МатАн План лекций 2012-13 (Второй поток), страница 5

Понятие неопределенности типа .0 Теорема о сумме бесконечно малой функции и ограниченной функции в точке, o(1) + O(1) =O(1) . Теорема о произведении бесконечно малой функции и ограниченной функции в точке,o(1) ⋅ O(1) =o(1) (для самостоятельной работы).1.1.11. Теоремы о пределах функций. Теоремы о пределе суммы двух функций (с доказательством), о пределе разности, о пределе произведения и о пределе частного (для самостоятельной работы). Теоремы о предельном переходе в неравенствах.1.1.12.

Бесконечно большие функции.Определение бесконечно большой положительной функции в точке. Определение бесконечно большой отрицательной функции в точке.  Соотношение понятий бесконечно малой функции и бесконечно большой функции (теорема, для самостоятельной работы).  Соотношение понятий бесконечно большой функции и неограниченной функции. (теорема, для самостоятельной работы). Арифметические операции над бесконечно большими функциями: сумма, произведение.

Понятие неопределенности типа +∞ − ∞ . Бесконечно большие функции при x → +∞ . Бесконечно большие функциипри x → −∞ .Читать:[МАВЗ] Глава III, §3, стр. 52-58.[ЗУМА] Глава II, §1, стр. 48-66.[ИСС1] Глава 3, §1-5, стр. 68-105.4. Лекция k1-s1-04. Сравнение бесконечно малых.1.1.13.Сравнение бесконечно малых функций.Определение o( x) при x → 0 , o( x n ) при x → 0 .

Определение o( x −1 ) , o( x − n ) при x → +∞ . Свойства o( x p ) . Доказательство асимптотических формулx x2xx1 + x =1 + + o( x) , 1 + x =1 + − + o( x 2 ) , 3 1 + x =1 + + o( x)2 823при x → 0 .Читать:[МАВЗ] Глава III, §3, стр. 52-58.[ЗУМА] Глава II, §1, стр. 48-66.[ИСС1] Глава 3, §1-5, стр. 68-105.1.1.14. Первый замечательный предел. Формула, выражающая первый замечательный предел. Геометрическая интерпретация.Асимптотические формулы sin x= x + o( x) , sin x= x + o( x 2 ) , cos x = 1 + o(1) , cos x = 1 + o( x) ,x2x33cos x =−1+ o( x ) , sin x =−1+ o( x 3 ) ,263xtg x= x + o( x 2 ) , tg x =x + + o( x 4 ) при x → 0 .3sin α xsin α x − sin β xВычисление пределов типа lim, lim,x → 0 sin β xx →0xМосква 2012-20138Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012cos(a + x) − cos asin(a + x) − sin a, lim,x →0x →0xxtg(a + x) − 2 tg a + tg( x − a )sin(a + x) − 2sin a + sin(a − x), lim,lim2x →0x →0x2xtg α xsin α x 2sin 3 x − 2sin 2 x + sin x,, lim.limlim23x → 0 tg β xx →0x →0xxЧитать:[МАВЗ] Глава III, §4, стр.

58-65.[ЗУМА] Глава II, §1, стр. 77-80.[ИСС1] Глава 3, §1-5, стр. 68-105.[ИСС1] Глава 4, §4, стр. 158-162.lim5. Лекция k1-s1-05. Второй замечательный предел.1.1.15. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Теорема о пределе монотонной ограниченной на интервале функции. Теорема о пределе монотонной ограниченной на полупрямой функции.1.1.16. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.Понятие последовательности. Понятие предела последовательности. Понятие ограниченной последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.1.1.17.Второй замечательный предел для последовательностей. 1 Неравенство Бернулли.  Монотонность последовательностей 1 +  nn(с доказательством) иn +1 11 +  (для самостоятельной работы). nФормула, выражающая второй замечательный предел для последовательностей.

Число e .1.1.18. Второй замечательный предел для функций. Формула, выражающая второй замечательный предел для функций.1.1.19.Применение второго замечательного предела.βx1 αВычисление пределов типа lim (1 + α x ) x , lim 1 +  , lim (1 + cos x ) x2 . Асимптотические формулыx →∞x →0x →0xx2ln(1 + x) =o(1) , ln(1 + x) =x + o( x) , применение для решения задач, ln(1 + x) =x − + o( x 2 ) при x → 02x2и аналогичные.

Асимптотические формулы e x = 1 + o(1) , e x =1 + x + o( x) , e x =1 + x + + o( x 2 )2при x → 0 и аналогичные и их применение для решения задач.Вычисление пределов, включающих тригонометрические и иррациональные функции.Читать:[МАВЗ] Глава III, §4, стр. 58-65.[ЗУМА] Глава II, §1, стр. 77-80.[ИСС1] Глава 3, §1-5, стр. 68-105.[ИСС1] Глава 4, §4, стр.

