К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику

Московский Государственный УниверситетФизический ФакультетВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮИ КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУК. А. Казаков1c°K.A. Kazakov (2008)2ОглавлениеОглавлениеПредисловие71. Формализм Лагранжа§1.1. Основная задача механики§1.2. Уравнения Лагранжа для одной материальной точки§1.3. Уравнения Лагранжа для системы материальных точек при наличии связейПример 1: функция Лагранжа в цилиндрических координатах§1.4. Включение диссипативных и электромагнитных силПример 2: движение в поле тяжести при наличии связей с трениемПример 3: движение в однородном магнитном поле2.

Законы сохранения. Принцип наименьшего действия§2.1. Законы сохранения импульса и момента импульсаПример 4: циклические координаты§2.2. Закон сохранения энергииПример 5: обобщенная энергия в электромагнитном поле§2.3. Принцип наименьшего действия3. Интегрирование уравнений движения§3.1. Движение с одной степенью свободыПример 7: финитное и инфинитное движениеПример 8: математический маятник§3.2. Задача двух тел§3.3.

Движение в кулоновом полеA. Кулоново поле притяжения. Законы Кеплера§3.4. Задача рассеяния. Формула Резерфорда4. Интегрирование уравнений движения (продолжение)§4.1. Колебания систем со многими степенями свободыA. Невырожденный случайB. Вырожденный случай§4.2. Колебания молекулПример 9: колебания трехатомной линейной молекулы§4.3. Движение твердого телаПримерПримерПримерПримерПример10:11:12:13:14:тензор моментов инерции жесткого ротаторатензор моментов инерции однородного шарасвободное движение симметрического волчкадвижение тяжелого симметрического волчкавлияние приливных сил на движение системы Земля-Луна5.

Канонический формализм§5.1. Уравнения ГамильтонаA. Интегрирование уравнений ГамильтонаПример 15: функция Гамильтона гармонического осциллятораПример 16: функция Гамильтона частицы в электромагнитном поле3888101314161618182222232426262929303335384141444446485356575758616363646565ОглавлениеПример 17: гармонический осциллятор с частотой, зависящей от амплитудыB. Скобки ПуассонаC. Вычисление скобок ПуассонаПример 18: скобки Пуассона компонент момента импульсаПример 19: скобки Пуассона скорости частицы в магнитном поле§5.2. Принцип наименьшего действия§5.3.

Канонические преобразованияПример 20: точечные преобразованияПример 21: гармонический осциллятор§5.4. Бесконечно-малые канонические преобразованияA. Теорема об инвариантности скобок ПуассонаB. Теорема об инвариантности фазового объема§5.5. Действие как функция координат и времениA. Зависимость действия от координатB. Зависимость действия от времениC. Теорема ЛиувилляD.

Уравнение Гамильтона-ЯкобиE. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-ЯкобиПример 22: движение в поле электрического диполя6. Переход от классической к квантовой механике§6.1. Уравнение Гамильтона-Якоби как классический предел уравненияШредингера§6.2. Основные предположения квантовой теории§6.3. Механика квазиклассической частицыA. Свободное движение. Волны де БройляB. Классические траектории с точки зрения квантовой механикиC. Финитное движение с определенной энергией. Правило квантованияБора-ЗоммерфельдаПример 23: квантование энергии гармонического осциллятораПример 24: модель Бора атома водорода7. Основные положения квантовой механики§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторыПример 25: функции из пространства MПример 26: линейные операторыПример 27: обратные операторы, произведения и коммутаторы§7.2.

Эрмитовы операторыA. Скалярное произведение и пространство состоянийB. Эрмитово сопряжениеПример 28: отыскание эрмитово-сопряженных операторов§7.3. Постулаты квантовой механикиПримерПримерПримерПример29:30:31:32:функции из пространства Sэрмитовость операторов координат и импульсовкоммутаторы операторов координат и импульсовгамильтониан гармонического осциллятора465666869697071747475757677777880818384878788929294959899101101103103104106106107109110113113114114ОглавлениеПример 33: оператор производной по времени физической величины§7.4. Вычисление распределений вероятностей физических величинA.

Собственные функции и собственные значения операторов. Теорема оразложенииПример 34: собственные функции оператора инверсииПример 35: собственные функции оператора импульсаB. Распределения вероятностей для величин с дискретным спектромC. Распределение вероятностей обобщенного импульса§7.5. Совместная измеримость физических величинA.

