М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков, страница 16
Описание файла
PDF-файл из архива "М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 16 страницы из PDF
Кроме того, существуют другие виды предельных теорем, в частности,теорема Пуассона для серий биномиальных величин.Многомерные распределения.С точки зрения анализа закономерностей вида связи междудвумя наблюдаемыми параметрами, важным понятием являются зависимые случайные величины.
Для исследования такихвеличин используется понятие случайного вектора.⃗Опр. Случайным вектором называется отображение ()=(1 (), . . . , ()) из Ω в R , обладающее техническим свойством измеримости: ⃗−1 () ∈ F, ∀ ∈ B(R ), B(R ) =((−∞, )), ∈ R ,(−∞, ) = (−∞, 1 ) × · · · × (−∞, ).Приведем примеры случайных векторов с зависимыми и независимыми компонентами.Пример 1. (Случайный вектор с зависимыми компонентами)1172 101т.е.0116262616P ((1 , 2 ) = (0, 0)) =1,6P ((1 , 2 ) = (0, 1)) =2621, P ((1 , 2 ) = (1, 1)) =66Легко вычислить распределение отдельных компонент векто⃗ра .1 0 1P ((1 , 2 ) = (1, 0)) =21212011212Свойство независимости, очевидно, не выполняется.11̸= = P (1 = 0) P (2 = 0) ,64то есть компоненты вектора (1 , 2 ) являются зависимыми.Пример 2.
(Случайный вектор с независимыми компонентами)2 1 0 124099121991 0 1P (1 = 0, 2 = 0) =21323012313Легко видеть, что ∀1 , 2 выполняетсяP (1 = 1 , 2 = 2 ) = P (1 = 1 ) P (2 = 2 ) ,т.е. компоненты вектора являются независимыми.Случай абсолютно непрерывных случайных векторов более подробно рассмотрен в Приложении 3.11817.
Приложение 3. Основы кратных интегралов и доказательство формулы свертки.Для описания многомерных случайных величин требуется механизм многомерных (кратных) интегралов. Рассмотрим кратко основные моменты.Известно, что обычный определенный интеграл может зависетьот параметра, т.е. возможно задание функции∫︁ () =(, )d(57)Пример 1.1∫︁( − )2 d = () =0(1 − )33( − )3 ⃒⃒1=−0333(58)Заметим, что в формуле (57) и(или) могут быть равны бесконечности.Пример 2.∫︁∞ () =1∫︁1 ∞ −d = 1⃒∞1−1. (59)= (−− )⃒1 = (−0 + − ) =− d =Возможность подстановки в границы интегрирования бесконечных значений будет в дальнейшем предполагаться всюду.
С теоретической точки зрения здесь могут быть некоторые осложнения, но для всех величин, связанных с теорией вероятностей,переход от конечного интеграла к бесконечному аналогичен переходу от конечной суммы к бесконечному ряду.Определим теперь повторный интеграл. Повторным интегралом назовем величину:∫︁∫︁∫︁(, )dd =∫︁ ()d, где () =(, )d. (60)Пример 3.1193∫︁1∫︁∫︁2312( + ) dd =023∫︁=22⃒14( + )3 ⃒=0 d =⃒34(+1)3 −4 3 d = ((+1)4 − 4 )⃒2 = (3+1)4 −34 −(2+1)4 +24 == 44 + 24 = 256 + 16 = 272. (61)Из теории интегрирования, которая будет рассмотрена в следующем семестре, следует утверждение:∫︁∫︁∫︁∫︁(, )dd.(, )dd =(62)Примем его без доказательства и проиллюстрируем на примере, переставив последовательность интегрирования в интеграле(61):3∫︁21∫︁12( + )2 dd =0∫︁1∫︁01∫︁=⃒34( + )3 ⃒0=2∫︁d =312( + )2 dd =214( + 3)3 − 4( + 2)3 d =0⃒1⃒1= ( + 3)4 ⃒0 − ( + 2)4 ⃒0 == (1 + 3)4 − (0 + 3)4 − (1 + 2)4 + (0 + 2)4 = 44 + 24 = 272.(63)Нечувствительность значения данного интеграла к перестановке порядка интегрирования приводит нас к понятию двумерного интеграла по прямоугольнику [, ] × [, ].∫︁ ∫︁∫︁∫︁(, )dd =[,]×[,](, )dd.(64)Наглядный смысл такого интеграла – объем под поверхностью = (, ) над множеством [, ]×[, ], при (, ) ≥ 0.
