К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику, страница 13

приливные силы замедляютвращение). Текущие значения параметров, входящих в это уравнения, таковы:m⊕= 81 ,mLΩ⊕= 27 ,ωR⊕= 1/60 .rПри этих значениях решением уравнения (4.69) является x ≈ 0, 53, т.е. продолжительность земных суток составит 1месяц/0, 53 ≈ 27 · 24 часа/0, 53 ≈ 1220 часов. При этомr0 = rx−2/3 ≈ 1, 53r.62§5.1. Уравнения ГамильтонаГлава 5.§5.1.КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМУравнения ГамильтонаОсновной величиной, определяющей механические свойства систем в формализмеЛагранжа, является функция Лагранжа L(q, q̇, t). В рамках самой классической механикиэта функция не имеет непосредственного физического смысла. Для решения ряда задачклассической механики, а также при формулировке перехода к квантовой теории удобноработать с величинами, более тесно связанными с механическими свойствами систем.

Оказывается, что уравнения движения механики можно представить в виде, в котором рольосновной величины, определяющей механические свойства системы, играет обобщеннаяэнергия системы, а в качестве независимых переменных используются обобщенные координаты и обобщенные импульсы системы. Математически такой переход осуществляетсяс помощью так называемого преобразования Лежандра, которое состоит в следующем.Построим полный дифференциал функции ЛагранжаssXX∂L∂L∂LdL(q, q̇, t) =dqα +dq̇α +dt .∂qα∂ q̇α∂tα=1α=1(5.1)Величина ∂L/∂ q̇α есть, по определению, обобщенный импульс pqα , соответствующий обобщенной координате qα .

Для краткости, обозначение pqα будет сокращаться ниже до pα .С этим обозначением, а также с помощью уравнений Лагранжа равенство (5.1) можнопереписать так:dL(q, q̇, t) =sXṗα dqα +α=1sXpα dq̇α +α=1∂Ldt .∂t(5.2)Правая часть уравнения (5.2) содержит дифференциалы независимых переменных q, q̇ иt. Для того чтобы перейти от этого набора к новому набору независимых переменныхq, p, t, напишем тождественноpα dq̇α = d(pα q̇α ) − q̇α dpα ,α = 1, ..., sи представим уравнение (5.2) в видеà s!ssXXX∂Ldt .dpα q̇α − L(q, q̇, t) = −ṗα dqα +q̇α dpα −∂tα=1α=1α=1(5.3)Тот факт, что правая часть этого тождества содержит дифференциалы переменных q, p, tозначает, что величина, стоящая в его левой части под знаком полного дифференциала,также может быть выражена как функция этого набора переменных.

В соответствии сопределением (2.13), эта величина численно совпадает с обобщенной энергией системы.Выраженная через обобщенные координаты и импульсы (и время), она называется функцией Гамильтона системы и обозначается через H(q, p, t). Таким образом, по определению, при построении функции Гамильтона переменные q, p рассматриваются как независимые переменные, аналогично тому, как в функции Лагранжа независимыми являютсяпеременные q, q̇. Для того чтобы получить эту функцию, следует разрешить определение63Глава 5.

Канонический формализмp = ∂L/∂ q̇ относительно q̇ и подставить результат в функцию E(q, q̇, t):à s!¯¯X¯H(q, p, t) =pα q̇α − L(q, q̇, t) ¯.¯α=1q̇=q̇(p,q)Расписав явно полный дифференциал функции H(q, p, t) в левой части (5.3), получимsX∂Hα=1sssXXX∂H∂H∂Ldqα +dpα +dt = −ṗα dqα +q̇α dpα −dt .∂qα∂p∂t∂tαα=1α=1α=1(5.4)Приравнивая коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в этом тождестве, находим следующие уравнения∂H, α = 1, ..., s ,∂qα∂Hq̇α =, α = 1, ..., s ,∂pα∂H∂L= −.∂t∂tṗα = −(5.5)(5.6)(5.7)Уравнения (5.5), (5.6) представляют собой систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s функций qα (t), pα (t), α = 1, ..., s, которые заменяют s уравнений второго порядка (1.16) лагранжева формализма. Эти уравнения называются уравнениямиГамильтона или каноническими уравнениями.A.Интегрирование уравнений ГамильтонаДля нахождения закона движения системы необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения (5.5), (5.6).

Так же как и в формализме Лагранжа, для этого надосначала исследовать систему на наличие законов сохранения. Если пространство однородно или изотропно по каким-либо направлениям, следует выписать соответствующиезаконы сохранения (2.5), (2.8), выразив левые их части через обобщенные координаты иобобщенные импульсы. В таком виде они будут представлять интегралы уравнений Гамильтона.

В случае однородности задачи по времени следует записать закон сохраненияобобщенной энергии (2.13). Как мы знаем, признаком сохранения обобщенной энергии является равенство нулю частной производной ∂L/∂t. Из уравнения (5.7) следует, что приэтом и ∂H/∂t = 0. Таким образом, если функция Гамильтона системы не зависит явно отвремени, то имеет место закон сохраненияH(q, p) = const .Найденные законы сохранения следует дополнить уравнениями из набора (5.5), (5.6) так,чтобы в результате получить 2s независимых уравнений для 2s функций qα (t), pα (t), α =1, ..., s и проинтегрировать полученную систему уравнений.64§5.1. Уравнения ГамильтонаПример 15.

