Шишкин. Линейная алгебра (лекции), страница 2

е. результатоперации сложения не принадлежит множеству T . Операция умножения корректна относительно множеств N и T , а операции вычитания и деления не являютсякорректными относительно этих множеств.О п р е д е л е н и е. Числовым полем K называется такое множество K чисел,на котором корректны все все четыре операции.Иными словами, числовое поле K есть такое множество K чисел, на которомоперации сложения, вычитания, умножения и деления однозначно выполнимы и∀x, y ∈ K a) x + y ∈ K, б) x − y ∈ K, в) x · y ∈ K, г) x/y ∈ K(y 6= 0).Очевидно, что множество целых чисел не является числовым полем.

А множествовсех рациональных чисел и множество K являются числовыми полями.§3. Линейная зависимость столбцов и строк.О п р е д е л е н и е. Произвольная система чисел apk из поля K, расположеннаяв виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется4m × n-матрицей или матрицей размеров m × n и обозначается одним из следующих символов:a11a21...a12a22...amam21. . . a1n. . . a2n = ||apk ||m.. ..n = A.. . .

. . amnЗ а м е ч а н и е. Иногда далее нам будет удобнее вместо верхнего и нижнего индексов использовать только нижние. Договоримся о правиле соответствия этих двухзаписей:1-я запись2-я записьверхний индекс первый индекснижний индекс второй индекст. е. ||apk ||mn = ||apk ||m,n .Как и в курсе аналитической геометрии будем пользоваться правилом сокращенного суммирования: всякий раз, когда в каком-либо выражении встречаются дваодинаковых индекса, верхний и нижний, то по этому индексу будет предполагатьсясуммирование, т. е. запись ak xk , k = s, n, (или, что то же самое, xk ak ) означаетnXak x k .k=sОграничимся рассмотрением матриц-столбцов, ибо все, что будет верно для столбцов, останется верным и для строк.

Операции сложения столбцов и операция умножения столбца на число введены нами в гл. 4 (Алгебра матриц) курса аналитическойгеометрии.О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что один из столбцов Ak = ||apk ||n , k =1, m, например, Am представляет собой линейную комбинацию остальных столбцов, если найдутся такие числа x1 , x2 , . . . , xm−1 из поля K, чтоAm = Ak xk , k = 1, m − 1.(1)О п р е д е л е н и е.

Столбцы A1 , A2 , . . . , Am называются линейно зависимыми,если найдутся такие числа c1 , c2 , . . . , cm из поля K, не все равные нулю, чтоAk ck = θ.(2)Теорема 1 Для того чтобы столбцы A1 , A2 , . . . , Am были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы один из этих столбцов представлял собой линейную комбинацию остальных.Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть столбцы линейно зависимы, т. е. найдутся такие числа c1 , c2 , . . . , cm , не все равные нулю, что имеет место(2).

Ради определенности предположим, что cm 6= 0. Тогда, умножив равенство (2)на −1/cm и введя обозначение xk = −ck /cm , получим:xk Ak − Am = θ.5(3)Прибавим к обеим частям равенства (3) столбец Am . Так как Am + θ = Am , аAm + (−1)Am = θ, то приходим к равенству (1), т. е. столбец Am является линейнойкомбинацией остальных столбцов.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть один из столбцов, например, Am есть линейная комбинация остальных столбцов, т. е. имеем равенство (1), которое равносильно равенству (3). Поскольку из чисел x1 , x2 , .

. . , xm−1 , −1 одно заведомо не равно нулю, торавенство (3) говорит о линейной зависимости рассматриваемых столбцов. Теоремадоказана.Равенство (2) можно записать в матричной форме, если через e обозначитьматрицу-строку, состоящую из столбцов A1 , A2 , .

. . , Am , т. е. e = ||Ak ||m , а черезC = ||ck ||m — матрицу-столбец, состоящую из чисел c1 , c2 , . . . , cm . Тогда Ak ck = eC.Следовательно, формула (2) примет вид:eC = θ(4)О п р е д е л е н и е. Столбцы A1 , A2 , . . . , Am называются линейно независимыми, если равенство (4) выполняется тогда и только тогда, когда C = θ, т.

е.нулевой столбец.Теорема 2 Если столбцы A1 , A2 , . . . , Am линейно независимы и имеет место равенство eB = eC, то B = C.oД о к а з а т е л ь с т в о. Из свойства 3 операции сложения матриц из eB = eCoследует, что eB − eC = θ. Из свойства 2 умножения матриц следует: e(B − C) = θ.По определению линейной независимости это равенство имеет место тогда и толькотогда, когда B − C = θ, т. е.

