Шишкин. Линейная алгебра (лекции), страница 6

Пусть xk есть линейная комбинация остальных элементов порождающей системы. Тогда, во-первых, xk ∈ L(x1 , x2 , . . . , xk−1 ) и, во-вторых,любая линейная комбинация элементов x1 , x2 , . . . , xk сводится к некоторой линейнойкомбинации элементов x1 , x2 , . . . , xk−1 , т. е. L(x1 , x2 , . . . , xk ) ⊂ L(x1 , x2 , .

. . , xk−1 ). Сдругой стороны, по свойству 2 L(x1 , x2 , . . . , xk−1 ) ⊂ L(x1 , x2 , . . . , xk ). Таким образом,из этих двух включений имеем, что L(x1 , x2 , . . . , xk ) = (x1 , x2 , . . . , xk−1 ).П р и м е р ы.191) Линейная оболочка базисных элементов e1 , e2 , . . . , en линейного пространстваRn совпадает со всем линейным пространством Rn , т. е. L(e1 , e2 , . . .

, en ) = Rn .2) В пространстве V3 линейная оболочка пары неколлинеарных векторов ~a, ~b состоит из всех векторов, параллельных плоскости векторов ~a, ~b, т. е. L(~a, ~b) естьподпространство V2 пространства V3 .3) В линейном пространстве C[a,b] линейная оболочка функций 1, x, .

. . , xk естьмножество всех многочленов степени ≤ k.Свойство 4 (Размерность и базис линейной оболочки). Пусть среди порождающих элементов x1 , x2 , . . . , xk имеются p ≤ k линейно независимых элементов,например, x1 , x2 , . . . , xp , а остальные xp+1 , . . . , xk представляют собой линейныекомбинации данных p элементов. Тогдаа) L(x1 , x2 , . . . , xk ) = L(x1 , x2 , . . . , xp ),б) dim L(x1 , x2 , . . . , xk ) = p,в) (xi )p — базис линейной оболочки.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Утверждение а) следует из свойства 3. По условию элементы x1 , x2 , . . . , xp линейно независимы и по утверждению а) любой элемент линейной оболочки L(x1 , x2 , . . . , xk ) является линейной комбинацией указанных p элементов. Следовательно, эти p элементов образуют базис линейной оболочки, и ееразмерность по теореме 11 равна p.С л е д с т в и е. dim L(x1 , x2 , . . . , xk ) равняется максимальному числу линейнонезависимых элементов в порождающей системе элементов x1 , x2 , .

. . , xk .Рассмотрим одно из приложений понятия линейной оболочки.§9. Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Вычисление ранга матрицы.p mРассмотрим матрицу A = ||apk ||mn . Столбцы Ak = ||ak || , k = 1, n матрицы Aявляются элементами линейного пространства Tm . Пусть rang A = r и базиснымистолбцами являются первые r столбцов A1 , A2 , . . .

, Ar . Образуем линейную оболочкустолбцов матрицы A L(A1 , A2 , . . . , An ).Теорема 12 Размерность линейной оболочки столбцов матрицы A равна рангуматрицы A, т. е. dim L(A1 , A2 , . . . , An ) = rang A. Базисные столбцы матрицы Aявляются базисом линейной оболочки столбцов матрицы A.Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме о базисном миноре: 1) столбцы A1 , A2 , .

. . , Arлинейно независимы, 2) любой столбец матрицы A есть линейная комбинация базисных столбцов. Но тогда из свойства 4 линейной оболочки следует утверждениетеоремы.С л е д с т в и е 1. Если rang A = r, то любые r + 1 столбцов (если они есть)линейно зависимы.Утверждение очевидно, ибо в пространстве размерности r любые r + 1 элементовлинейно зависимы.С л е д с т в и е 2. Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов.

(Cм. следствие к свойству 4 линейной оболочки).С л е д с т в и е 3. Максимальное число линейно независимых столбцов равняется максимальному числу линейно независимых строк. (При операции транспонирования ранг матрицы не меняется).20Рассмотрим некоторые элементарные операции над столбцами (строками) матрицы, которые, меняя матрицу, не меняют ранга.

