МатАн План лекций 2012-13 (Второй поток), страница 8

Оператор дифференцирования.Правила дифференцирования. Дифференциал суммы,  разности, произведения и частного двух функций.2.2.4.Касательная плоскость.Определение касательной плоскости. Теорема о существовании касательной плоскости к графику дифференцируемой функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости.Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных.[ИСС1] Глава 12, §4, стр. 469-485.4.Лекция k1-c2-04-ф24. Дифференцирование сложной функции.2.2.5.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.Понятие сложной функции.

Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.2.2.6.Градиент и производная по направлению.Понятие производной по направлению. Градиент. Направление градиента и направление линии равного уровня дифференцируемой функции в заданной точке. Геометрический смысл градиента функции в точке. Теорема о выражении производной по направлению дифференцируемой ФНП через ее градиент.Примеры не дифференцируемых функций, имеющих производную по любому направлению в точке( 0;0 ) :1) f ( x,=y)3x3 + y 3 , 2) f ( x, y ) = 3 x 2 y , 3) f ( x, y, z ) = 3 xyz , 4) f ( x, y, z ) =3x3 + y 3 + z 3 .2.2.7.Векторные функции нескольких переменныхПонятие векторной функции нескольких переменных.Дифференцирование сложных векторных функций.Векторно-матричная форма записи первого дифференциала.Отображения, задаваемые простейшими векторными функциями и их геометрическая интерпретация. Функции размерности 2 и 3 от двух и трех переменных.Понятия однозначного и однолистного отображения.Матрица Якоби и якобиан.

Геометрическая интерпретация якобиана.Читать:[МАВЗ] Глава X, §4, стр. 213-224.[ЗУМА] Глава III, §2, 3, стр. 291-302.[ИСС1] Глава 12, §4, стр. 469-485.5. Лекция k1-c2-05-м03. Старшие производные и дифференциалы.2.2.8.Производные и дифференциалы высших порядков.Частные производные высших порядков. Теорема о достаточных условиях равенства смешанных производных.2.2.9.Дифференциалы высших порядков.Дифференциал второго порядка.

Дифференциалы высших порядков.Оператор дифференцирования. Вычисление степени оператора дифференцирования. Формула Лейбница.2.2.10. Второй дифференциал сложной функции.Второй дифференциал функции независимых переменных. Второй дифференциал сложной функции.Москва 2012-201320Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012Неинвариантность формы дифференциала второго порядка.Векторно-матричная форма записи первого и второго дифференциалов ФНП. Матрица Гессе.[ИСС1] Глава 12, §5, стр. 485-504.6.

Лекция k1-c2-06-м05. Формула Тейлора.2.3.Формула Тейлора и локальный экстремум.2.3.1.Формула Тейлора–Пеано.Многочлен Тейлора. Остаточный член. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.2.3.2.Формула Тейлора–Лагранжа.Остаточный член в форме Лагранжа. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для выпуклой области.Методика оценки остаточного члена для функции с ограниченными производными.Геометрический смысл формулы Тейлора с остаточным членом первого порядка.Геометрический смысл формулы Тейлора с остаточным членом второго порядка.Читать:[МАВЗ] Глава X, §5, стр.

225-235.[ЗУМА] Глава III, §4, стр. 303-309.[ИСС1] Глава 12, §5, стр. 485-504.7. Лекция k1-c2-07-м10. Локальный экстремум.2.3.3.Локальный экстремум функции нескольких переменных.Понятие локального экстремума ФНП. Теорема о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой ФНП.Понятие квадратичной формы и ее матрицы. Понятие знакоопределенной квадратичной формы.Критерий Сильвестра. Теорема о достаточном условии экстремума ФНП.Исследование локального экстремума. Особенности графика и карты линий равного уровня дваждыдифференцируемой функции в окрестности точки локального экстремума. Выпуклые и строго выпуклые функции.

Экстремум выпуклой функции.Читать:[МАВЗ] Глава X, §6, стр. 236-242.[ЗУМА] Глава III, §8, стр. 336-351.[ИСС1] Глава 12, §6, стр. 504-514.8. Лекция k1-c2-08-м17. Неявные функции-1.2.4.Неявные функции.2.4.1.Неявные функции, определяемые одним уравнением.Понятие неявной функции. Теорема о существовании и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением. Теоремы о дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением, заданным вокрестности точки. Формула для производных неявной функции.Примеры: x 2 + y 2 =2 xy .1, x3 + y 3 =3 xy , ( x 2 + y 2 ) =22.4.2.Экстремум неявной функции.Экстремум неявной функции, определяемой одним уравнением.

Методика анализа экстремума неявной функции.Москва 2012-201321Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012Примеры: x 2 + y 2 =2 xy .1, x3 + y 3 =3 xy , ( x 2 + y 2 ) =2Читать:[МАВЗ] Глава XI, §1, стр.

