К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику, страница 11

Для описания поступательного движения твердого тела удобно ввести радиус-вектор центра инерции тела, R. Запервые три обобщенные координаты мы примем декартовы компоненты R в некоторойинерциальной системе отсчета (которую мы будем называть неподвижной). Для описания же его вращательного движения определим три угловых координаты следующимобразом. Введем подвижную систему отсчета, жестко связанную с твердым телом, а вней – декартову координатную систему, начало которой поместим в центре инерции тела,а направления координатных осей выберем пока произвольно.

Оси подвижной системыбудем отличать штрихом, (x0 , y 0 , z 0 ). Любую данную ориентацию твердого тела можно получить из некоторой исходной, поворачивая подвижную систему координат относительнонеподвижной. При этом удобно считать, что центры обеих систем совпадают. Этого всегда можно добиться с помощью параллельных переносов подвижной системы, посколькутакие переносы не меняют ее ориентации.

Пусть исходной является ориентация, когда координатные оси обеих систем совпадают. Тогда повернем подвижную систему 1) вокругоси z на угол φ, затем 2) вокруг нового направления оси x0 на угол θ и, наконец, 3) вокругнового направления оси z 0 на угол ψ (см. Рис. 8).

Все повороты производятся по правилуправого винта. Определенные таким образом углы (φ, θ, ψ) называются углами Эйлера.C. Для того чтобы вычислить полную производную по времени от функцииri (R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, удобно ввести вектор ρi = ri − R, соединяющий центр масстела с его i-ой материальной точкой.

Поскольку расстояния между точками твердого тела неизменны, то вектор ρi остается постоянным по величине при движении твердоготела, меняя лишь свое направление. Обозначим через dϕ бесконечно малый вектор, направленный по оси поворота тела в данный момент времени, и по величине равный углуповорота за промежуток времени dt. Тогда согласно формуле (2.6) изменение вектора ρiза это время естьdρi = [dϕ, ρi ] .Подставляя ρi = ri − R в левую часть этого равенства и деля его на dt, получаемṙi = Ṙ + [Ω, ρi ] ,53(4.33)Глава 4.

Интегрирование уравнений движенияРис. 8: Определение ориентации твердого тела с помощью углов Эйлера. Пунктирная линия –линия узлов.гдеΩ≡dϕ.dt(4.34)Вектор Ω называется угловой скоростью вращения твердого тела. В формуле (4.33) векторы ρi должны быть еще выражены через обобщенные координаты φ, θ, ψ, а вектор Ω –через φ, θ, ψ и обобщенные скорости φ̇, θ̇, ψ̇.Теперь с помощью формулы (4.33) выразим кинетическую энергию твердого тела черезṘ, Ω.

ИмеемT =NXmi ṙ 2ii=12µṘ2=+2где µ =NPÃ=NXmi Ṙ2i=1[Ṙ, Ω],2NX+NXmi (Ṙ, [Ω, ρi ]) +i=1!mi ρii=1+NXmi [Ω, ρi ]2i=1NXmi [Ω, ρi ]2i=12,2(4.35)mi есть полная масса тела. Второй член в этой формуле тождественно равенi=1нулю, поскольку начало подвижной системы выбрано в центре инерции тела, так что54§4.3. Движение твердого телаNPmi ρi = 0. Третий же член можно переписать так:i=1NXmi [Ω, ρi ]2i=12NN3oXª Xmi © 2 2mi X nβαβ 2α2Ωα Ωβ δ ρi − Ωα ρi Ωβ ρi=Ω ρi − (Ω, ρi ) ≡22 α,β=1i=1i=13NnoX1 X=Ωα Ωβmi δ αβ ρ2i − ραi ρβi ,2 α,β=1i=1(4.36)где греческие индексы нумеруют декартовы компоненты векторов Ω и ρi , а δ αβ – единичная матрица.

Эти индексы помещены сверху для удобства записи. Поскольку кинетическая энергия выражается через скалярные произведения векторов Ω и ρi , то не имеетзначения в какой системе вычисляются их проекции на оси координат. Однако в неподвижной системе проекции векторов ρi изменяются со временем из-за вращения тела,тогда как в подвижной системе они фиксированы.

Поэтому в этой системе матрицаIαβ=NXnmi δαβρ2i−ραi ρβio(4.37)i=1постоянна и, в частности, не зависит от обобщенных координат. Эта матрица называетсятензором моментов инерции тела и является основной его механической характеристикой. Итак, кинетическая энергия твердого тела принимает вид3µṘ2 1 X αβT =+I Ωα Ωβ ,22 α,β=1(4.38)где индексы α, β нумеруют оси подвижной системы координат. По определению, тензормоментов инерции симметричен: I αβ = I βα . Как и всякая симметричная матрица, поворотом системы координат I αβ может быть приведен к диагональному виду, т.е.

к виду,в котором I αβ = 0 при α 6= β. Координатные оси, в которых тензор моментов диагонален, называют главными осями инерции, а диагональные элементы I αα ≡ Iα – главнымимоментами инерции тела. Теперь мы конкретизируем выбор системы координат, жесткосвязанной с твердым телом, договорившись выбирать оси этой системы вдоль главныхосей инерции тела.

Тогда выражение (4.38) существенно упрощается:¢µṘ2 1 ¡+Ix0 Ω2x0 + Iy0 Ω2y0 + Iz0 Ω2z0 .(4.39)22Заметим, что из этой формулы нетрудно найти выражение для момента импульса вращающегося тела. Выберем произвольно момент времени t0 и рассмотрим эволюцию телана малом отрезке времени [t0 , t0 + dt]. По определению вектора dϕ, его проекции на осиподвижной системы (dϕ)x0 , (dϕ)y0 , (dϕ)z0 определяют углы поворота тела вокруг этих осейза время dt.

