К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 6

Îíî îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ËàãðàíæàL=mṙ 2− U (r) .2(66)Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò ëèøü îò r, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ îòíîñèòåëüíî ëþáîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó r = 0. Ïîýòîìóñîõðàíÿåòñÿ åå ìîìåíò èìïóëüñàM = [r, p] ,p=∂L= mṙ .∂ ṙ(67)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî(r, M ) = 0 .26(68)Äðóãèìè ñëîâàìè, ìàòåðèàëüíîé òî÷êà äâèæåòñÿ âñå âðåìÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñîõðàíÿþùåìóñÿ âåêòîðó M . Âûáåðåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû r, φ â ýòîé ïëîñêîñòè (ñ ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M )x = r cos φ ,y = r sin φ .Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ýòèõ ñîîòíîøåíèé äàåòẋ = ṙ cos φ − rφ̇ sin φ ,ẏ = ṙ sin φ + rφ̇ cos φ ,ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 φ̇2 .Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèäm 2(ṙ + r2 φ̇2 ) − U (r) .2L=(69) ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (40) äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîé ôóíêöèè ïî φ̇ äàåò âåëè÷èíó ìîìåíòà èìïóëüñà, ïîñêîëüêó óãîë φ çàäàåò óãîë ïîâîðîòà ÷àñòèöû âîêðóã îñè,íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M .

Èòàê,M=∂L= mr2 φ̇ .∂ φ̇(70)Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî φ̇ > 0 â òå÷åíèå âñåãî äâèæåíèÿ òî÷êè. Äàëåå, ôóíêöèÿËàãðàíæà (69) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ∂L/∂t = 0, è ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ(44)E=m 2(ṙ + r2 φ̇2 ) + U (r) .2(71)Èòàê, èìååòñÿ äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (70), (71) äëÿ äâóõôóíêöèé r(t), φ(t). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü ýòó ñèñòåìó, âûðàçèì φ̇ èç óðàâíåíèÿ (70)è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò â (71):E=mṙ2M2++ U (r) .22mr2(72)Ýòî óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå (57) ïðè äâèæåíèè ñ îäíîé ñòåïåíüþñâîáîäû q = r â ýôôåêòèâíîì ïîëå ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåéUeff (r) = U (r) +M2.2mr2(73)Âòîðîå ñëàãàåìîå â ýòîì âûðàæåíèè íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó ìûìîæåì ïðèìåíèòü ôîðìóëó (59), çàìåíÿÿ â íåé U (r) íà Ueff (r)rt − t0 =m2Zrr0drp.± E − Ueff (r)(74)Íàéäåì òåïåðü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè, ò.å.

ñâÿçü êîîðäèíàò r, φ. Äëÿ ýòîãî ðàçäåëÿåì äèôôåðåíöèàëû â óðàâíåíèè (70)dφ =Mdt ,mr227(75)ïîäñòàâëÿåìrmdr2,dt = p± E − Ueff (r)è ïîëó÷àåì ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ:Zrφ − φ0 =r0M√dr22mrp,± E − Ueff (r)φ0 = φ(t0 ) .(76)Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîé ôîðìóëå êîðåíü áåðåòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè íà äàííîì ó÷àñòêåòðàåêòîðèè ṙ > 0, è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè ṙ < 0.

Óðàâíåíèå (74) îïðåäåëÿåò â íåÿâíîìâèäå çàâèñèìîñòü r(t), à óðàâíåíèå (76) ôóíêöèþ φ(r), ïîäñòàâëÿÿ â êîòîðóþ r(t)íàéäåì çàâèñèìîñòü φ îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷èäâóõ òåë â êâàäðàòóðàõ.Èç ôîðìóëû (76) âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå. Ïóñòü ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ñîîòâåòñòâóåò êàêîé-ëèáî òî÷êå ïîâîðîòà, ò.å. òî÷êå, â êîòîðîé ṙ = 0. Äîãîâîðèìñÿ îòñ÷èòûâàòü óãîë φ îò íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ýòîò ìîìåíò, ò.å.ïîëîæèì φ0 = 0, è ðàññìîòðèì äâèæåíèå â îêðåñòíîñòè φ = 0.

Åñëè íà äàííîì ó÷àñòêåòðàåêòîðèè ṙ > 0, òî èç ôîðìóëû (76) íàéäåìZrφ =r0M√dr22mrp,+ E − Ueff (r)(77)Åñëè æå íà äàííîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ṙ < 0, òî áóäåòZrφ =r0M√dr22mrp.− E − Ueff (r)(78)Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (77), (78), çàêëþ÷àåì, ÷òî ÷òî r(φ) = r(−φ). Òàêèì îáðàçîì, îáåðàññìàòðèâàåìûå âåòâè òðàåêòîðèè ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé φ = 0. Ïîñêîëüêó ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé òî÷êè ïîâîðîòà, òî ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè äâèæåíèè â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå âñÿ òðàåêòîðèÿÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõöåíòð ïîëÿ ñ òî÷êàìè ïîâîðîòà.Ÿ3.