В случае,когда (, ) < 0, объем над поверхностью = (, ) берется собратным знаком.120Двумерный интеграл называется двойным или кратным интегралом.Заметим, что множество, над которым рассматривается объем,может быть произвольным, например, пусть = {(, ), ∈[0, 1], ∈ [0, 2], ≤ 2} – треугольник.Чтобы посчитать двойной интеграл∫︀ 2 по данному треугольнику,нужно сначала посчитать () = 0 (, )d для каждого , апотом проинтегрировать по отрезку [0, 1].Двойной интеграл – это как раз тот объект, который нужен намдля описания распределений двумерных абсолютно непрерывных случайных векторов.Напомним, плотностью двумерного случайного вектора (, )называетсяфункция (, ) такая, что P ((, ) ∈ ) =∫︀ ∫︀(,)dd,для любого ⊂ R2 (строго говоря, для любого борелевского множества ), или, что то же самое, (, ) = P ( < , < ) = P ((, ) ∈ (−∞, ) × (−∞, )) =∫︁ ∫︁ = (, )dd.
(65)−∞−∞Докажем теперь, пользуясь имеющимися у нас знаниями ократных интегралах и многомерных плотностях, формулусвертки случайных величин:Утверждение. Пусть и – независимые случайные величины∫︀ ∞ с плотностями , соответственно. Тогда + () = () ( − )d.−∞ I По свойству независимости случайных величин, совместнаяплотность равна произведению одномерных плотностей:121, (, ) = () ()(66)Запишем функцию распределения + :1 P ( + < ) 2 P ((, ) ∈ = {(, ) : + < }) 3+ ()===∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁345, (, )dd = () (dd)==5=6=∫︁{(,):+<}+∞ ∫︁ −∫︁+∞+<∫︁ − () ()dd =∫︁−∞+∞−∞−∫︁ ()−∞−∞7 ()dd=∫︁−∞−∞∞∫︁6 () ()dd= ( − )dd. ()−∞−∞(67)Продифференцируем функцию распределения по z:′ 98 (+ ()=+ ()) =10=∫︁+∞(︂∫︁ ()−∞−∞∫︁+∞(︂∫︁ ()−∞−∞)︂′∫︁ ( − )d d11=)︂′ ( − )d d10=+∞ () ( − )d.−∞(68)Формула свертки доказана.Пояснения к переходам:1: Определение функции распределения случайной величины.2: Представление события + < через попадание вектора(, ) в соответствующее множество ⊂ R2 .3: Свойство двумерной плотности вектора (, ).4: Свойство совместной плотности независимых случайных величин ((,) (, ) = () ()).
Множество, по которому производится, интегрирование записано в более краткой форме.5: Переход от двойного интеграла по бесконечному “треугольнику” ( + < ) к повторному интегралу.∫︀ −6: В интеграле −∞ () ()d, () не зависит от и можетбыть вынесено за знак интеграла.122Сделана замена переменных = + в интеграле∫︀7:− ()d.−∞ 8: Определение плотности случайной величины + .9: Дифференцирование интеграла по параметру .10: Множитель () не зависит от параметра .)︀′(︀∫︀ J11: Производная от интеграла ()d = ().Заметим, что многомерные плотности позволяют исследоватьмножество задач, связанных с многомерными распределениями, однако в нашем курсе внимание на них не акцентируется.12318.
