МатАн План лекций 2012-13 (Второй поток), страница 6

Интегрирование иррациональных функций.Различные приемы интегрирования иррациональных функций. Универсальная подстановка, сведениек интегралу от рациональной функции.1.2.14. Интегрирование тригонометрических функций.Различные приемы интегрирования тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка, сведение к интегралу от рациональной функции.Читать:[МАВЗ] Глава V, §3, 4, стр. 91-96.[ЗУМА] Часть 2, Глава I, §3, 4, 5, стр.

182-208.[ИСС1] Глава 8, §1-3, стр. 291-327.12. Лекция k1-s1-12. Определенный интеграл.1.2.15. Понятие определенного интеграла.Понятие плоской фигуры. Описанные и вписанные многоугольники. Внешняя площадь, внутренняяплощадь. Площадь плоской фигуры. Определенный интеграл как реализация понятия площади плоских фигур определенного класса. Разбиение. Верхняя сумма, нижняя сумма. Верхний интеграл,нижний интеграл. Теоремы о точных гранях суммы и произведения. Теоремы об интегрируемостисуммы, произведения функций.1.2.16. Вычисление определенного интеграла.Формула Ньютона-Лейбница (пока без доказательства).

Дифференцирование по верхнему и нижнемупределу.1.2.17. Приложения определенного интеграла.Площадь плоской фигуры. Длина плоской кривой. Поверхность тела вращения. Объем тела вращения. Момент инерции.[ИСС1] Глава 9, §4-5, стр. 347-365.13. Лекция k1-s1-13. Числовые последовательности.1.3.Числовые последовательности.1.3.1.Предел последовательности.Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности. Определение предела последовательности.

 Ограниченность сходящейся последовательности. Определение бесконечно малой последовательности.  Взаимосвязь бесконечно малых и сходящихся последовательностей.  Арифметические операции с бесконечно малыми последовательностями. Определение бесконечно большой последовательности.

 Арифметические операции с бесконечно большими последовательностями.  Теоремы о взаимосвязи между бесконечно малыми ибесконечно большими последовательностями.1.3.2.Свойства сходящихся последовательностей. Арифметические операции, предельный переход в неравенствах. Понятие о неопределенностях0 ∞типа , , 0 ⋅ ∞ .

Другие типы неопределенностей, примеры. Исследование неопределенностей ме0 ∞тодом асимптотических формул. Вычисление пределов выражений, содержащих радикалы. Понятиеи определение монотонной последовательности.  Необходимое и достаточное условие сходимостимонотонной последовательности.Москва 2012-201312Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20121.3.3.Эталонные последовательности.Второй замечательный предел для последовательностей.

Число e . Вычисление пределов типаβn αlim 1 +  . Эталонные последовательности: n b , log a n , n β , b n , n ! , n n . Предел lim n b при β > 0 .n →∞n →∞ nβnlog nnbn!Предел lim βa при β > 0 , a > 1 . Предел lim n при b > 1 . Предел lim . Предел lim n .n→∞→∞nn→∞n →∞bn!nn1.3.4.Числовые ряды.Числовой ряд, общий член, частичная сумма, остаток. Сходящиеся числовые ряды.[ИСС1] Глава 3, §1-3, стр. 68-105.14. Лекция k1-s1-14.

Подпоследовательности и предельные точки.1.3.5.Подпоследовательности.Понятие подпоследовательности числовой последовательности.  Теорема Больцано-Вейерштрасса:из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.1.3.6.Предельные точки.Два эквивалентных определения предельной точки числовой последовательности.  Свойства множества всех предельных точек ограниченной последовательности.1.3.7.Верхний и нижний предел последовательности.Множество всех верхних граней, точная верхняя грань, верхний предел.  Корректность определения верхнего предела (с доказательством).

Верхний и нижний пределы неограниченных последовательностей.1.3.8.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.Фундаментальная последовательность. Ограниченность фундаментальной последовательности. Критерий  Коши сходимости числовых последовательностей.  Критерий Коши предела функции вточке.1.3.9.Предел по Гейне.Определение предела по Гейне (на основе понятия предела последовательности.