158-162.βМосква 2012-20139Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20126. Лекция k1-s1-06. Непрерывные функции.1.1.20.

Непрерывные функции одной переменной.Непрерывность функции одной переменной в точке. Односторонняя непрерывность справа и слева,связь с непрерывностью в точке.  Арифметические операции над непрерывными функциями (с доказательством). Непрерывность основных элементарных функций (для самостоятельной работы).1.1.21. Классификация точек разрыва.Точки разрыва устранимые, первого рода, второго рода. Примеры.1.1.22. Сложная функция.Понятие сложной функции.

 Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность многочлена и дробно-рациональной функции.1.1.23. Обратная функция.Понятие обратной функции.  Теорема о существовании и непрерывности обратной функции (только для монотонной функции). Непрерывность обратных тригонометрических функций. Непрерывность показательной и логарифмической функции. Графики.Читать:[МАВЗ] Глава I, §2, стр. 48-52.[ЗУМА] Глава I, §2, 3, стр. 14-20.[ИСС1] Глава 4, §1-6, стр. 127-184.7. Лекция k1-s1-07. Производная, касательная1.2.Производные и дифференциалы1.2.1.Уравнение касательной.Понятие, определение и уравнение касательной.1.2.2.Производная функции одной переменной.Определение производной функции, ее геометрический, физический и экономический смысл. Таблица производных элементарных функций.

Односторонние производные.  Теорема о связи существования и равенства односторонних производных и производной функции в точке.1.2.3.Вычисление производной.Правила вычисления производной  суммы, произведения и  частного от деления двух функций.Производная степенной и показательной функций.  Теорема о производной обратной функции и еегеометрическая интерпретация.  Теорема о производной сложной функции.8.

Лекция k1-s1-08. Производные старших порядков.1.2.4.Производные высших порядков.Понятие второй производной. Понятие и уравнение соприкасающейся параболы. Понятие и уравнение соприкасающейся окружности. Определение производной n-го порядка.  Формула Лейбницадля n-й производной произведения двух функций.1.2.5.Вычисление старших производных.Старшие производные степенной и показательной функций. Старшие производные логарифмическойфункции. Старшие производные тригонометрических функций. Старшие производные функций типаxe x , x 2 e x .

Рекуррентные методы.Читать:[МАВЗ] Глава IV, §1, стр. 65-74.[ЗУМА] Глава III, §1, стр. 89-100.Москва 2012-201310Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012[ИСС1] Глава 5, §1, стр. 189-192.9. Лекция k1-s1-09. Дифференциал.1.2.6.Дифференциал функции одной переменной.Определение дифференциала функции в точке.

Определение дифференцируемой функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Геометрический смысл дифференциала.  Теорема о непрерывности дифференцируемой функции в точке.1.2.7.Свойства первого дифференциала. Правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения и частного двух функций.Вычисление первого дифференциала сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.1.2.8.Дифференциалы высших порядков.Понятие дифференциала второго порядка. Понятие дифференциала n -го порядка. Дифференциалвторого порядка сложной функции.

Неинвариантность формы второго дифференциала.Читать:[МАВЗ] Глава IV, §2, 3, стр. 77-85.[ЗУМА] Глава III, §2, стр. 101-103.[ИСС1] Глава 5, §2-6, стр. 193-220.10. Лекция k1-s1-10. Неопределенный интеграл.1.2.9.Первообразная и неопределенный интеграл.Понятие первообразной функции одной переменной на промежутке.  Теорема о том, что любые двепервообразные для данной функции отличаются на константу. Неопределенный интеграл - совокупность всех первообразных заданной функции на заданном промежутке.  Основные свойства неопределенных интегралов.1.2.10.

Табличное интегрирование.Вычисление интегралов от простейших рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических функций.1.2.11. Методы интегрирования.Вычисление интегралов методом замены переменной. Интегрирование по частям. Двукратное интегрирование по частям.

Вычисление интегралов типа∫ba∫bae ax sin bx dx ,∫bae ax cos bx dx ,∫basin(ln x) dx ,cos(ln x) dx .Читать:[МАВЗ] Глава V, §1, 2, стр. 87-96.[ЗУМА] Часть 2, Глава I, §1, 2, стр. 174-181.[ИСС1] Глава 8, §1-3, стр. 291-327.11. Лекция k1-s1-11. Методы интегрирования.1.2.12. Интегрирование рациональных функций.Понятие о рациональной функции. Выделение целой и дробной частей. Деление многочленов столбиком. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Практическиеприемы нахождения коэффициентов разложения.Четыре вида простейших дробей и их интегрирование.Москва 2012-201311Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20121.2.13.