Приложение 4. ТаблицыФункция стандартного нормального распределения Φ().Φ()-3.3-3.2-3.1-3-2.9-2.8-2.7-2.6-2.5-2.4-2.3-2.2-2.1-2-1.9-1.8-1.7-1.6-1.5-1.4-1.3-1.2-1.1-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1012400.00050.00070.0010.00130.00190.00260.00350.00470.00620.00820.01070.01390.01790.02280.02870.03590.04460.05480.06680.08080.09680.11510.13570.15870.18410.21190.2420.27430.30850.34460.38210.42070.46020.5-0.010.00050.00070.00090.00130.00180.00250.00340.00450.0060.0080.01040.01360.01740.02220.02810.03510.04360.05370.06550.07930.09510.11310.13350.15620.18140.2090.23890.27090.3050.34090.37830.41680.45620.496-0.020.00050.00060.00090.00130.00180.00240.00330.00440.00590.00780.01020.01320.0170.02170.02740.03440.04270.05260.06430.07780.09340.11120.13140.15390.17880.20610.23580.26760.30150.33720.37450.41290.45220.492-0.030.00040.00060.00090.00120.00170.00230.00320.00430.00570.00750.00990.01290.01660.02120.02680.03360.04180.05160.0630.07640.09180.10930.12920.15150.17620.20330.23270.26430.29810.33360.37070.4090.44830.488-0.040.00040.00060.00080.00120.00160.00230.00310.00410.00550.00730.00960.01250.01620.02070.02620.03290.04090.05050.06180.07490.09010.10750.12710.14920.17360.20050.22960.26110.29460.330.36690.40520.44430.484-0.050.00040.00060.00080.00110.00160.00220.0030.0040.00540.00710.00940.01220.01580.02020.02560.03220.04010.04950.06060.07350.08850.10560.12510.14690.17110.19770.22660.25780.29120.32640.36320.40130.44040.4801-0.060.00040.00060.00080.00110.00150.00210.00290.00390.00520.00690.00910.01190.01540.01970.0250.03140.03920.04850.05940.07210.08690.10380.1230.14460.16850.19490.22360.25460.28770.32280.35940.39740.43640.4761-0.070.00040.00050.00080.00110.00150.00210.00280.00380.00510.00680.00890.01160.0150.01920.02440.03070.03840.04750.05820.07080.08530.1020.1210.14230.1660.19220.22060.25140.28430.31920.35570.39360.43250.4721-0.080.00040.00050.00070.0010.00140.0020.00270.00370.00490.00660.00870.01130.01460.01880.02390.03010.03750.04650.05710.06940.08380.10030.1190.14010.16350.18940.21770.24830.2810.31560.3520.38970.42860.4681-0.090.00030.00050.00070.0010.00140.00190.00260.00360.00480.00640.00840.0110.01430.01830.02330.02940.03670.04550.05590.06810.08230.09850.1170.13790.16110.18670.21480.24510.27760.31210.34830.38590.42470.4641Продолжение таблицыΦ() 00.0100.50.5040.10.5398 0.54380.20.5793 0.58320.30.6179 0.62170.40.6554 0.65910.50.6915 0.6950.60.7257 0.72910.70.7580.76110.80.7881 0.7910.90.8159 0.818610.8413 0.84381.10.8643 0.86651.20.8849 0.88691.30.9032 0.90491.40.9192 0.92071.50.9332 0.93451.60.9452 0.94631.70.9554 0.95641.80.9641 0.96491.90.9713 0.971920.9772 0.97782.10.9821 0.98262.20.9861 0.98642.30.9893 0.98962.40.9918 0.9922.50.9938 0.9942.60.9953 0.99552.70.9965 0.99662.80.9974 0.99752.90.9981 0.998230.9987 0.99873.10.9990.99913.20.9993 0.99933.30.9995 0.99950.020.5080.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.95730.96560.97260.97830.9830.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99870.99910.99940.99950.030.5120.55170.5910.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.9370.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99880.99910.99940.99960.040.5160.55570.59480.63310.670.70540.73890.77040.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98750.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99880.99920.99940.99960.050.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.9960.9970.99780.99840.99890.99920.99940.99960.060.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.8770.89620.91310.92790.94060.95150.96080.96860.9750.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99890.99920.99940.99961250.070.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.8340.85770.8790.8980.91470.92920.94180.95250.96160.96930.97560.98080.9850.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99890.99920.99950.99960.080.53190.57140.61030.6480.68440.7190.75170.78230.81060.83650.85990.8810.89970.91620.93060.94290.95350.96250.96990.97610.