Функция Гамильтона гармонического осциллятора. Функция Лагранжа гармонического осциллятораmẋ2 mω 2 x2L(x, ẋ) =−,22где m, ω – масса и частота осциллятора. Из выражения для обобщенного импульса осциллятора∂Lp== mẋ∂ ẋнаходим обобщенную скоростьpẋ =.mПодставляя это выражение в обобщенную энергию осциллятораE=mẋ2 mω 2 x2+,22находим его функцию ГамильтонаH(x, p) =mω 2 x2p2+.2m2(5.8)Пример 16. Функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле.

Из функции Лагранжа (1.22) находим обобщенный декартов импульс частицы в электромагнитном поле∂Lqp== mṙ + A(r, t) .∂ ṙcОтсюда´1 ³qṙ =p − A(r, t) .(5.9)mcПодставляя это выражение в обобщенную энергию (2.17), получаем функцию Гамильтона´21 ³qH(r, p, t) =p − A(r, t) + qϕ(r, t) .2mcПример 17. Гармонический осциллятор с частотой, зависящей от амплитуды. Рассмотримодномерную систему, функция Гамильтона которой имеет видµ 2¶2p2mω 2 x2pmω 2 x2H(x, p) =++λ+,(5.10)2m22m2где m, ω, λ – постоянные положительные параметры. Найдем закон движения системы.Поскольку функция Гамильтона (5.10) не зависит от времени явно, то имеем закон сохраненияµ 2¶2mω 2 x2pmω 2 x2p2++λ+= const ,2m22m2откуда следует, чтоp2mω 2 x2+=C,2m265(5.11)Глава 5. Канонический формализмс некоторой положительной постоянной C.

Это уравнение связывает две неизвестныхфункции x(t), p(t). Дополним его уравнением (5.6):µ 2¶∂H(x, p)ppmω 2 x2 pẋ ==+ 2λ+.∂pm2m2mВыражая здесь p через x с помощью (5.11), получаем дифференциальное уравнение дляфункции x(t) :r2Cẋ = ±(1 + 2λC)− ω 2 x2 ,mинтегрируя которое путем разделения переменных, находимr2Cx(t) =sin {(1 + 2λC)ω(t − t0 )} .mω 2Этот pзакон описывает гармоническое колебание с частотой Ω = (1 + 2λC)ω и амплитудойA = 2C/mω 2 .

Другими словами, частота рассматриваемых колебаний зависит от ихамплитуды согласноΩ = ω(1 + λmω 2 A2 ) .B.Скобки ПуассонаУравнения Гамильтона можно представить в формально симметричном виде, если ввести так называемую скобку Пуассона, определенную для двух функций обобщенных координат и обобщенных импульсов f (q, p), g(q, p) (эти функции также могут зависеть отвремени или от каких-либо других параметров):¶s µX∂f ∂g∂f ∂g{f, g} =−.∂p∂q∂q∂pααααα=1(5.12)Тогда уравнения (5.5) и (5.6) могут быть переписаны в видеṗα = {H, pα } ,q̇α = {H, qα } ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s .(5.13)(5.14)Действительно, учитывая независимость переменных q, p, имеем, например,¶ss µXX∂H∂H ∂pα ∂H ∂pα∂H−=−δαβ = −.{H, pα } =∂pβ ∂qβ∂qβ ∂pβ∂qβ∂qαβ=1β=1Заметим, что с помощью скобок Пуассона можно компактно записать выражение дляполной производной по времени от произвольной функции f (q, p, t), а именно, используяуравнения Гамильтона, получае춶s µs µXX∂f∂f∂f∂f ∂H∂f ∂H∂fdf=q̇α +ṗα +=−+,dt α=1 ∂qα∂pα∂t∂qα ∂pα ∂pα ∂pα∂tα=166§5.1.

Уравнения Гамильтонаилиdf∂f= {H, f } +.dt∂t(5.15)Оказывается, что значение операции, определенной в (5.12), простирается гораздо дальше простых соображений удобства. Скобки Пуассона обладают рядом важных свойств,для вывода которых приведем сначала несколько простых правил их вычисления, непосредственно следующих из определения. Для любых функций f, g, h, зависящих от обобщенных координат и импульсов, а также, возможно, от некоторого параметра λ (ролькоторого может играть, например, время t){f, g}{f + h, g}{f h, g}∂{f, g}∂λ= −{g, f } ,= {f, g} + {h, g} ,= h{f, g} + f {h, g} ,¾½¾ ½∂f∂g=, g + f,.∂λ∂λ(5.16)(5.17)(5.18)(5.19)Докажем, например, свойство (5.18). Имеем¶s µX∂(f h) ∂g∂(f h) ∂g{f h, g} =−∂pα ∂qα∂qα ∂pαα=1µ¶sX∂h ∂g∂f ∂g∂h ∂g∂f ∂g=+f−h−fh∂p∂q∂p∂q∂q∂p∂qα ∂pαααααααα=1¶¶s µs µXX∂f ∂g∂f ∂g∂h ∂g∂h ∂g= h−−+f∂pα ∂qα ∂qα ∂pα∂pα ∂qα ∂qα ∂pαα=1α=1= h{f, g} + f {h, g} .Докажем теперь следующее важное и нетривиальное свойство скобок Пуассона: для любых трех функций f, g, h справедливо тождество Якоби{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 .(5.20)Это тождество проверяется прямым вычислением.