243-256.[ЗУМА] Глава III, §5, стр. 310-319.[ИСС1] Глава 13, §1, стр. 609-619.9. Лекция k1-c2-09-м19. Неявные функции-2.2.4.3.Неявные функции, определяемые системой уравнений. Теоремы о дифференцируемой неявной функции, определяемой системой уравнений. Формула дляпроизводных неявной функции.

Дифференцирование неявных функций, определяемых системойуравнений.Вычисление старших производных неявной функции, определяемой системой уравнений. x2 + y 2 =r2, x2 + y 2 + z 2 =6,.Примеры:  yx+y+z=4,tg,=ϕ x2.4.4.Экстремум неявной функции, определяемой системой уравнений.Экстремум неявной функции, определяемой системой уравнений. Методика расчета точек возможного экстремума и проверка достаточных условий. x2 + y 2 + z 2 =6,Примеры: .4, x+ y+z =Читать:[МАВЗ] Глава XI, §1, стр.

243-256.[ЗУМА] Глава III, §5, стр. 310-319.[ИСС1] Глава 13, §2, стр. 619-626.2.4.5.Замена переменных.Замена переменных в дифференциальных выражениях (для разбора на семинаре).10. Лекция k1-c2-11-м24. Условный экстремум-1.2.5.Условный экстремум.2.5.1.Зависимые и независимые функции.Понятия зависимости функций и независимости функции. Линейная зависимость и зависимость общего вида. Функциональная матрица. Якобиан. Примеры. Теорема о зависимости функций. Теорема о независимости функций.2.5.2.Понятие условного экстремума.Понятие условного экстремума.Метод исключения переменных, сведение задачи об условном экстремуме к задаче о безусловномэкстремуме.Необходимое условие условного экстремума.2.5.3.Метод Лагранжа.Метод Лагранжа и его геометрическая интерпретация. Необходимые условия условного экстремума в форме Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума в форме Лагранжа (доказательство для одного условия с двумя переменными). Метод окаймленного гессиана для исследования достаточных условий.Москва 2012-201322Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012Читать:[МАВЗ] Глава XI, §3, стр.

261-269.[ЗУМА] Глава III, §8, стр. 326-350.[ИСС1] Глава 13, §4, стр. 632-638.11. Лекция k1-c2-11-м31. Условный экстремум-2.2.5.4.Метод Лагранжа с несколькими условиями связи.Метод Лагранжа и его геометрическая интерпретация. Необходимые условия условного экстремума в форме Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума в форме Лагранжа.Читать:[МАВЗ] Глава XI, §3, стр. 261-269.[ЗУМА] Глава III, §8, стр. 326-350.[ИСС1] Глава 13, §4, стр. 632-638.12.

Лекция k1-c2-12-а02. Длина кривой.2.6.Приложения определенного интеграла.2.6.1.Длина кривой.Понятие длины плоской кривой. Длина плоской кривой, заданной явным образом.Вычисление длины плоской кривой, заданной параметрически. Вычисление длины плоской кривой,заданной неявным образом.Физические приложения: центр масс и момент инерции.2.6.2.Площадь поверхности вращения.Понятие площади поверхности вращения.

Вычисление площади.Физические приложения: центр масс и момент инерции.[ИСС1] Глава 10, §1-3, стр. 391-422.13. Лекция k1-c2-13-а07. Площади и объемы.2.6.3.Площадь фигуры.Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры, заданной явным образом.Вычисление площади плоской фигуры, заданной параметрически.

Вычисление площади плоской фигуры, заданной неявным образом.2.6.4.Объем тела.Понятие объема. Вычисление объема тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, заданной явным образом. Вычисление объема тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, заданной параметрически. Вычисление объема тела вращения, полученного вращением плоскойфигуры, заданной неявным образом.Физические приложения: вычисление координат центра масс и момента инерции кривой, плоскойфигуры, тела вращения.Читать:[МАВЗ] Глава VIII, §5, стр. 167-171[ЗУМА] Часть 2, Глава II, §2, 3, стр. 246-265.[ИСС1] Глава 10, §1-3, стр.

391-422.2.6.5.Приближенное вычисление определенного интеграла.Методы приближенного вычисления определенного интеграла.Формулы  прямоугольников, трапеций, парабол.Москва 2012-201323Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012Оценка погрешности (для метода прямоугольников – с обоснованием).[ИСС1] Глава 11, §1-2, стр. 422-442.14.

Лекция k1-c2-14-а14. Кратные интегралы.2.7.Кратные интегралы.2.7.1.Двойной интеграл.Понятие двойного интеграла. Разбиение. Верхняя и нижняя суммы. Понятие потомка двух разбиений. Теорема о верхней и нижней сумме потомка. Теорема об ограниченности множества верхних инижних сумм. Верхний и нижний интегралы. Определение двойного интеграла. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции в прямоугольнике. Теоремаоб интегрируемости непрерывной функции.

Свойства двойного интеграла. Линейность, аддитивность. Интегрируемость модуля и произведения.2.7.2.Интеграл Римана.Выборка, интегральные суммы. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Лемма Дарбу.2.7.3.Вычисление двойного интеграла.Сведение двойного интеграла к повторному.Ортогональные координаты на плоскости.