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.9980.99860.9990.99930.99950.99960.090.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.8830.90150.91770.93190.94410.95450.96330.97060.97670.98170.98570.9890.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99860.9990.99930.99950.9997∑︀Таблица пуассоновских вероятностей =0 − /!для некоторых значений (ноль и единица в таблице имеютсяв виду с точностью до 4 знаков)./m 01234560.50.6065 0.9098 0.9856 0.9982 0.9998 1110.3679 0.7358 0.9197 0.9810.9963 0.9994 0.99991.50.2231 0.5578 0.8088 0.9344 0.9814 0.9955 0.999120.1353 0.4060.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.99552.50.0821 0.2873 0.5438 0.7576 0.8912 0.9580.985830.0498 0.1991 0.4232 0.6472 0.8153 0.9161 0.96653.50.0302 0.1359 0.3208 0.5366 0.7254 0.8576 0.934740.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.88934.50.0111 0.0611 0.1736 0.3423 0.5321 0.7029 0.831150.0067 0.0404 0.1247 0.2650.4405 0.6160.76225.50.0041 0.0266 0.0884 0.2017 0.3575 0.5289 0.68660.0025 0.0174 0.0620.1512 0.2851 0.4457 0.60636.50.0015 0.0113 0.0430.1118 0.2237 0.3690.526570.0009 0.0073 0.0296 0.0818 0.1730.3007 0.44977.50.0006 0.0047 0.0203 0.0591 0.1321 0.2414 0.378280.0003 0.0030.0138 0.0424 0.0996 0.1912 0.31348.50.0002 0.0019 0.0093 0.0301 0.0744 0.1496 0.256290.0001 0.0012 0.0062 0.0212 0.0550.1157 0.20689.50.0001 0.0008 0.0042 0.0149 0.0403 0.0885 0.16491000.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.130110.5 00.0003 0.0018 0.0071 0.0211 0.0504 0.10161100.0002 0.0012 0.0049 0.0151 0.0375 0.078611.5 00.0001 0.0008 0.0034 0.0107 0.0277 0.06031200.0001 0.0005 0.0023 0.0076 0.0203 0.045812.5 00.0001 0.0003 0.0016 0.0053 0.0148 0.034613000.0002 0.0011 0.0037 0.0107 0.025913.5 000.0001 0.0007 0.0026 0.0077 0.019314000.0001 0.0005 0.0018 0.0055 0.014214.5 000.0001 0.0003 0.0012 0.0039 0.0105150000.0002 0.0009 0.0028 0.007615.5 0000.0001 0.0006 0.0020.0055160000.0001 0.0004 0.0014 0.00416.5 0000.0001 0.0003 0.0010.00291267110.99980.99890.99580.98810.97330.94890.91340.86660.80950.7440.67280.59870.52460.4530.38560.32390.26870.22020.17850.14320.11370.08950.06980.0540.04150.03160.02390.0180.01350.010.007481110.99980.99890.99620.99010.97860.95970.93190.89440.84720.79160.72910.6620.59250.52310.45570.39180.33280.27940.2320.19060.1550.12490.09980.0790.06210.04840.03740.02880.0220.0167911110.99970.99890.99670.99190.98290.96820.94620.91610.87740.83050.77640.71660.6530.58740.52180.45790.39710.34050.28880.24240.20140.16580.13530.10940.08780.06990.05520.04330.0337Продолжение таблицы/m 45170.0001 0.000517.5 0.0001 0.0003180.0001 0.000218.5 00.00021900.000119.5 00.00012000.000120.5 00210021.5 00220022.5 00230023.5 00240024.5 00250025.5 00260026.5 00270027.5 00280028.5 00290029.5 00300030.5 0060.00140.0010.00070.00050.00040.00030.00020.00010.00010.000100000000000000000070.00340.00250.00190.00140.0010.00070.00050.00040.00030.00020.00010.00010.000100000000000000080.00720.00550.00420.00310.00240.00180.00130.0010.00070.00050.00040.00030.00020.00010.00010.00010.00010000000000090.01350.01070.00830.00650.0050.00380.00290.00220.00170.00120.00090.00070.00050.00040.00030.00020.00010.00010.00010.000100000000100.0230.01860.0150.0120.00950.00740.00580.00450.00350.00270.0020.00160.00120.00090.00070.00050.00040.00030.00020.00010.00010.00010.000100000127110.03550.02970.02450.02010.01640.01320.01060.00840.00670.00520.00410.00320.00240.00190.00140.00110.00080.00060.00050.00040.00030.00020.00010.00010.00010.000100120.05040.04320.03680.0310.02590.02140.01760.01440.01160.00940.00750.00590.00470.00370.00290.00220.00170.00130.0010.00080.00060.00040.00030.00030.00020.00010.00010.0001130.06580.05820.05090.04410.03780.03220.02710.02270.01880.01550.01270.01030.00830.00670.00530.00420.00330.00260.0020.00160.00120.00090.00070.00060.00040.00030.00020.0002МУСИН Максим Маратович,КОБЕЛЬКОВ Сергей Георгиевич,ГОЛДАЕВА Анна Алексеевна(под ред.
ЛЕБЕДЕВА Алексея Викторовича)Сборник задач по теории вероятностейдля химиковУчебное пособиеЭлектронная версия (23.08.2013)Оригинал-макет подготовлен А.В.Лебедевым..
