К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков
Описание файла
PDF-файл из архива "К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÊÓÐÑ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈÄËß ÕÈÌÈÊÎÂÊ.À. Êàçàêîâ∗Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÍàñòîÿùèé êóðñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàïèñü ëåêöèé ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå, ÷èòàåìûõàâòîðîì â òå÷åíèå ðÿäà ëåò ñòóäåíòàì âòîðîãî êóðñà õèìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ. Îí èìååòäâå îñíîâíûå çàäà÷è: âî-ïåðâûõ, äàòü ïðåäñòàâëåíèå îá îñíîâíûõ ìåòîäàõ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè, è, âî-âòîðûõ, èçëîæèòü ìàòåðèàë, íåîáõîäèìûé ñòóäåíòàì äëÿ èçó÷åíèÿ êâàíòîâîéìåõàíèêè, êóðñ êîòîðîé ÷èòàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî âñëåä çà êóðñîì òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.
Âïåðâûõ äâóõ ãëàâàõ êóðñà èçëàãàåòñÿ ìåòîä Ëàãðàíæà, ïðèìåíåíèå êîòîðîãî çàòåì èëëþñòðèðóåòñÿ â òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ãëàâàõ ðåøåíèåì çàäà÷è äâóõ òåë, çàäà÷è î ìàëûõ êîëåáàíèéñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è çàäà÷è î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà. Ïîñëåäíÿÿ ãëàâàïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ êàíîíè÷åñêîãî àïïàðàòà ìåòîäîâ Ãàìèëüòîíà è Ãàìèëüòîíà-ßêîáè,à òàêæå òåñíî ñâÿçàííûõ ñ íèìè ìåòîäà êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé è ôîðìàëèçìà ñêîáîêÏóàññîíà.
Êóðñ èìååò äâà îòñòóïëåíèÿ, â êîòîðûõ êëàññè÷åñêèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàþòñÿñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè (II 4 è V 6). Ýòî ñäåëàíî ïî äâóì ïðè÷èíàì: âî-ïåðâûõ,äëÿ èõ ïîíèìàíèÿ çíàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè íå òðåáóåòñÿ, è âî-âòîðûõ, â ðàìêàõ êóðñà ñîáñòâåííî êâàíòîâîé ìåõàíèêè íà ðàññìîòðåíèå êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ íåò âðåìåíè. äàííîì êóðñå ìàòåðèàë ýòèõ îòñòóïëåíèé íèãäå íå èñïîëüçóåòñÿ, ïîýòîìó ïðè æåëàíèè îíèìîãóò áûòü îïóùåíû.
Îäíàêî àâòîð íå ðåêîìåíäóåò ýòîãî äåëàòü, ïîñêîëüêó èçëîæåííûé âíèõ âçãëÿä íà ýâîëþöèþ ñèñòåìû êàê íà ïåðåõîä ïî ìíîæåñòâó âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé äàåòõîðîøåå èíòóèòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå î ñâÿçè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ñ êâàíòîâîé.Âñå çàìå÷àíèÿ, ïðåäëîæåíèÿ, ñîîáùåíèÿ î çàìå÷åííûõ îïå÷àòêàõ è ò.ï. ïðîñüáà ïåðåäàâàòüàâòîðó ëè÷íî èëè ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå.*∗Electronic address: kirill_kazakov@comtv.ru.1ContentsI. Ôîðìàëèçì Ëàãðàíæà1.2.3.4.3Îñíîâíàÿ çàäà÷à ìåõàíèêè3Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè4Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé 5Âêëþ÷åíèå äèññèïàòèâíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë10II. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ1.2.3.4.Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñàÇàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèÏðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿÎòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ èàìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû1213161820III.
Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ212225283133IV. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (ïðîäîëæåíèå)3636394041481. Äâèæåíèå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû2. Çàäà÷à äâóõ òåë3. Äâèæåíèå â êóëîíîâîì ïîëåÊóëîíîâî ïîëå ïðèòÿæåíèÿ. Çàêîíû Êåïëåðà4. Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. Ôîðìóëà Ðåçåðôîðäà1. Êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäûÍåâûðîæäåííûé ñëó÷àéÂûðîæäåííûé ñëó÷àé2. Êîëåáàíèÿ ìîëåêóë3. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëàV. Êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì1. Óðàâíåíèÿ ÃàìèëüòîíàÈíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ÃàìèëüòîíàÑêîáêè ÏóàññîíàÂû÷èñëåíèå ñêîáîê Ïóàññîíà2.
Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ3. Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ4. Áåñêîíå÷íî-ìàëûå êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿÒåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ñêîáîê ÏóàññîíàÒåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ôàçîâîãî îáúåìà5. Äåéñòâèå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. ÓðàâíåíèåÃàìèëüòîíà-ßêîáèÇàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò êîîðäèíàòÇàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò âðåìåíèÒåîðåìà ËèóâèëëÿÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáèÐàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè6. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè êàêêâàçèêëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà25858596163656670707172727375767882I. ÔÎÐÌÀËÈÇÌ ËÀÃÐÀÍÆÀÎñíîâíàÿ çàäà÷à ìåõàíèêè. Óðàâíåíèÿ Íüþòîíà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèÿËàãðàíæà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.
Ñâÿçè. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû è îáîáùåííûåêîîðäèíàòû ñèñòåìû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðè íàëè÷èè èäåàëüíûõ ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé. Âêëþ÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë è ñèë òðåíèÿ.1. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ìåõàíèêèÏðåäìåòîì ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òåë ïîä äåéñòâèåìïðèëîæåííûõ ê íèì ñèë. Ëþáîå òåëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü òåë ìåíüøåãî ðàçìåðà, ïîýòîìó ôóíäàìåíòàëüíûì äëÿ âñåé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Åñëè â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è ðàçìåðàìè òåëà è åãî îðèåíòàöèåé âïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî òàêîå òåëî íàçûâàþò ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà èõ ðàçìåðàìè ìîæíîñ õîðîøåé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðåíåáðå÷ü è ðàññìàòðèâàòü èõ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õàðàêòåð ïðåöåññèè îñè âðàùåíèÿ ïëàíåòû ïîä âëèÿíèåì äðóãèõïëàíåò è Ñîëíöà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò åå ñòðîåíèÿ.Äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, äåêàðòîâû êîìïîíåíòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà r = (x, y, z).
Ñ òå÷åíèåìâðåìåíè ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå ìåíÿåòñÿ, òàê ÷òî r ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè. Çàâèñèìîñòü r(t) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Îïðåäåëåíèåýòîé çàâèñèìîñòè (äëÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñèñòåìû) ñîñòàâëÿåò îñíîâíóþ çàäà÷ó òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò âðåìåíè, íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêåóðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Íüþòîíàmd2 r=F,dt2(1)ãäå m åñòü ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, à F äåéñòâóþùàÿ íà íåå ñèëà. Ïîñëåäíÿÿçàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òåëà, à òàêæå îò åãî ñêîðîñòè v = dr/dt ≡ ṙ. Ñëåäîâàòåëüíî,óðàâíåíèÿ (1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó òðåõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿòðåõ êîìïîíåíò âåêòîðà r.
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêèñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèé Íüþòîíà, íåîáõîäèìî åùå çàäàòü ñîâîêóïíîñòü äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ Íüþòîíà ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìèóðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé x(t), y(t), z(t), òî äëÿîäíîçíà÷íîãî èõ îïðåäåëåíèÿ òðåáóåòñÿ 2 × 3 = 6 äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, êîòîðûìèîáû÷íî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â íåêîòîðûéìîìåíò âðåìåíè.
Ñîâîêóïíîñòü äàííûõ î ñèñòåìå, çàäàíèå êîòîðûõ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿåå ïîñëåäóþùåé ýâîëþöèè, íàçûâàþò ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèåìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì åå ðàäèóñ-âåêòîðàè âåêòîðà åå ñêîðîñòè.32.
