МатАн План лекций 2012-13 (Второй поток), страница 9

Полярные координаты.Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан.2.7.4.Тройной интеграл.Понятие и свойства тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному. Ортогональныекоординаты в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты. Замена переменных втройном интеграле. Якобиан.2.7.5.Приложения кратных интегралов.Вычисление координат центра масс. Вычисление среднего значения и дисперсии.Читать:[МАВЗ] Глава XII, §1, 2, стр. 279-300.[ЗУМА] Часть 2, Глава II, §2, 3, стр. 43-67.15.

Лекция k1-c2-15-а16. Криволинейные интегралы.2.8.Криволинейные интегралы.2.8.1.Криволинейный интеграл первого рода.Криволинейные интегралы первого рода (определение, вычисление с помощью определенного интеграла).2.8.2.Криволинейный интеграл второго рода.Криволинейные интегралы второго рода (определение, вычисление с помощью определенного интеграла, связь с криволинейными интегралами первого рода).16. Лекция k1-c2-16-а21. Формула Грина.2.8.3.Формула Грина.Формула Грина.

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Физические приложения криволинейных интегралов первого и второго рода.Москва 2012-201324Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.201217. Лекция k1-c2-17-а28. Плоские кривые, 1.2.8.4.Касание плоских кривых.Понятие плоской кривой. Различные формы уравнения плоской кривой.Касание плоских кривых.

Порядок касания. Необходимые и достаточные условия касания заданногопорядка. Соприкасающаяся окружность.2.8.5.Кривизна плоской кривой.Кривизна плоской кривой. Круг, центр и радиус кривизны.18. Лекция k1-c2-18-а30. Плоские кривые, 2.2.8.6.Огибающая семейства плоских кривых.Огибающая однопараметрического семейства кривых. Необходимое условие огибающей.

Дискриминантная кривая параметрического семейства кривых.19. Лекция k1-с2-19-й05. Поверхностные интегралы первого рода.2.9.Поверхностные интегралы.2.9.1.Понятие поверхности.Понятие поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.2.9.2.Площадь поверхности.Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого рода.20. Лекция k1-с2-20-й12. Поверхностные интегралы второго рода.2.9.3.Поверхностные интегралы второго рода.Поверхностные интегралы второго рода.21.

Лекция k1-с2-21-й14. Основные интегральные тождества.2.9.4.Формула Остроградского - Гаусса. Формула Остроградского – Гаусса.2.9.5.Формула Стокса. Формула Стокса.3. Курс 2, семестр 1 (22 лекций, 18+10 семинаров)1. Лекция k2-01. Дифференциальные операции.3.1.Скалярные и векторные поля.3.1.1.Дифференциальные операции.Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях. Оператор Гамильтона.Инвариантные определения градиента, дивергенции и ротора. Формулы векторного анализа первогопорядка.2. Лекция k2-02.

Дифференциальные операции второго порядка.3.1.2.Дифференциальные операции второго порядка.Дифференциальные операции второго порядка в скалярных и векторных полях. Квадрат оператораГамильтона. Формулы векторного анализа второго порядка.Москва 2012-201325Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20123. Лекция k2-03. Потенциальные и соленоидальные поля.3.1.3.Потенциальные векторные поля.Понятие потенциального поля. Поверхностно односвязные области.Теорема о независимости работы потенциального поля от пути интегрирования.Методика вычисления потенциала.3.1.4.Соленоидальные векторные поля.Понятие соленоидального поля.

Объемно односвязные области.Теорема о потоке.Понятие векторного потенциала. Методика вычисления.4. Лекция k2-04. Числовые ряды с положительными членами.3.2.Числовые ряды.3.2.1.Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.Числовой ряд и его основные элементы. Общий член, частичная сумма, остаток. Сходимость и свойства сходящихся рядов. Арифметические операции с числовыми рядами.3.2.2.Прямое вычисление суммы ряда.Методика вычисления суммы рядов типа∑+∞xk ,k =0∑+∞kx k ,k =1∑1.k =1k (k + 1)+∞3.2.3.Критерий Коши.Условие Коши. Критерий Коши. Примеры применения критерия Коши для доказательства сходимости и расходимости.

Необходимое условие сходимости ряда.3.2.4.Признаки сходимости рядов с положительными членами.Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Общий признак сравнения. Общий при+∞ 1знак сравнения в предельной форме. Интегральный признак.

Сходимость ряда ∑ k =1 p при различkных значениях p . Признак сравнения с обобщенным гармоническим рядом. Сходимость ряда∑+∞k =0q k при различных значениях q . Признаки Даламбера и Коши.Читать:[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §35.1-35.4, стр. 477-495.[ИСС2] Глава 1, §1-2, стр. 7-28.5. Лекция k2-05.