B = C. Что и требовалось доказать.§4. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.Пусть дана матрица A = ||apk ||mn . Фиксируем в ней некоторое число r столбцови такое же число строк. Элементы, стоящие на пересечении выделенных столбцови строк образуют матрицу r-порядка. Ее определитель называется минором r-го порядка матрицы A. Заметим, что минор элемента определителя матрицы A — частныйслучай минора r-го порядка этой матрицы, а именно: 1) матрица A — квадратная, 2)r = n − 1.О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы A называется натуральное число r, еслиу матрицы A есть минор r-го порядка, отличный от нуля, а все миноры r + 1-гопорядка равны нулю, и обозначается символом rang A.

Минор r-го порядка, неравный нулю, называется базисным минором матрицы A и обозначается символомMb .З а м е ч а н и е 1. Если у матрицы A хотя бы один элемент apk 6= 0, то заведомоrang A ≥ 1. Если все apk = 0, то считается, что rang A = 0.З а м е ч а н и е 2. Если у n×n-матрицы A отличен от нуля минор порядка n, т.

е.det A 6= 0, то его назовем базисным минором, а рангом — число n, хотя у матрицыA нет минора n + 1-го порядка.З а м е ч а н и е 3. У матрицы A может быть несколько базисных миноров, но всеони имеют один и тот же порядок r = rang A.П р и м е р. Матрица A = ||ap bk ||nn имеет ранг, равный единице, так как все миноры порядка ≥ 2 равны нулю (если найдутся такие p и k, для которых ap bk 6= 0).О п р е д е л е н и е. Столбцы (строки) матрицы A, на пересечении которыхнаходятся элементы базисного минора, называются базисными столбцами (строками).6Теорема 3 (О базисном миноре) Базисные столбцы матрицы A линейно независимы.

Любой столбец матрицы A представляет собой линейную комбинацию еебазисных столбцов, причем такое представление единственно.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Докажем вначале линейную независимость базисныхстолбцов. Рассмотрим базисный минор матрицы A. Положим, для определенности,что базисный минор расположен в первых r строках и в первых r столбцах матрицыA, т.

е. Mb = det||apk ||rr 6= 0. Такое предположение не является ограничением, ибо, если бы это было не так, то, переставляя строки и столбцы, всегда можно расположитьбазисные строки и столбцы в первых r строках и столбцах, а затем перенумероватьстроки и столбцы. Докажем 1) методом от противного, т. е. положим, что базисныестолбцы линейно зависимы.

Тогда, согласно теореме 1, один из базисных столбцов,например, r-ый представляет собой линейную комбинацию остальных. Вычитая этулинейную комбинацию из элементов r-го столбца, мы, согласно свойству 7, не изменим величину определителя Mb , но в результате r-ый столбец будет состоять изнулей. По свойству 6 этот определитель равен нулю, т. е. Mb = 0. Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы.2) Пусть e — любое парное число от 1 по n, а k — любое целое число от 1 до m.Рассмотрим определитель (r + 1) - го порядка:D = a11...ar1ak1a12...ar2ak2............a1r...arrakra1e...areakeМогут представиться три случая:а) e ≤ r, тогда D = 0, ибо определитель имеет два одинаковых столбца;б) k ≤ r: D = 0, ибо определитель имеет две одинаковых строки;в) e > r, k > r : D = 0, ибо D — минор (r + 1) - го порядка.Итак, D = 0 при любых значениях k, e.

Разложим определитель D по элементампоследней строки (формула 5∗∗ ):rXakp Akp + ake Ake = 0.p=1Заметим, что, во-первых, алгебраические дополнения эдементов k - ой строки совсемне зависят от элементов этой строки, что следует из определения алгебраическогодополнения, т. е. Ak1 , Ak2 , . . . , Akr , Ake одни и те же для всех k = 1, m, и, во-вторых,Ake 6= 0, так как Ake = Mb . Поделим последнее равенство на Ake и перенесем всеслагаемые, кроме последнего, в правую часть. Вводя обозначение cp = −Akp /Ake ,p = 1, r, получим: ake = akp cp , где p = 1, r, k = 1, m, или в матричной форме:||ake ||m = ||akp ||m cp ,где p = 1, r, т.