К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 2

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè íàëè÷èè ñâÿçåéÌû äîêàæåì êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ñðàçó äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èçN ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìåþùèõ ìàññû mi è ðàäèóñ-âåêòîðû ri , i = 1, ..., N, äîïóñêàÿïðè ýòîì, ÷òî íà ýòó ñèñòåìó åùå ìîãóò áûòü íàëîæåíû òàê íàçûâàåìûå èäåàëüíûåãîëîíîìíûå ñâÿçè. Âîîáùå, ïîä ñâÿçÿìè ïîíèìàþò ëþáûå îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûåäâèæåíèÿ ñèñòåìû.

Íàïðèìåð, ñâÿçè ìîãóò ñîñòîÿòü â òîì, ÷òî âçàèìíûå ðàññòîÿíèÿìåæäó íåêîòîðûìè ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè äîëæíû îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûìè ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû, èëè æå äâèæåíèå ÷àñòèö ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî íåïðîíèöàåìûìèñòåíêàìè. Äàëåå, ñâÿçè ìîãóò òàêæå âûðàæàòüñÿ â âèäå îïðåäåëåííûõ óñëîâèé íà ñêîðîñòè òî÷åê, è ò.ï.  òîì âàæíîì è ÷àñòî âñòðå÷àþùåìñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àå, êîãäàñâÿçü ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòåìû, îíà íàçûâàåòñÿ ãîëîíîìíîé.

Ïðèìåðîì ãîëîíîìíîé ñâÿçè ìîæåò ñëóæèòü æåñòêèéíåâåñîìûé ñòåðæåíü, ñâÿçûâàþùèé äâå ÷àñòèöû. ñëó÷àå íàëè÷èÿ ñâÿçåé ïîìèìî ïîòåíöèàëüíûõ ñèë íà òî÷êè ñèñòåìû áóäóò äåéñòâîâàòü òàêæå ñèëû ðåàêöèè ñâÿçåé. Îáîçíà÷àÿ ýòè ñèëû ÷åðåç R, çàïèøåì óðàâíåíèÿÍüþòîíà äëÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñîñòàâëÿþùåé ñèñòåìómid2 ri∂U=−+ Ri ,2dt∂rii = 1, ..., N .(4)Ïóñòü èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ñâÿçè ìåæäó ri , i = 1, ..., N :fk (r1 , ..., rN ) = 0 ,k = 1, ..., n.(5)Ìû ñ÷èòàåì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ýòè ñîîòíîøåíèÿ íå ñîäåðæàò âðåìåíè ÿâíî.

Óðàâíåíèÿ(5) îçíà÷àþò, ÷òî n êîìïîíåíò èç ïîëíîãî íàáîðà 3N äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ riìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç îñòàëüíûå (3N − n) ≡ s.  ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò îêàçàòüñÿóäîáíûì âûðàçèòü ýòè s êîìïîíåíò êàê ôóíêöèè íåêîòîðîãî äðóãîãî íàáîðà s íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ qα , α = 1, ..., s. Äëÿ êðàòêîñòè, ýòîò íàáîð ïàðàìåòðîâ ìû áóäåìîáîçíà÷àòü ïðîñòî q. Òàêèì îáðàçîì, âñå N ðàäèóñ-âåêòîðîâ ri îêàæóòñÿ ôóíêöèÿìèq:ri = ri (q) ,i = 1, ..., N .5(6)Íàáîð íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû, à ÷èñëî ýòèõ ïåðåìåííûõ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû.

 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå qα , α = 1, ..., s ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ñâÿçè ÿâëÿþòñÿ èäåàëüíûìè, ò.å. òðåíèå âñèñòåìå îòñóòñòâóåò, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó èìåþò âèä (3) ïî êàæäîé èçîáîáùåííûõ êîîðäèíàò qα , α = 1, ..., s.Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì δri , i = 1, ..., N ïðîèçâîëüíîå ìàëîå èçìåíåíèå (âàðèàöèþ) êîîðäèíàò ÷àñòèö ñèñòåìû, ñîãëàñîâàííîå ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçè. Ñîãëàñîâàííîñòü ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçè îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿfk (r1 , ..., rN ) = 0 ,fk (r1 + δr1 , ..., rN + δrN ) = 0 ,k = 1, ..., n.Ïåðåìåùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì, íàçûâàþò âèðòóàëüíûìè (ò.å.