При доказательстве сохранения рангапри совершении этих операций основным инструментом будет теорема 12. Формулировки приведем только для столбцов, так как для строк они идентичны.o1 Перестановка столбцов. Переставим столбцы A1 и A2 . Тогда L(A1 , A2 , . . . , Ak ) =L(A2 , A1 , . . . , Ak ). Поэтому ранг не изменится.o2 Умножение любого столбца на число b 6= 0. Пусть первый столбец умноженна b. Тогда L(A1 b, A2 , . . . , Ak ) = L(A1 , A2 , . . . , Ak ). Действительно, если x ∈L(A1 b, A2 , . . . , Ak ), то x = (A1 b)c1 + Ap cp = A1 (bc1 ) + Ap cp ∈ L(A1 , A2 , . .

. , Ak ).Верно и обратное: если x ∈ L(A1 , A2 , . . . , Ak ), то x = Ap cp = (A1 b) · c1 /b + Ap cp ,где справа p = 2, n, т. е. x ∈ L(A1 b, A2 , . . . , Ak ). Поэтому ранг не изменится.o3 Прибавление к одному столбцу другого, умноженного на число b. Пусть к A1прибавлен столбец A2 b. Тогда L(A1 + A2 b, A2 , .

. . , Ak ) = L(A1 , . . . , An ). В самомделе, если x ∈ L(A1 + A2 b, A2 , . . . , Ak ), то x = (A1 + A2 b)c1 + A2 c2 + Ap cp =A1 c1 + A2 (bc1 + c2 ) + Ap cp = A1 c1 + A2 c̄2 + Ap cp ∈ L(A1 , A2 , . . . , Ak ). Аналогичнодоказывается, что если x ∈ L(A1 , A2 , .

. . , Ak ), то x ∈ L(A1 + A2 b, A2 , . . . , Ak ). Атогда из первого равенства следует, что ранг не меняется.o4 Вычеркивание нулевого столбца. Пусть A1 — нулевой столбец. Тогда по свойству 3 L(A1 , A2 , . . . , Ak ) = L(A2 , . . . , Ak ), что означает, что ранг не меняется.o5 Вычеркивание столбца, являющегося линейной комбинацией других столбцов.Ранг не меняется, что следует из свойства 3 линейной оболочки.ooОпираясь на элементарные операции 1 − 5 , сформулируем метод вычисленияранга матрицы.Если все элементы матрицы A равны нулю, то ранг матрицы A равен нулю.Если имеются элементы матрицы, отличные от нуля, тоШаг 1. а) Переставляя строки и столбцы, переведем один из них в левый верхнийугол, т.

е. на место элемента a11 .б) Далее комбинируя первую строку (первый столбец) с какой-либо другой (другим), сделаем элемент, стоящий на месте a11 , равным 1 или -1.в) Все элементы первой строки, кроме первого, сделаем равными нулю, вычитаяиз всех столбцов поочередно первый, умноженный на соответствующий множитель.В итоге получим:1 00 ... 00.. .. ..

.. .. ..... ... ... ... ... ... ...............Если все элементы в заштрихованной зоне равны нулю, то ранг матрицы A равен 1.Если же в этой зоне есть элементы, отличные от нуля, тоШаг 2. а) Переставляя строки и столбцы, поставим, один из них на место элементаa22 .б) Комбинируя вторую строку (второй столбец) с какойлибо другой (другим),сделаем элемент, стоящий на месте a22 , равным 1 или -1 (при этом ни в коем случаене трогать 1 столбец и первую строку!).21в) Все элементы второй строки, лежащие правеенулю.

В итоге получим:1 0 0 ... 00 0 1 0 ... 00.. .. .. ......... ... ... ...............элемента a22 , сделаем равнымиЕсли в заштрихованной зоне все элементы равны нулю, то rang A = 2. Если же вэтой зоне есть элементы, отличные от нуля, то все повторяем в полной аналогии спредыдущими двумя шагами, но уже в третьей строке и т. д.В итоге на шаге r приходим к матрице:10060 10... ...