Äâèæåíèå â êóëîíîâîì ïîëåÏðèìåíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ê âàæíåéøåìó ñëó÷àþ êóëîíîâà ïîëÿU (r) =α.rÑëó÷àé α > 0 (α < 0) ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ îòòàëêèâàíèÿ (ïðèòÿæåíèÿ). Îïðåäåëèìñïåðâà âîçìîæíûå òèïû äâèæåíèÿ â òàêîì ïîëå. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ (72), îïðåäåëÿþùåìó ôóíêöèþ r(t), ïîñêîëüêó äâèæåíèå òî÷êè ïðîèñõîäèò â28201510Ueffα>050α<0−500.20.40.60.811.21.41.61.82rÐèñ. 4: Õàðàêòåðíûé âèä ýôôåêòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â êóëîíîâûõ ïîëÿõ îòòàëêèâàíèÿ è ïðèòÿæåíèÿ (óñëîâíûå åäèíèöû).îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà ïðè âñåõ t. Ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ýêñòðåìóìû â òî÷êàõ,óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþdUeffαM2=− 2 −= 0.(79)drrmr3 ñëó÷àå ïîëÿ îòòàëêèâàíèÿ ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé âîâñå, òîãäà êàê â ñëó÷àåïîëÿ ïðèòÿæåíèÿ åäèíñòâåííûé åãî êîðåíü åñòür̄ =M2.m|α|(80)Ïîñêîëüêó Ueff → +∞ ïðè r → 0 è Ueff → 0 ïðè r → ∞, â òî÷êå (80) ýôôåêòèâíàÿïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò àáñîëþòíûé ìèíèìóìmα2.2M 2Ãðàôèêè ýôôåêòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ñëó÷àÿõ α > 0 è α < 0 ïðèâåäåíû íàÐèñ.

4.Íàéäåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè. Ïóñòü ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êåïîâîðîòà òðàåêòîðèè, â êîòîðîé r èìååò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå rmin . Äîãîâîðèìñÿ îòñ÷èòûâàòü óãîë φ îò íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ýòîò ìîìåíò,Ueff (r̄) = −29ò.å. ïîëîæèì φ0 = 0, è ðàññìîòðèì äâèæåíèå íà îòðåçêå âðåìåíè [t0 , t], íà êîòîðîìṙ > 0. Ïîñêîëüêó âñåãäà φ̇ > 0, òî óñëîâèå ṙ > 0 îçíà÷àåò, ÷òî íà ðàññìàòðèâàåìîìó÷àñòêå òðàåêòîðèè φ > 0. Ôîðìóëà (76) äàåòµ ¶MMZrZrddrrr2rs=−φ =µ¶2M 2 2mαMm2 α2mαrminrmin2mE − 2 −2mE +−+rrM2rM¯r¯Mmα¯+¯rM¯.(81)= arccos r¯22mα ¯¯2mE +M 2 rminÂâîäÿ îáîçíà÷åíèÿr1+e=2EM 2,mα2p=M2,m|α|ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (81) â âèäå½ ·¸¾¯r¯1 pα¯φ = arccos+e r |α| ¯rmin(82)Òî÷êè îñòàíîâêè ïî êîîðäèíàòå r (ò.å.

òî÷êè, â êîòîðûõ ṙ = 0), â ÷àñòíîñòè, òî÷êàrmin , îïðåäåëÿþòñÿ íóëÿìè êîðíÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè â ýòîé ôîðìóëå, ò.å.óðàâíåíèå쵶2Mm2 α2mα2mE +=+,(83)M2rMðåøåíèÿìè êîòîðîãî âî âíîâü ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ÿâëÿþòñÿr min =maxp.α−±e|α|(84) ñëó÷àå ïîëÿ îòòàëêèâàíèÿ α > 0, E > 0, e > 1, ñëåäîâàòåëüíî, èìååòñÿ ëèøü îäèíïîëîæèòåëüíûé êîðåíü rmin = p/(e − 1).