âîçìîæíûìè, äîïóñòèìûìè). Ïîñêîëüêó òðåíèå îòñóòñòâóåò, ñèëà ðåàêöèè ñâÿçåé, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, îðòîãîíàëüíà âèðòóàëüíîìó ïåðåìåùåíèþ:(Ri , δri ) = 0 ,i = 1, ..., N ,ãäå ñèìâîëîì (a, b) îáîçíà÷åíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b .

Ñêëàäûâàÿ ýòèóðàâíåíèÿ è èñïîëüçóÿ (4), ïîëó÷èìNXi=1µmid2 ri, δridt2¶=−N µX∂Ui=1∂ri¶, δri.(7)Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó, â êîòîðîì ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ íå ïî÷àñòèöàì ñèñòåìû, à ïî èíäåêñó α, íóìåðóþùåìó íåçàâèñèìûå îáîáùåííûå êîîðäèíàòûñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî ïðîâàðüèðóåì óðàâíåíèÿ (6)sX∂riδri =δqα .∂qαα=1(8) îòëè÷èå îò δri , âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò δqα ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè äðóã îòäðóãà. Òîãäà ñîãëàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ìîæíî íàïèñàòü!ö XN µNsX∂U∂U X ∂ri, δri =,δqα∂ri∂ri α=1 ∂qαi=1i=1¶ XssN µXX∂U (r(q), t)∂U ∂ri,=δqα.(9)=δqα∂r∂q∂qiααα=1α=1i=1Äàëåå, ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ã!¶ Xµ 2NsNXd2 ri X ∂rid ri, δri =mi,δqαmi22dtdt∂qαα=1i=1i=1½¶µ¶¾µNsX X dd ∂ri∂ri=mi− ṙi ,δqα .ṙi ,dt∂qαdt ∂qαα=1i=16(10)Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) â âèäå ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèèËàãðàíæà, êàê è â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå îäíîé ÷àñòèöû, ìû ðàñøèðèì íàáîðíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, âêëþ÷èâ â íåãî âåëè÷èíû q̇α , α = 1, ..., s, íàçûâàåìûå îáîáùåííûìè ñêîðîñòÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, ëþáàÿ èç íàáîðà ïåðåìåííûõq, q̇ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé îò îñòàëüíûõ. Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿÍüþòîíà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêàäëÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ri (t), òî ïîñëå ïåðåõîäà ê îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó s íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ s íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé qα (t), êîòîðûå òàêæåáóäóò äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ ýòîéñèñòåìû òðåáóåòñÿ çàäàíèå 2s äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé çíà÷åíèé s îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è s îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè.

Äðóãèìè ñëîâàìè,ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì íåçàâèñèìûõ âåëè÷èíq, q̇ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè.Âûðàçèì äåêàðòîâû ñêîðîñòè ÷àñòèö ÷åðåç îáîáùåííûå ñêîðîñòè. Äëÿ ýòîãî âîçüìåìïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèé (6)sX∂riṙi =q̇α ,∂qαα=1i = 1, ..., N .(11)Èìåÿ â âèäó äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèÿ (11) ïî q̇β :sX ∂ri ∂ q̇α∂ ṙi=,∂ q̇β∂qα ∂ q̇βα=1β = 1, ..., s.(12) ñèëó íåçàâèñèìîñòè ñêîðîñòåé q̇α ïðîèçâîäíàÿ ∂ q̇α /∂ q̇β ðàâíà åäèíèöå ïðè α = β, èíóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å.,∂ q̇α= δαβ ,∂ q̇βãäå δαβ îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ ìàòðèöó½δαβ =1, α = β ,0, α =6 β.Ïîýòîìó ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (12) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó ÷ëåíó:∂ ṙi∂ri=.∂ q̇β∂qβ(13)Äàëåå, ïðåîáðàçóåì åùå ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ∂ri /∂qβ :)( s µµ¶sXX ∂ri ¶∂∂ri∂d ∂ri=q̇α =q̇α .dt ∂qβ∂qα ∂qβ∂qβ α=1 ∂qαα=1Âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ṙi , òàê ÷òî∂ ṙid ∂ri=.dt ∂qβ∂qβ7(14)Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (13) è (14) ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) òåïåðü ìîæåò áûòüïðåîáðàçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçî쵶 µ¶¾s ½NXX∂rid ∂ridmiṙi ,− ṙi ,δqαdt∂qdt∂qααα=1i=1µ¶ µ¶¾Ns ½XXd∂ ṙi∂ ṙi=miṙi ,− ṙi ,δqαdt∂q̇∂qααα=1i=1¾s ½NX X1 d ∂ ṙi2 1 ∂ ṙi2=mi−δqα2dt∂q̇2∂qααα=1i=1()sNN22X d ∂ XXmi ṙi∂mi ṙi=δqα−dt ∂ q̇α i=1 2∂qα i=1 2α=1¾s ½Xd ∂T∂T=−δqα ,dt∂q̇∂qααα=1ãäåT =NXmi ṙ 2ii=12åñòü ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû.

Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, à òàêæå óðàâíåíèå (9), ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèå (7) â âèäå¾s ½Xd ∂T∂(T − U )−δqα = 0 .dt ∂ q̇α∂qαα=1Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé, ïîñëåäíååóðàâíåíèå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü â âèäå¾s ½Xd ∂L∂L−δqα = 0 ,(15)dt ∂ q̇α ∂qαα=1ãäå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = T − U ïðåäïîëàãàåòñÿ âûðàæåííîé ÷åðåç îáîáùåííûåêîîðäèíàòû è îáîáùåííûå ñêîðîñòè ñèñòåìû (à òàêæå âðåìÿ), à èìåííî,L(q, q̇, t) = T (ṙ(q, q̇)) − U (r(q), t) . ñèëó íåçàâèñèìîñòè âàðèàöèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (15)áóäåò ðàâíà íóëþ, òîëüêî åñëè êîýôôèöèåíò ïðè êàæäîé èç δqα îáðàùàåòñÿ â íóëüíåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ:d ∂L∂L−= 0,dt ∂ q̇α ∂qαα = 1, ..., s.(16)Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà íà ñèñòåìó íàëîæåíû èäåàëüíûå ãîëîíîìíûåñâÿçè, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå Ëàãðàíæà (16).

Âèä ýòèõóðàâíåíèé íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû, ÷òî, â÷àñòíîñòè, è äîêàçûâàåò èõ êîâàðèàíòíîñòü. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàòîñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â ñëó÷àå ñâÿçåé, çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè.8Ïðèìåð 1. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ðàññìîòðèì äâèæåíèåìàòåðèàëüíîé òî÷êè â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ò.å. ïîëå, êîòîðîå íå ìåíÿåòñÿïðè ïîâîðîòàõ íà ïðîèçâîëüíûé óãîë âîêðóã íåêîòîðîé îñè.

Òàêîâî, íàïðèìåð, ïîëåïðÿìîãî çàðÿæåííîãî ïðîâîäà.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå q öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ρ, φ, z), íàïðàâèâ îñü z ïî îñè ñèììåòðèè ïîëÿ. Òîãäà ïîëåíå áóäåò çàâèñåòü îò óãëîâîé êîîðäèíàòû φ. Ïåðåõîä îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê öèëèíäðè÷åñêèì çàäàåòñÿ ôîðìóëàìèx = ρ cos φ ,y = ρ sin φ ,z = z.(17)Äèôôåðåíöèðóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåìẋ = ρ̇ cos φ − ρ sin φ φ̇ ,ẏ = ρ̇ sin φ + ρ cos φ φ̇ ,à âîçâîäÿ èõ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõṙ 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 + ż 2 ,(18)è çàòåì åå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëåL=m 2(ρ̇ + ρ2 φ̇2 + ż 2 ) − U (ρ, z) .2(19)Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà â ýòèõ êîîðäèíàòàõ.