Эти проекции однозначно определяют положение тела в любой момент времени от t0 до t0 + dt по его положению в момент времени t0 . Если временно принять их заобобщенные координаты, то компоненты Ωx0 , Ωx0 ,Ωx0 будут играть роль соответствующихобобщенных скоростей. Поэтому согласно формуле (2.12) дифференцирование функцииЛагранжа по угловой скорости даст момент импульса тела:T =Mx0 =∂T∂L== Ix0 Ωx0 ,∂Ωx0∂Ωx0My0 = Iy0 Ωy0 ,55Mz0 = Iz0 Ωz0 .(4.40)Глава 4. Интегрирование уравнений движенияВ силу произвольности t0 эти формулы будут справедливы для всех моментов времени.Для того чтобы выразить T через эйлеровы углы, нам остается найти проекции угловой скорости на оси подвижной системы.

Для этого снова рассмотрим движение телана бесконечно малом промежутке времени [t0 , t0 + dt]. За это время углы φ, θ, ψ получают приращения dφ, dθ, dψ, соответственно. Данный поворот тела можно представить какпоследовательность трех элементарных поворотов, при которых меняется лишь одна угловая координата, а остальные две фиксированы. При этом, выполняя второй или третийповорот, можно пренебречь приращениями углов, которые они получили на предыдущихэтапах, в силу малости этих приращений. По этой же причине порядок поворотов неважен. Тогда по определению углов Эйлера вектор dφ будет направлен по оси z, векторdθ – по линии пересечения плоскостей (x, y) и (x0 , y 0 ) (называемой линией узлов), и векторdψ – по оси z 0 (см.

Рис. 8). Разлагая эти векторы по осям подвижной системы координати суммируя три вклада, получим(dϕ)x0 = dφ sin θ sin ψ + dθ cos ψ ,(dϕ)y0 = dφ sin θ cos ψ − dθ sin ψ ,(dϕ)z0 = dφ cos θ + dψ .(4.41)Деля эти уравнения на dt и учитывая определение (4.34) вектора угловой скорости, находим проекции этого вектора на оси подвижной системыΩx0 = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ ,Ωy0 = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ ,Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ .(4.42)Подстановка в выражение (4.39) даетT =µṘ2 1 nIx0 (φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ)2 + Iy0 (φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ)2+22o+Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 .(4.43)Наконец, функция Лагранжа твердого тела получается отсюда вычитанием потенциальной энергии тела как функции его обобщенных координат:L = T (θ, ψ, φ̇, θ̇, ψ̇, Ṙ) − U (R, φ, θ, ψ) .После этого следует переходить к пп.

D,E алгоритма.Рассмотрим теперь примеры.Пример 10. Тензор моментов инерции жесткого ротатора. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, скрепленных жестким невесомым стержнем. Такуюсистему называют жестким ротатором. Примером ротатора может служить двухатомная молекула, у которой не возбуждены колебания. Обозначим расстояние между атомами через l и выберем ось z 0 по оси ротатора. Затем совместим начало координат с центроминерции ротатора, потребовав m1 z10 + m2 z20 = 0. Поскольку |z10 − z20 | = l, то из этих соотношений следует, что z10 = −m2 l/(m1 + m2 ), z20 = m1 l/(m1 + m2 ) (считая, что z20 > z10 .)56§4.3. Движение твердого телаПоскольку x0 , y 0 -координаты точек равны нулю, то из формулы (4.37) следует, что из всехкомпонент тензора инерции отличны от нуля лишь Ix0 x0 , Iy0 y0 , причемIx0 x0 = Iy0 y0 =2Xµmi ρ2i= m1i=1m2 lm1 + m2¶2µ+ m2m1 lm1 + m2¶2= ml2 ,где m есть приведенная масса ротатора.

Поскольку тензор I αβ получился диагональным,то найденные значения являются главными моментами инерции ротатора.Пример 11. Тензор моментов инерции однородного шара. Вычислим тензор моментов однородного шара массы M и радиуса R. В силу сферической симметрии центр инерциишара находится в его центре, а тензор инерции диагонален, причем Ix0 = Iy0 = Iz0 ≡ I.Имеем:3I = Ix0 + Iy0 + Iz0 =NXmi©δ 11 ρ2i−x02iª+i=1= 2NXNXN© 22 2ª X©ª02mi δ ρi − yi +mi δ 33 ρ2i − zi02i=1i=1mi ρ2i .(4.44)i=1Здесь под mi следует понимать бесконечно малую массу, заключенную в элементе объемаdV шара: mi = ρdV, где ρ = M/V есть плотность тела, а под суммой по i – интеграл повсему его объему. Таким образом,2I=3Z2ρr ρdV =3ZR2Vr2 4πr2 dr =8π 5ρR ,150или2I = M R2 .5(4.45)Пример 12.

Свободное движение симметрического волчка. Твердое тело, у которогокакие-либо два главных момента инерции равны, называют симметрическим волчком.Таковым будет, например, любое тело, обладающее осью симметрии четвертого (или выше) порядка. Договоримся нумеровать оси так, чтобы Ix0 = Iy0 . В отсутствие внешних силфункция Лагранжа симметрического волчка имеет видL =oµṘ2 1 n+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 .22(4.46)Координаты R, φ, ψ являются циклическими.