...60 60 60.. .. ........ ... ...... 00... 00 ... ... ... ... 6 0 1 .. .. .. ... ... ... ...ранг которой равен r.П р и м е р. Вычислим ранг матрицы A (знак ∼ означает эквивалентность матрицыв смысле ранга).022∆O 1−3 −1 A=−20−44614Вынесем из 1, 3, 4 строк множитель 2 и -2: 0∼ 1 12∆O11  −3 −1 ∼02  37O10∆−3 101321  −1 ∼2  7O10∆−3 101320  2 ∼2  4O10 −3 1 .01 32∆Итак, ранг матрицы равен 2. Как найти базисный минор Mb исходной матрицы?Маркируем базисные столбцы и строки в последней матрице (O — первая строка ипервый столбец, ∆ — вторая строка и второй столбец). Следим за маркированными местами, проходя в обратном порядке все преобразования по вычислению рангаматрицы.

Затем вычеркиваем в исходной матрице маркированные строки и столбцы.На пересечении вычеркнутых столбцов и строк стоят элементы, образующие квадратную матрицу, определитель которой и есть искомый базисный минор исходнойматрицы, т. е. 0 2 Mb = . 1 −3 Докажем теперь две теоремы о ранге произведения матриц.Теорема 13 Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга каждого изсомножителей.22Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны матрицы A = ||apk ||nm и B = ||bpk ||ms . Тогдаp nC = AB = ||ck ||s . Докажем:1) rang C ≤ rang A. Так как по определению произведения матриц cpk = ape bek , тозафиксировав k и меняя p от 1 по n, пролучим:Ck = Ap bpk ,где Ck , k = 1, s — столбцы матрицы C, Ap , p = 1, m — столбцы матрицы A.

Потеореме 12 rang C = dim L(C1 , C2 , . . . , Cs ), а rang A = dim L(A1 , A2 , . . . , Am ). Таккак каждый столбец Ck есть линейная комбинация столбцов A1 , A2 , . . . , Am , тоL(C1 , C2 , . . . , Cs ) ⊂ L(A1 , A2 , . . . , Am ).Следовательно, dim L(C1 , C2 , . . . , Cs ) ≤ dim L(A1 , A2 , . . . , Am ), а значит rang C ≤rang A.2) rang C ≤ rang B. rang C = rang C T = rang(AB)T = (т.

4, гл. 4 курса аналитической геометрии) = rang(B T AT ) ≤ (по 1) теоремы 13) ≤ rang B T = rang B.Теорема 14 Если A — невырожденная n×n-матрица, а B — любая n×n-матрица,то rang AB = rang B.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим AB = C. По теореме 13 rang C ≤ rang B. Таккак det A 6= 0, то существует обратная матрица A−1 . Умножив равенство AB = Cслева на A−1 , получим: B = A−1 C. Тогда по теореме 13 rang B ≤ rang C. Из двухполученных неравенств следует, что rang B = rang C.§10. Изоморфизм линейных пространств.Оказывается, различные линейные пространства одной и той же размерности n салгебраической точки зрения тождественны. Поэтому, если в каком-либо конкретномn-мерном линейном пространстве доказана теорема, сформулированная в терминахлинейных операций, то эта теорема верна в любом другом линейном пространстветой же размерности n.

Выгода такого подхода очевидна. Поэтому обоснуем его.О п р е д е л е н и е. Соответствие Γ между элементами двух линейных пространств R и R0 (Γ : R → R0 ) называется взаимно однозначным, если при этомсоответствии1) каждому элементу из R отвечает один и только один элемент из R0 ,2) каждому элементу из R0 отвечает один и только один элемент из R.О п р е д е л е н и е. Два линейных пространства R и R0 называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие Γ так, что если элементам x, y из R отвечают соответственно элементы x0 , y 0 из R0 , то элементу x + y отвечает элемент x0 + y 0 ,а элементу bx из R (∀b ∈ K) отвечает элемент bx0 из R0 (иными словами, существует Γ : R → R0 такое, что Γ(x + y) = Γ(x) + Γ(y) и Γ(bx) = bΓ(x)), в этомслучае соответствие Γ называется изоморфизмом.Какие же пространства являются изоморфными? Ответ на этот вопрос дают следующие две теоремы.