М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетМ.М.МУСИН, С.Г.КОБЕЛЬКОВ,А.А.ГОЛДАЕВА(под редакцией А.В.Лебедева)СБОРНИК ЗАДАЧПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙДЛЯ ХИМИКОВМосква2013Мусин М.М., Кобельков С.Г., Голдаева А.А.Сборник задач по теории вероятностей для химиков(под редакцией Лебедева А.В.). Учебное пособие. — Москва,2013. — 128 с.Настоящий сборник включает в себя более 240 задач по теории вероятностей вместе с теоретическим материалом, необходимым для их решения.

Учитывается специфика преподаванияпредмета на химическом факультете МГУ.Для студентов химического факультета МГУ, а также всех интересующихся теорией вероятностей.c (2013) М.М.Мусин, С.Г.Кобельков, А.А.Голдаева,○А.В.ЛебедевОГЛАВЛЕНИЕПредисловие. Как читать этот задачник . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Основы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Классическое определение вероятности . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 204. Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325. Независимость и условные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . . . . 427. Биномиальная схема . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478. Полиномиальная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539. Предельные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5610. Случайные величины I . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611. Случайные величины II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7612. Случайные величины III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8813. Нормальное распределение. ЦПТ. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .9214. Суммы случайных величин. Случайные векторы . . . . . . . . 9815. Приложение 1. Греческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10516. Приложение 2. Краткий теоретический обзор . . . . . . . . . . . 10717. Приложение 3. Основы кратных интегралов . . . . . . . . . .

. . 11918. Приложение 4. Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243Предисловие. Как читать этот задачникДорогие студенты!Мы в общем-то собрали здесь наш опыт семинарской работына химфаке для того, чтобы несколько упростить работу семинарских групп следующих поколений, поэтому у книги естьнекоторая специфика.1. Неформальность языка – иногда понятия, необходимые для решения задач, излагаются вскользь, толькочтобы читатель успел “схватить” идею и дальше применить её на практике, не теряя времени.Если вы потерялись и запутались в определении – вконце есть Приложение 2 с кратким теоретическим обзором.

Там все необходимое изложено абсолютно четкос точки зрения математики, что безусловно греет душу нам, но не всегда удобно для восприятия студентомнематематиком, особенно посередине семестра.2. Решение задач – задачи, которые приведены по ходуизложения, предлагаются к решению по ходу изложения. В них часто заключены идеи, на которые дальнейшее изложение будет опираться. Не рекомендуетсячитать задачник, игнорируя задачи – лучше делать этос ручкой и бумагой. Можете рассматривать это как offline семинар.Если решение задачи расположено рядом с задачей,значит, исходя из набранной нами статистики, там естьидеи, которые ускользают или неправильно понимаются большей частью студентов. Рекомендуется подуматьнемного над тем, как бы вы стали решать задачу, после чего сравнить свое решение с нашим. Если решение задачи вынесено в “Ответы и решения” (находятсяв конце каждого параграфа), значит, мы считаем, чтоу вас есть хороший шанс решить её самостоятельно.3.

Замечания – по ходу текста имеются поясняющие замечания, их можно игнорировать, если они вам кажутсяизлишне занудными или непонятными; позже, когдавы уже немного освоитесь с предметом обсуждения,эти замечания станут полезными.4Надеемся, вы успешно освоите теорию вероятностей. Удачи.P.S. Не приносите этот задачник на экзамен и контрольные,получите двойку за пронос запрещенной шпаргалки.P.P.S. Обо всех замеченных ошибках, опечатках и недочетахпросьба сообщать А.В.Лебедеву по e-mail: avlebed@yandex.ruМы надеемся с вашей помощью сделать наш задачник еще лучше.51.

Основы комбинаторики.Классическая теория вероятностей опирается на комбинаторику. Речь идет об описании ситуаций, когда события могут развиваться множеством способов (вариантов), которые нам надопросчитать, определить их общее количество и понять, какиеиз них благоприятны для нас, а какие нет.Поэтому прежде чем приступать к изучению теории вероятностей, нам потребуется некоторый запас техник по подсчетуколичества вариантов.Замечание.