 Теорема об эквивалентности двух определений предела функции.Читать:[МАВЗ] Глава II, §1-5, стр. 16-33.[ЗУМА] Глава II, §2, стр. 67-70.[ИСС1] Глава 3, §3, стр. 92-105.15. Лекция k1-s1-15. Теоремы о непрерывных и дифференцируемыхфункциях.1.4.Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.1.4.1.Теоремы об ограниченности непрерывных функций. Теоремы о локальной ограниченности и об устойчивости знака непрерывной функции в точке. Ограниченность непрерывной на сегменте функции (первая теорема Вейерштрасса).1.4.2.Теоремы о корнях непрерывной функции. Теорема о существовании корня непрерывной функции, принимающей значения разных знаков наконцах сегмента.

 Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения f ( x) = 0 .Москва 2012-201313Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20121.4.3.Возрастание и убывание функции в точке.Возрастание и убывание функции в точке.  Достаточные условия возрастания функции в точке.Пример, показывающий, что положительность производной в точке не является необходимым условием возрастания функции в этой точке.1.4.4.Формула конечных приращений. Теорема Ролля и ее геометрическая интерпретация.

 Теорема Лагранжа, ее геометрический иэкономический смысл.  Следствия из теоремы Лагранжа: условие постоянства функции на промежутке, признак монотонности функции на промежутке. Исследование возрастания и убывания функции. Формула Коши.1.4.5.Итерационное решение нелинейных уравнений.Итерационный метод решения уравнения x = f ( x) .  Достаточное условие сходимости. Метод хорддля решения уравнения f ( x) = 0 .  Метод касательных для решения уравнения f ( x) = 0 .Читать:[МАВЗ] Глава VI, §1, 3, стр. 108-111, 116-121.[ЗУМА] Глава III, §3, стр.

110-113.[ИСС1] Глава 4, §6, стр. 167-184.[ИСС1] Глава 11, §1-2, стр. 422-442.1.4.6.Правило Лопиталя.0(теорема).0Правило Лопиталя для случая, когда x → +∞ (без доказательства).∞Правило Лопиталя для неопределенности типа(без доказательства).∞Вычисление пределов с помощью однократного применения правила Лопиталя.Вычисление пределов с помощью многократного применения правила Лопиталя.Читать:[МАВЗ] Глава VI, §4, стр.

122-125.[ЗУМА] Глава III, §3, стр. 113-117.[ИСС1] Глава 6, §5-6, стр. 234-245. Правило Лопиталя: раскрытие неопределенностей типа16. Лекция k1-s1-16. Формула Тейлора (Пеано).1.4.7.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Многочлен Тейлора.  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (теорема). ФормулаМаклорена. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций.1.4.8.Асимптотические формулы.Понятие асимптотической формулы.  Вывод и применение формулx3x2sin x =x − + o ( x 4 ) , cos x =−1+ o ( x3 ) ,3!2!3xxtg x =x + + o ( x 4 ) , n 1 + x =1 + + o ( x ) ,3n23x x2xx3xln x =x − + + o ( x ) , e =1 + + + o ( x 2 ) ,1! 2!2 311=1 + x + x 2 + o ( x 2 ) ,=1 − x + x 2 + o ( x 2 ) ,1− x1+ xМосква 2012-201314Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012x3 x 41245=1 − x + x + o ( x ) , arctg x =x − + + o ( x5 )23 51+ xи аналогичных для вычисления пределов.17.

Лекция k1-s1-17. Формула Тейлора (Лагранжа).1.4.9.Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Остаточный член в общей форме.1.4.10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член в форме Лагранжа. Методика оценки остаточного члена формулы Тейлора вформе Лагранжа. Вычисление наибольшего слагаемого многочлена Тейлора. Приближенное вычисление значения функции.

Вычисление сложных процентов с высокой точностью. Последовательλ n e−λность независимых испытаний. Интерпретация распределения Пуассона,pn=,n ≥ 0 .n!1.4.11. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши. Остаточный член в форме Коши. Применение для исследования остаточного члена.1.4.12. Приближенные вычисления.Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Использование первого дифференциала для приближенных вычислений. Использование второго дифференциала для приближенныхвычислений.Читать:[МАВЗ] Глава VI, §5, стр.