среднего). Более нетривиальными с точки зрения природы случайного является следующее утверждение, вкотором внимательный читатель легко обнаружить просто следующий уровень точности после ЗБЧ.Теорема 2.

(Центральная Предельная Теорема)Пусть случайные величины 1 , . . . , независимы, одинаковораспределены и имеют конечную дисперсию. Пусть также =1161 + . . . + . Тогда имеет место сходимость − M √→,где ∼ (0, D1 )Замечание 2. ЦПТ является одним из важнейших фактов теории вероятностей. Дело в том, что в теореме 2 утверждается,что, рассмотрев сумму величин неизвестной природы, мы припомощи необходимых нормировок можем получить случайнуювеличину известной природы ( (0, D1 )).

Это дает нам широкие возможности по аналитической работе с суммами случайных величин, а также подсказывает нам, что нормальное распределение, вероятно, встречается в природе достаточно часто– везде, где можно предполагать работу суммы независимыходнородных агентов (факторов).Замечание 3. ЗБЧ и ЦПТ имеют множество различных формулировок, это связано с балансом между мощностью условийи сложностью доказательств.

Кроме того, нужно отметить, чтоусловия независимости и одинаковой распределенности не являются абсолютно необходимыми и могут быть ослаблены, т.е.ЦПТ и ЗБЧ продолжают работать и в “шумных”, далеких отматематической прозрачности условиях.По большому счету, предельные теоремы Муавра-Лапласа являются следствием из ЦПТ для бернуллиевских .