В комбинаторике изучается подсчет числа элементов в различных множествах, часто достаточно сложного вида.Формальное описание этих множеств зачастую мешает начинающему собственно решать задачу, поэтому первое время мыбудем называть эти элементы вариантами или какими-то другими подходящими словами.В задачах речь может идти о вариантах выбора каких-то действий или развития каких-то событий.Отметим также, что в химии комбинаторика активно используется для расчета числа изомеров (химических веществ, имеющих одинаковый состав, но разное строение молекул).Утверждение 1. (Правило умножения).

Если имеется вариантов первого выбора, вариантов второго выбора, и любаяпара вариантов (первого и второго выбора) возможна, тогдачисло вариантов совместного выбора равно .Пример. У Алексея имеется пакет с 7 яблоками, а у Максимас 6 яблоками.1. Пусть каждый из них вынимает по яблоку из своего пакета.Тогда у Алексея имеется 7 вариантов выбора, у Максима 6 вариантов выбора, а вариантов совместного выбора у них 7*6=42.2. Пусть Алексей вынимает из своего пакета одно яблоко и беретсебе, затем берет второе и отдает Максиму. Вариантов выбратьпервое яблоко у него 7, а выбрать второе — 6 (из числа оставшихся), так что вариантов выбора получается тоже 7*6=42.Задача 1.1. Доказать, пользуясь правилом умножения, чтоесли имеется выборов и есть 1 вариантов первого выбора, 2 — второго, . .

. , вариантов -го выбора, то всеговозможных вариантов 1 · . . . · .6I Докажем по индукции. Пусть для уже доказано. Рассмотрим пару выборов, первый выбор – любая возможная комбинация первых выборов, второй – выбор номер +1 исходной модели. Тогда число вариантов первого выбора равно 1 · . . .

· ,а число вариантов второго +1 . Таким образом общее числовозможных вариантов 1 · . . . · · +1 . Шаг индукции доказан. База индукции при = 1 при 1 · 2 – это само правилоумножения.JУтверждение 2. (Правило сложения). Если имеются вариантов некоторого выбора и еще вариантов того же выбора,не пересекающихся с первыми (ни одна пара вариантов невозможна одновременно), то общее количество возможных вариантов равно + .Замечание. Правило сложения несколько менее содержательно, чем правило умножения, но оно позволяет ориентироватьсяв сложных ситуация, основываясь на разбиении вариантов нанепересекающиеся множества.Пример.

В группе студентов 16 юношей и 14 девушек. Одногостудента из группы можно выбрать 16+14=30 способами.Задача 1.2.а) У Маши есть 3 разных вида чая, 5 разных чашек, 10разных блюдец. Сколькими способами она может попить чай?б) У Маши есть 3 вида чая и 2 вида кофе. Сколькимиспособами она может выпить чай или кофе?в) У Маши есть 4 вида чая, 3 вида кофе, 5 чашек, 10блюдец и 5 разных ложек для помешивания. Сколькими способами она может выпить чай или кофе?Задача 1.3. 1) Доказать, что количество последовательностей, в которые можно поставить различных объектов (например, человек), равно !IНа первое место можно поставить человек, на второе – одногоиз − 1 оставшихся и т.д.1) Напомним, что через ! (читается “эн факториал”) обозначается произведение 1 × 2 × · · · × .7Кстати, то же самое количество вариантов получится, если раздавать данным людям майки с номерами от 1 до (проверьтеэто).Здесь применяется правило умножения: вариантов выбора 1го человека множится на − 1 вариант второго и т.д.JДругие задачи, где может быть использована данная формула– число способов наклеить на пробирок бирки с номерами от1 до , либо число способов переставить пробирок с различными веществами.Задача 1.4.

Каково количество различных слов длины изалфавита размера ?Замечание. Данная задача является иллюстрацией урновойсхемы, когда у нас имеется различных (пронумерованных)шаров в урне, мы вытаскиваем шар, записываем номер и кладемшар обратно. Это схема упорядоченного выбора с возвращением.Примеры ситуаций, где может применена данная формула: любые последовательности длины с возможными значениямина каждой позиции. Например: последовательность опытов, когда есть различных образцов, выбирается один из образцов,от него откалывается (отсыпается, отливается) несущественнаячасть, эта часть помещается в очередную пробирку, после этогооперация повторяется.Задача 1.5.