Ряды с членами произвольного знака.3.2.5.Знакочередующиеся ряды.(−1) kЗнакочередующиеся ряды, признак сходимости Лейбница. Сходимость ряда ∑ k =1 α .k+∞3.2.6.Знакопеременные ряды.Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема Римана.Признаки сходимости знакопеременных рядов.+∞ sin kxПризнаки Дирихле и Абеля. Сходимость ряда ∑ k =1 p при различных значениях k и p .kЧитать:3.2.7.Москва 2012-201326Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §35.5-35.7, стр.

496-513 (доказательства опускаем).[ИСС2] Глава 1, §3-5, стр. 28-43.6. Лекция k2-06. Функциональные последовательности и ряды.3.3.Функциональные ряды.3.3.1.Понятие равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.Понятие равномерной сходимости. Определение равномерной сходимости. Примеры исследованияравномерной сходимости последовательностей:1) f n ( x) = x n , x ∈ [ 0;1] .2) f n ( x) = x n , x ∈ ( 0;1) .13) f n ( x) = x n , x ∈  0;  . 2 4) f=nx n (1 − x ) , x ∈ [ 0;1] .n ( x)Примеры исследования равномерной сходимости рядов:+∞1) S ( x ) = ∑ k =1 x k , x ∈ [ 0;1) .xk, x ∈ [ 0;1) .kk+∞ x3) S ( x ) = ∑ k =0 , x ∈ [ 0, b ] , b > 0 .k!2) S ( x ) = ∑ k =1+∞3.3.2.Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.Критерий Коши.

Признак Вейерштрасса. Признак Абеля-Дирихле.Читать:[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §36.1-36.3, стр. 514-535, §37.6, стр. 560-562.[ИСС2] Глава 2, §1-2, стр. 67-83.7. Лекция k2-07. Свойства равномерно сходящихся функциональныхрядов.3.3.3.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.Предельный переход, дифференцирование и интегрирование по параметру. Теоремы о корректностиэтих операций. Вычисление суммы ряда методом дифференцирования по параметру.Читать:[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §36.1-36.3, стр.

514-535, §37.6, стр. 560-562.[ИСС2] Глава 2, §3-4, стр. 83-97.8. Лекция k2-08. Степенные ряды.3.3.4.Степенные ряды.Понятие степенного ряда. Область сходимости. Радиус сходимости. Почленное дифференцированиестепенного ряда. Вычисление суммы степенного ряда методом дифференцирования и интегрирования по параметру.Читать:[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §37.1, стр. 536-542.[ИСС2] Глава 2, §6-7, стр. 102-116.Москва 2012-201327Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20129. Лекция k2-09. Ряды Тейлора.3.3.5.Ряды Тейлора.Ряд Тейлора.

Область сходимости, радиус сходимости и формула для его вычисления. Степенныеряды, порожденные геометрической прогрессией. Ряды Тейлора для экспоненциальной, логарифмической функции. Разложение в ряд Тейлора тригонометрических и обратных тригонометрическихфункций. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.Читать:[Кудрявцев, том 1] Глава 4, §37.4, стр. 547-560.[ИСС2] Глава 2, §7, стр.

102-116.10. Лекция k2-10. Сходимость в среднем.3.3.6.Сходимость в среднем.Сходимость в среднем. Теорема Арцела.[ИСС2] Глава 2, §4, стр. 94-97.11. Лекция k2-11. Несобственные интегралы.3.4.Несобственные интегралы.3.4.1.Несобственные интегралы функции одной переменнойНесобственный интеграл - обобщение понятия площади для определенных классов неограниченныхплоских областей. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (I рода).Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода). Понятие сходимости.

Сходящиесяи расходящиеся несобственные интегралы.Эталонные интегралы+∞ dx1 dxСходимость и расходимость ∫, ∫ p при различных значениях p . Сходимость и расходимостьp01xx+∞+∞dx− pxприразличныхзначенияхи.Сходимостьирасходимостьpq∫a x p ln q x∫a e dx при различныхзначениях p .3.4.2.3.4.3.Методы исследования сходимостиПонятие эталонного интеграла.

Признаки сравнения для несобственных интегралов от неотрица+∞ dx1 dxтельных функций. Предельный признак сравнения (сравнение с ∫или с ∫ p ). Примеры схоp0 x1xдящихся и расходящихся несобственных интегралов.Читать:[ЗУМА] Часть 2, Глава II, §1, стр. 236-246.[Кудрявцев, том 1] Глава 3, §33.1-333., стр. 442-456, §34.1-34.3, стр. 459-469.[ИСС1] Глава 9, §Д1-Д3, стр. 370-391.[ИСС2] Глава 7, §3, стр.

259-267.12. Лекция k2-12. Свойства несобственных интегралов.3.4.4.Методы вычисления несобственных интеграловЗамена переменной в несобственных интегралах. Интегрирование по частям. Сходимость и расходимость∫+∞a∫+∞ae − px sin qx dx при различных значениях p , q . Сходимость и расходимостьt − p sin(q ln t ) dt при различных значениях p и q .Москва 2012-201328Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20123.4.5.Абсолютная и условная сходимостьАбсолютно сходящиеся несобственные интегралы.