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êèÍåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ äàëåêî íå ñàìûìóäîáíûì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ìåõàíèêè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò ðàäèóñ-âåêòîðà äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì. Íàïðèìåð, åñëè ïîëå ñèëûF èìååò òó èëè èíóþ ñèììåòðèþ, òî öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ òàêîé âûáîð êîîðäèíàò, ïðè êîòîðîì F çàâèñèò íå îò âñåõ, à òîëüêî îò ÷àñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýôôåêòèâíî ïðîèçâîäèòü ïåðåõîä îòîäíîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ ê äðóãîìó, óäîáíî ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèÿÍüþòîíà ê òàê íàçûâàåìîìó ëàãðàíæåâó âèäó.Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé äâèæåíèÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r, t).
Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî â òàêîì ïîëå, èìååò âèäF =−∂U.∂rÇäåñü è â äàëüíåéøåì ïîä ïðîèçâîäíîé ïî íåêîòîðîìó âåêòîðó ïîíèìàåòñÿ âåêòîð,êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû ïðîèçâîäíûì ïî ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïîíåíòàì äàííîãîâåêòîðà, ò.å., ∂U/∂r = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z). Ïðåîáðàçîâàíèå ê ëàãðàíæåâó âèäó ñîñòîèò âî ââåäåíèè íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíîéòî÷êè, òàêîé, ÷òî îáå ÷àñòè âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ Íüþòîíà (1) èìåþò âèä ïðîèçâîäíûõ îò ýòîé ôóíêöèè, àíàëîãè÷íî òîìó êàê âåêòîð ñèëû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà.
Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèéÍüþòîíà ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîìmd2 rd ∂T=,2dtdt ∂ ṙãäå T åñòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè,mṙ 2,2à òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå.Äåéñòâèòåëüíî, ýòî òîæäåñòâî íåòðóäíî ïðîâåðèòü, çàïèñûâàÿ åãî ïîêîìïîíåíòíî. Ìûèìååì, íàïðèìåð, äëÿ x-êîìïîíåíòûT (ṙ) =d ∂Tmd ∂ 2md ∂ 2dẋd2 x=(ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) =ẋ = m=m 2 .dt ∂ ẋ2 dt ∂ ẋ2 dt ∂ ẋdtdtÂâåäåì òåïåðü ôóíêöèþ L(r, ṙ, t) = T (ṙ)−U (r, t). Ïî îïðåäåëåíèþ, L ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ êîîðäèíàò (x, y, z), òðåõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè (ẋ, ẏ, ż), à òàêæå âðåìåíè, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå (ò.å., ëþáàÿ èç ýòèõ ñåìè ïåðåìåííûõ ñ÷èòàåòñÿíåçàâèñèìîé îò îñòàëüíûõ øåñòè). Ôóíêöèÿ L(r, ṙ, t) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà.Ñ åå ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Íüþòîíà ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåd ∂L ∂L−= 0,dt ∂ ṙ∂r(2)ïîñêîëüêó ∂T /∂r = 0 , ∂U/∂ ṙ = 0 â ñèëó íåçàâèñèìîñòè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé.
Çàïèñàííûå â òàêîì âèäå, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà.4Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò îäèí è òîò æå âèä íåçàâèñèìî îòòîãî, êàêèå ïàðàìåòðû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
À èìåííî, åñëè âìåñòî äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò (x, y, z) âûáðàòü äðóãóþòðîéêó êîîðäèíàò (q1 , q2 , q3 ), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ áóäóò èìåòüâèäd ∂L∂L−= 0,dt ∂ q̇α ∂qαα = 1, 2, 3,(3)ïðè÷åì L ïðåäïîëàãàåòñÿ âûðàæåííîé ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû qα è ñîîòâåòñòâóþùèåèì ñêîðîñòè q̇α , ñíîâà ðàññìàòðèâàåìûå êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, íàçûâàåìîå êîâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíîçàìåíû êîîðäèíàò, áóäåò äîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå.3.
