К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику, страница 14

Рассмотрим, далее, заряженную частицу в электромагнитном поле и вычислим скобки Пуассона компонент вектора ее скорости v, например, {vx , vy }. Для этого необходимо сначалавыразить компоненты вектора v через обобщенные координаты и обобщенные импульсы частицы с помощью формулы (5.9). Выписывая опять лишь нетривиальные скобкиПуассона, получаем½ ³´ 1 ³´¾1qq{vx , vy } =px − Ax (r, t) ,py − Ay (r, t)mcmcq= − 2 [{Ax (r, t), py } + {px , Ay (r, t)}]m ·c¸q∂Ax (r, t) ∂Ay (r, t)= 2−,(5.25)mc∂y∂xили, используя обозначение (1.25),{vx , vy } = −69qHz .m2 cГлава 5.

Канонический формализм§5.2.Принцип наименьшего действияАналогично тому, как уравнения Лагранжа могут быть получены из принципа минимальности действия (2.19), так и уравнения Гамильтона могут быть получены из условияминимальности следующего функционала действияS[q(t), p(t)] =Zt2 ÃXs!pα q̇α − H(q, p, t) dt ,(5.26)α=1t1в котором по-прежнему предполагаются фиксированными значения обобщенных координат в начальный и конечный моменты времени:qα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s .(5.27)причем при отыскании минимума действия S[q(t), p(t)] функции p(t) варьируются независимо от функций q(t), что и отражено добавлением p(t) вторым аргументом в обозначение функционала действия.Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия вполне аналогичен выводу уравнений Лагранжа, подробно разобранному в §2.3. Пусть функционалS[q(t), p(t)] принимает наименьшее значение на функциях q̄(t), p̄(t), где q̄(t) удовлетворяют условиям (5.27). Рассмотрим виртуальную траекторию, описываемую функциямиq̄(t) + δq(t), p̄(t), где малые функции δq(t) удовлетворяют условиямδqα (t1 ) = δqα (t2 ) = 0 ,α = 1, ..., s .(5.28)При этом действие получает приращениеZt2δS = S[q̄(t) + δq(t), p̄(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =t1¯ss¯XX∂H(q,p̄,t)¯p̄α δ (q̇α ) −¯¯∂qαα=1α=1δqα  dt .q=q̄Используя равенство (2.1) и интегрируя по частям, находим¯t2 Zt2ï !s¯X∂H(q, p̄, t) ¯¯¯δS =p̄α δqα ¯ −δqα dt .p̄˙α +¯¯∂qαq=q̄α=1α=1sXt1(5.29)t1Поскольку правая часть этого уравнения линейна по вариации δq(t), необходимым условием минимума действия является δS = 0.

Первый член в правой части (5.29) равен нулюв силу условий (5.28), интегральный же член может быть равен нулю, только если равнынулю множители при всех независимых произвольных вариациях δqα , α = 1, ..., s :¯∂H(q, p̄, t) ¯¯˙p̄α += 0 , α = 1, ..., s .¯∂qαq=q̄Таким образом, функции q̄(t), p̄(t) должны удовлетворять s уравнениям Гамильтона (5.5).70§5.3.

Канонические преобразованияРассмотрим теперь вариацию действия при переходе от траектории q̄(t), p̄(t) к близкой виртуальной траектории q̄(t), p̄(t) + δp(t), где δp(t) – произвольные малые функциивремени:ï !Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯δS = S[q̄(t), p̄(t) + δp(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =q̄˙α −δpα dt . (5.30)¯∂pαp=p̄α=1t1Снова необходимым условием минимальности действия является обращение правой частиравенства (5.30) в нуль, откуда ввиду независимости и произвольности вариаций δpα ,α = 1, .., s следует, что функции q̄(t), p̄(t) должны удовлетворять уравнениям¯∂H(q̄, p, t) ¯¯= 0 , α = 1, ..., s ,q̄˙α −¯∂pαp=p̄т.е. оставшимся s уравнениям Гамильтона (5.6).§5.3.Канонические преобразованияКак было установлено в §1.3, уравнения Лагранжа ковариантны относительно преобразований обобщенных координат, т.е.

имеют один и тот же вид при любом их выборе. Отсюда следует, что и уравнения Гамильтона также ковариантны, поскольку попостроению они имеют один и тот же вид (5.5), (5.6) независимо от конкретного выбораобобщенных координат. С другой стороны, как мы видели в предыдущем пункте, в гамильтоновой формулировке принципа наименьшего действия функции p(t), заменяющиеобобщенные скорости q̇(t) лагранжева формализма, являются независимыми от функцийq(t). Этот факт позволяет расширить понятие преобразования переменных в гамильтоновом формализме, включив в него наряду с преобразованиями обобщенных координаттакже и преобразования обобщенных импульсов системы.

Итак, в общем случае такоепреобразование имеет видQα = Qα (q, p, t) ,Pα = Pα (q, p, t) ,α = 1, ..., s ,(5.31)где q, p и Q, P – наборы старых и новых обобщенных координат и обобщенных импульсов,соответственно. Поскольку преобразования (5.31) шире, чем обычные преобразования координат, с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме, по отношению к нимуравнения движения уже не обязаны быть ковариантными. Если тем не менее данноепреобразование (5.31) не меняет вида уравнений движения, то оно называется каноническим.