Коммутативность и совместимостьB. Принцип неопределенности8. Одномерное движение§8.1. Стационарное уравнение Шредингера§8.2. Качественное исследование уравнения Шредингера. Типы энергетическихспектровПример 36: сравнение классических и квантовых типов движения§8.3. Свойства гладкости волновой функции. Условия сшиванияA. Прямоугольный потенциальный барьер. Коэффициенты отражения ипрохожденияB.

Симметричная прямоугольная потенциальная ямаПример 37: бесконечно глубокая ямаПример 38: мелкая ямаПример 39: сила, действующая на стенку ямы§8.4. Четность состояния§8.5. Гармонический осцилляторПример 40: дисперсия координаты и импульса осциллятора§8.6. Движение в периодическом полеA. Функции БлохаB. Задача Кронига-Пенни9. Трехмерное движение§9.1. Разделение переменных§9.2. Прямоугольный потенциальный ящик§9.3. Постоянное однородное магнитное поле§9.4. Свойства оператора момента импульсаA. Коммутационные соотношенияПример 41: средние значения компонент моментаB.

Собственные функции и собственные значенияПример 42: флуктуации компонент моментаПример 43: собственные функции момента с l = 0, 1, 2§9.5. Центрально-симметричное полеПример 44: нормированные собственные функции момента с l = 0, 1§9.6. Двухатомная молекула§9.7. Кулоново полеПример 45: атом водорода5115115115118118120123127127130132132133141142143150152156157158160164165165167169169171173175175176177181181182184185191194Оглавление10.

Матрицы операторов§10.1. Определение и основные свойстваA. Переход в φ-представление§10.2. Матрицы координаты и импульса гармонического осциллятора19719719820011. Спин§11.1. Оператор спина§11.2. Спин 1/2202202205205207208213214218Пример 46: среднее значение и флуктуация проекции спина§11.3. Бозоны и фермионы§11.4. Сложение спиновПример 47: полные спин и момент электронов атома серебра§11.5. Опыт Штерна-Герлаха.

Уравнение ПаулиПример 48: прецессия спина в магнитном поле12. Теория возмущений§12.1. Стационарная теория возмущенийA. Невырожденные собственные значенияB. Вырожденные собственные значенияПример 49: уровни энергии ангармонического осциллятораПример 50: поляризуемость двухатомной молекулыПример 51: взаимодействующие осцилляторы§12.2. Возмущения, зависящие от времениПример 52: возбуждение молекулы переменным полемРекомендуемая литература6219219221222223224226228229231ПредисловиеПредисловиеНастоящее Введение представляет собой запись лекций по механике, читаемых автором в течение ряда лет студентам второго курса Химического факультета МГУ.

Перваяего часть (главы 1–5) посвящена теоретической механике и имеет две основные задачи: вопервых, дать представление об основных методах теоретической механики, и, во-вторых,изложить материал, необходимый для изучения квантовой механики. В первых двух главах излагается метод Лагранжа, применение которого затем иллюстрируется в третьейи четвертой главах решением задачи двух тел, задачи о малых колебаниях систем сомногими степенями свободы и задачи о движении твердого тела. Пятая глава посвященаизложению канонического аппарата – методов Гамильтона и Гамильтона-Якоби. Последний не только является самым мощным методом решения задач теоретической механики,но и наиболее удобен для перехода к изложению квантовой механики.

Для того чтобысделать этот переход по возможности более наглядным и естественным, в главе 6 краткообсуждаются те концептуальные изменения, которые требуется произвести в механикепри переходе к описанию явлений микромира, и формулируются основные предположения квантовой теории. Затем из них выводятся некоторые простые следствия, касающиеся поведения квазиклассических систем – систем, проявляющих квантовые свойства, но вопределенном смысле еще близких к классическим.

Рассмотрение таких систем позволяетпросто ввести и объяснить значение фундаментальных понятий квантовой теории – волнде Бройля, принципа суперпозиции, квантования энергии и др. В главе 7 основные предположения формализуются и принимаются в качестве постулатов квантовой механики,после чего она излагается уже замкнуто, без ссылок на классическую механику. Развитый в главе 7 аппарат применяется в последующих главах к исследованию простейшихквантовых систем – движению частиц в прямоугольных потенциалах, осциллятору, атомуводорода, двухатомной молекуле и т.д. Эти задачи разбираются максимально подробно сцелью сделать понятными все шаги в их решении, включая и те, которые кажутся “очевидными.” Поэтому выкладки приводятся полностью и со всеми деталями, ad nauseam.Как показывает опыт, в преподавании квантовой механики нельзя опускаться нижеопределенного уровня в смысле математической аккуратности, иначе простая и логически совершенная система квантовомеханических постулатов и их следствий распадаетсяв бессвязный набор правил и различных ad hoc предписаний.