 ñëó÷àå ïîëÿ ïðèòÿæåíèÿ α < 0 âîçìîæíûäâà âàðèàíòà. Ïðè E > 0 ìû èìååì e > 1 è ñíîâà ëèøü îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíürmin = p/(1 + e), à ïðè E < 0 èìååì e < 1, è ïîýòîìó îáà êîðíÿ (84) ïîëîæèòåëüíû:rmin = p/(1 + e), rmax = p/(1 − e). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ïðè r = rmin àðãóìåíò arccos âôîðìóëå (82) ðàâåí åäèíèöå. Ïîñêîëüêó ìû âûáðàëè îòñ÷åò óãëà φ òàê, ÷òî φ = 0 ïðèr = rmin , òî ñëåäóåò ïîëîæèòü arccos 1 = 0. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå òðàåêòîðèè íàó÷àñòêå φ > 0 ïðèíèìàåò âèäpα=−+ e cos φ .r|α|(85)Ìû çíàåì, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷òî r(φ) = r(−φ), ïîýòîìó íà ó÷àñòêå φ < 0 óðàâíåíèåòðàåêòîðèè èìååò òîò æå ñàìûé âèä (85).30Ðèñ.

5: Òðàåêòîðèÿ ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êóëîíîâîì ïîëå. Öåíòð ïîëÿîáîçíà÷åí ÷åðåç F.Êóëîíîâî ïîëå ïðèòÿæåíèÿ. Çàêîíû ÊåïëåðàÐàññìîòðèì äâèæåíèå ñ E < 0 â êóëîíîâîì ïîëå ïðèòÿæåíèÿ áîëåå ïîäðîáíî. Ïðèα < 0, E < 0 óðàâíåíèå òðàåêòîðèè èìååò âèärp2|E|M 2= 1 + e cos φ , e = 1 −< 1.(86)rmα2Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ôèíèòíîå äâèæåíèå â êóëîíîâîì ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè òî÷êè íà îòðåçêåφ ∈ [−π, +π]. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (86) íà ãðàíèöàõ ýòîãî îòðåçêà r = p/(1 − e) = rmax ,è ïîýòîìó ṙ(−π) = ṙ(+π) = 0. Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ (70) ñëåäóåò, ÷òî φ̇ òàêæå èìååò2îäíî è òî æå çíà÷åíèå [ðàâíîå M/(mrmax)] â íà÷àëå è êîíöå ïóòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,çíà÷åíèÿ φ = −π è φ = +π ñîîòâåòñòâóþò îäíîé è òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Òàêèìîáðàçîì, êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñîâïàäàåò ñ åå íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì.

Ïîñêîëüêó çàäàíèå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåò åå äàëüíåéøóþ ýâîëþöèþ, òî ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó î òîì, ÷òî äâèæåíèåìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïåðèîäè÷íî.  ÷àñòíîñòè, òðàåêòîðèè ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ âêóëîíîâîì ïîëå çàìêíóòû.Êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì (86), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñ, îäèí èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ïîëÿ.

 ïðèìåíåíèè ê äâèæåíèþ ïëàíåò ñîëíå÷íîéñèñòåìû ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà. Ââåäåííûåâûøå âåëè÷èíû e è p íàçûâàþòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì è ïàðàìåòðîì ýëëèïñà, ñîîòâåòñòâåííî. Ñâÿæåì èõ ñ áîëüøîé (a) è ìàëîé (b) ïîëóîñÿìè ýëëèïñà, îïðåäåëÿþùèìèêàíîíè÷åñêóþ ôîðìó óðàâíåíèÿ ýëëèïñàx2 y 2+ 2 = 1,a2b(87)ãäå x, y äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ýëëèïñà (ñì. Ðèñ. 5). Êàê âèäíî èç ðèñóíêà,·¸1prmin + rmaxpp=+.a==22 1+e 1−e1 − e231Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ ýêñöåíòðèñèòåòà,re=1−b2.a2Ïîýòîìó√pb = a 1 − e2 = √.1 − e2Èç Ðèñ. 5 î÷åâèäíà ñâÿçü äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò:x = a − rmin + r cos φ = ea + r cos φ ,y = r sin φ .(88)Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íåòðóäíî ïðîâåðèòü ýêâèâàëåíòíîñòü óðàâíåíèé (86) è(87). Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ e è p, ìîæíî âûðàçèòü ïîëóîñè îðáèòû ÷åðåçýíåðãèþ è ìîìåíò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:a=|α|,2|E|b= pM2m|E|.(89)Âåðíåìñÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà (70).

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè, çàìåòàåìîé ðàäèóñ-âåêòîðîììàòåðèàëüíîé òî÷êè â åäèíèöó âðåìåíè è íàçûâàåìîé ñåêòîðèàëüíîé ñêîðîñòüþ (çàøòðèõîâàííàÿ ïëîùàäü íà Ðèñ. 5). Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïåðåìåùåíèå òî÷êè çàìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Òîãäà ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà (∆t)2 çàìåòàåìàÿ ïëîùàäü ∆s åñòü ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè r(t) è r(t)φ̇∆t :∆s = r2 φ̇∆t/2 .