Ìû èìååì∂L∂U (ρ, z)= mρφ̇2 −,∂ρ∂ρ∂L= mρ̇ .∂ ρ̇Ïîýòîìó óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïî ïåðåìåííîé ρ èìååò âèämρ̈ − mρφ̇2 +∂U (ρ, z)= 0.∂ρÏî ïåðåìåííîé z óðàâíåíèå Ëàãðàíæà îñòàåòñÿ òåì æå, ÷òî è â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:mz̈ +∂U (ρ, z)= 0.∂zÍàêîíåö,∂L= 0,∂φ∂L= mρ2 φ̇ ,∂ φ̇òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà åñòü ïðîñòîd 2(ρ φ̇) = 0 .dt9(20)Ÿ4. Âêëþ÷åíèå äèññèïàòèâíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèëÏîñëå òîãî, êàê ìû ïðåäñòàâèëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ëàãðàíæåâîé ôîðìå äëÿñèñòåì ñ ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè è èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè, åñòåñòâåííî ðàñøèðèòü êëàññäîïóñòèìûõ âçàèìîäåéñòâèé, ðàññìîòðåâ ôóíêöèè Ëàãðàíæà áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åìïðîñòåéøèé L = T − U.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñëåäóþùåãî âèä൶mṙ 2λtL(r, ṙ, t) = e− U (r, t) ,(21)2ãäå λ åñòü íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð.

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìååì∂L= eλt mṙ ,∂ ṙ∂L∂U= −eλt.∂r∂rÏîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (16) äàåòd ¡ λt ¢∂Ue mṙ = −eλt.dt∂rÂûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå è ñîêðàùàÿ íà eλt , ïîëó÷àåìmr̈ = −k ṙ −∂U,∂rk ≡ mλ .Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (21) îïèñûâàåò äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññû m ïîääåéñòâèåì ïîòåíöèàëüíîé ñèëû Fp = −∂U/∂r è ñèëû òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèöû, Fd = −k ṙ .Ðàññìîòðèì, äàëåå, ôóíêöèþ Ëàãðàíæà âèäà´mṙ 2 q ³L(r, ṙ, t) =+ A(r, t), ṙ − qϕ(r, t) ,2c(22)ãäå A(r, t), ϕ(r, t) çàäàííûå âåêòîðíàÿ è ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè, à qè c ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû.

×ëåí, ëèíåéíûé ïî ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ôóíêöèè Ëàãðàíæà,íàçûâàþò îáîáùåííûì ïîòåíöèàëîì.Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìåå춵q∂Lq ∂Ax∂Ay∂Az∂ϕ∂L= mẋ + Ax ,=ẋ +ẏ +ż − q∂ ẋc∂xc ∂x∂x∂x∂xè àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ ïî ïåðåìåííûì y, z. Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (16) äàåò¶µ¶µq ∂Ax∂Ax∂Ax∂Ax∂Ay∂Az∂ϕq ∂Axmẍ +ẋ +ẏ +ż +ẋ +ẏ +ż − q, (23)=c ∂x∂y∂z∂tc ∂x∂x∂x∂xèëè, ïåðåíîñÿ âñå ñèëû â ïðàâóþ ÷àñòü,½·¸·¸ ¾q ∂Ax∂ϕ q∂Ay ∂Ax∂Az ∂Axmẍ = −−q+−−ẏ +ż .c ∂t∂x c∂x∂y∂x∂z10(24)Ââåäåì òåïåðü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿEx = −1 ∂Ax ∂ϕ−,c ∂t∂xEy = −Hx =∂Az ∂Ay−,∂y∂zHy =1 ∂Ay ∂ϕ−,c ∂t∂y∂Ax ∂Az−,∂z∂xEz = −Hz =1 ∂Az ∂ϕ−,c ∂t∂z∂Ay ∂Ax−.∂x∂y(25)Îïðåäåëåíèå âåêòîðà H = (Hx , Hy , Hz ) íåòðóäíî çàïîìíèòü, åñëè ïðåäñòàâëÿòü åãî ââèäå ôîðìàëüíîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà ∂/∂r ñ A :H = [∂/∂r, A] .Âåêòîð H íàçûâàåòñÿ ðîòîðîì âåêòîðà A.