Таким образом, каноничность преобразования означает, что в новых переменныхQ, P уравнения движения имеют вид∂H 0, α = 1, ..., s ,∂Qα∂H 0, α = 1, ..., s ,Q̇α =∂PαṖα = −(5.32)(5.33)с некоторой новой функцией Гамильтона H 0 = H 0 (Q, P, t).Гамильтонова формулировка принципа наименьшего действия, изложенная в предыдущем пункте, дает возможность очень просто выделить один важный и широкий подкласс71Глава 5. Канонический формализмканонических преобразований. Как мы видели, уравнения Гамильтона (5.32), (5.33) могутбыть получены из условия минимальности действия0S [Q(t), P (t)] =Zt2 ÃXs!0Pα Q̇α − H (Q, P, t) dt ,(5.34)α=1t1при условииQα (t1 ) = Q(1)α ,Qα (t2 ) = Q(2)α ,α = 1, ..., s .(5.35)Допустим, что нам удалось задать некоторое соотношение между двумя функционаламиS[q(t), p(t)] и S 0 [Q(t), P (t)], такое, что если S[q(t), p(t)] принимает минимальное значениена функциях q̄(t), p̄(t), то S 0 [Q(t), P (t)] принимает минимальное значение на функцияхQ̄(t), P̄ (t), связанных с q̄(t), p̄(t) соотношениями вида (5.31), и наоборот.

Поскольку уравнения Гамильтона получаются именно из условия минимальности действия, то это означало бы, что при преобразовании (5.31) уравнения (5.5), (5.6) переходят в уравнения (5.32),(5.33), т.е. как раз каноничность преобразования (5.31).Свяжем теперь функционалы S[q(t), p(t)] и S 0 [Q(t), P (t)] следующим соотношениемZt20S[q(t), p(t)] = S [Q(t), P (t)] +dF (q, Q, t)dt ,dt(5.36)t1с некоторой функцией F (q, Q, t) старых и новых обобщенных координат. Это соотношение задает желаемое соответствие между минимумами функционалов S[q(t), p(t)] иS 0 [Q(t), P (t)]. Действительно, второй член в его правой части можно переписать так:Zt2dF (q, Q, t)dt = F (q, Q, t)|tt21 = F (q (2) , Q(2) , t2 ) − F (q (1) , Q(1) , t1 ) .dt(5.37)t1В силу условий (5.27), (5.35) правая часть последнего равенства представляет собой некоторую фиксированную постоянную, значение которой не зависит от выбора виртуальнойтраектории на промежутке t ∈ [t1 , t2 ], и поэтому из минимальности действия S следуетминимальность S 0 , и наоборот.Равенство (5.36) будет выполняться для всех моментов времени t1 , t2 , только еслиподынтегральные выражения в обеих его частях тождественно совпадают:sXpα q̇α − H(q, p, t) =α=1sXPα Q̇α − H 0 (Q, P, t) +α=1dF (q, Q, t).dtПоследнее равенство может быть также переписано в виде соотношения для дифференциаловsXα=1pα dqα − H(q, p, t)dt =sXPα dQα − H 0 (Q, P, t)dt + dF (q, Q, t) .α=172(5.38)§5.3.

Канонические преобразованияПодставляя сюда выражение для дифференциала функции F (q, Q, t)¶s µX∂F∂F∂Fdqα +dQα +dt ,dF (q, Q, t) =∂q∂Q∂tααα=1и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dqα , dQα и dt, получимформулы перехода от набора переменных q, p к Q, P в виде∂Fpα =, α = 1, ..., s ,(5.39)∂qα∂FPα = −, α = 1, ..., s ,(5.40)∂Qα∂FH0 = H +.(5.41)∂tТаким образом, канонические преобразования рассматриваемого типа определяются заданием некоторой функции старых и новых обобщенных координат системы и времени,в связи с чем эту функцию называют производящей функцией канонического преобразования.То же самое преобразование можно также задать с помощью производящей функции,зависящей от старых координат и новых импульсов (и времени).

Для этого совершим втождестве (5.38) преобразование Лежандра от независимых переменных q, Q, t к независимым переменным q, P, t, написав тождественно в его правой частиPα dQα = d (Pα Qα ) − Qα dPα .ПолучимsXÃ(pα dqα + Qα dPα ) + (H 0 − H) dt = d F (q, Q, t) +α=1sX!P α Qα.(5.42)α=1Обозначим величину, стоящую под знаком полного дифференциала в правой части этоготождества через Φ и выразим ее через переменные q, P, t с помощью уравнений (5.39),(5.40):#"sXPα Qα.Φ(q, P, t) = F (q, Q, t) +α=1Q=Q(q,P,t)Подставляя выражение для дифференциала этой функции¶s µX∂Φ∂Φ∂ΦdΦ(q, P, t) =dqα +dPα +dt∂qα∂Pα∂tα=1в уравнение (5.42) и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dqα ,dPα , dt, получим формулы канонического преобразования в виде∂Φ, α = 1, ..., s ,(5.43)pα =∂qα∂ΦQα =, α = 1, ..., s ,(5.44)∂Pα∂Φ.(5.45)H0 = H +∂tАналогичным образом можно было бы задать переход q, p → Q, P помощью производящейфункции, зависящей от переменных p, Q или p, P.73Глава 5.