Левая его часть представляет собой сумму членов, каждый из которых пропорционален второй производной одной изфункций f, g, h по переменным q, p. В силу симметрии относительно перестановки этихфункций, достаточно доказать, что каждая из производных ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , ∂ 2 f /∂qα ∂qβ ,∂ 2 f /∂qα ∂pβ входит в левую часть (5.20) с нулевым коэффициентом. Проверим это, например, для вторых производных ∂ 2 f /∂pα ∂pβ . Отмечая члены, не содержащие производных67Глава 5. Канонический формализм∂ 2 f /∂pα ∂pβ , многоточием, имеем{f, {g, h}} = 0 + · · · ,()Ã!sssXXX∂h ∂f∂g ∂∂h ∂f{g, {h, f }} = g, −+ ··· = −−+ ···∂qα ∂pα∂qβ ∂pβ∂qα ∂pαα=1α=1β=1sX∂g ∂h ∂ 2 f+ ··· ,=∂qβ ∂qα ∂pβ ∂pαα,β=1)Ã s!(ssXX ∂f ∂gX∂f ∂g∂h ∂+ ··· = −+ ···{h, {f, g}} = h,∂pα ∂qα∂q∂pβ ∂pβα ∂qαα=1α=1β=1ssXX∂h ∂ 2 f ∂g∂h ∂ 2 f ∂g= −+ ··· = −+ ··· .∂q∂qβ ∂pβ ∂pα ∂qαα ∂pα ∂pβ ∂qβα,β=1α,β=1Складывая эти выражения и учитывая перестановочность вторых производных, мы видим, что члены, содержащие производные ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , действительно сокращаются.Теперь с помощью тождества Якоби мы докажем следующее интересное утверждение,называемое теоремой Пуассона: Если две функции f (q, p, t) и g(q, p, t) являются интегралами движения, т.е.

f˙ = ġ = 0, то интегралом движения является и их скобка Пуассона{f, g} . Доказательство. Поскольку по условию теоремы f и g остаются постоянными придвижении системы, то из формулы (5.15) следует, что∂f= −{H, f } ,∂t∂g= −{H, g} .∂t(5.21)Вычислим полную производную по времени от {f, g} по формуле (5.15):d{f, g}∂{f, g}= {H, {f, g}} +.dt∂tПрименяя правило (5.19) дифференцирования скобки Пуассона по параметру и учитываяуравнения (5.21), получаемd{f, g}= {H, {f, g}} − {{H, f }, g} − {f, {H, g}} ,dtили, переставляя аргументы скобок Пуассона по правилу (5.16),d{f, g}= {H, {f, g}} + {g, {H, f }} + {f, {g, H}} .dtПравая часть последнего равенства равна нулю в силу тождества Якоби. Теорема доказана.C.Вычисление скобок ПуассонаПрактически наиболее удобно вычислять скобки Пуассона, последовательно упрощаяих с помощью правил (5.16) – (5.18).

Если хотя бы один из аргументов данной скобки68§5.1. Уравнения ГамильтонаПуассона является полиномом по обобщенным координатам и обобщенным импульсам,то в результате такого упрощения приходят к скобкам Пуассона вида {qα , f } или {pα , f }.Из определения (5.12) следует, что{qα , f } = −∂f,∂pα{pα , f } =∂f.∂qα(5.22)В частности,{pα , qβ } = δαβ ,{qα , qβ } = 0 ,{pα , pβ } = 0 .(5.23)Скобки (5.23) называют фундаментальными скобками Пуассона.Пример 18. Скобки Пуассона компонент момента импульса. Найдем скобки Пуассона x, yкомпонент момента импульса частицы, предполагая, что обобщенными координатами являются декартовы компоненты ее радиус-вектора. Имеем{Mx , My } = {(ypz − zpy ), (zpx − xpz )}= {ypz , zpx } − {zpy , zpx } − {ypz , xpz } + {zpy , xpz }= y{pz , z}px + py {z, pz }x .(5.24)Для краткости, в последней строке здесь выписаны лишь члены, содержащие ненулевыефундаментальные скобки Пуассона.

Подставляя сюда {pz , z} = −{z, pz } = 1, находим{Mx , My } = ypx − py x = −Mz .Аналогично можно получить формулы{My , Mz } = −Mx ,{Mz , Mx } = −My .Из этих формул и теоремы Пуассона следует, что если проекции момента импульса накакие-либо две декартовы оси (инерциальной) системы отсчета сохраняются, то сохраняется также и его проекция на третью ось.Пример 19. Скобки Пуассона компонент скорости частицы в электромагнитном поле.