Шишкин. Линейная алгебра (лекции)

СодержаниеГл. 1. Основные понятия.§1. Что такое линейная алгебра? . . . . . . . . .§2. Числовые поля. . . . . . . . . . . . . . . . .§3. Линейная зависимость столбцов и строк. . .§4. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.....................................................33346Гл. 2. Линейные пространства.§1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . .

. . . . . . .§2. Некоторые простейшие свойства линейных пространств. . . . . . .§3. Линейная зависимость элементов линейного пространства. . . . .§4. Базис и координаты элементов линейного пространства. . . . . . .§5. Размерность линейного пространства. . . . . . . . . . . . . .

. . . .§6. Преобразование базиса и координат элементов линейного пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§7. Подпространства линейного пространства. . . . . . . . . . . . . . .§8. Линейные оболочки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§9.

Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Вычисление ранга матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§10. Изоморфизм линейных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . .2023Гл. 3. Система линейных уравнений.§1. Критерий совместности общей линейной системы уравнений. . . .§2. Однородные линейные системы уравнений. . . . . . . . . . . . . . .§3.

Общее решение неоднородной линейной системы уравнений. . . .25252527Гл. 4. Евклидово пространство.§1. Определение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2. Основные метрические понятия в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§3. Ортогональность элементов в евклидовом пространстве.Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. . . . . . . . . .§4. Разложение евклидова пространства на прямую сумму его подпространств. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5. Ортогональная матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§6. Общий вид линейного функционала. . . . . . . . . . . . . . . . . .§7. Изоморфизм евклидовых пространств. . . . . . . . . . . . . . . . .2929Гл.

5. Линейные операторы в линейном конечномерном пространстве.§1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2. Матрица линейного оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3. Связь матриц оператора при переходе от одного базиса к другому.§4. Действия над линейными операторами и соответствующие действия над матрицами. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.§6. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор в конечномерном евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404040421101012131516171819303132363838424552Гл. 6. Квадратичные формы.§1. Общие понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .§2. Изменение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3. Матод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .§4. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованиемк каноническому виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5. Билинейные формы. Их связь с квадратичными формами. . . . . .§6. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническомувиду. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§7. Закон инерции квадратичной формы. . . . . . . . . . . . . . . . . .§8. Классификация квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . .§9. Численные методы решения систем линейных уравнений. . . . . .п. 1. Итерационный метод Гаусса-Зейделя. . . . . . . . . . . . .п. 2. Метод Зейделя. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .п. 3. Метод исключения (Гаусса). . . . . . . . . . . . . . . . . .65676870707071Литература.73Заключение.742575757596163Гл. 1. Основные понятия.§1. Что такое линейная алгебра?Вы уже знакомы с элементарной алгеброй чисел, с векторной алгеброй и алгеброй матриц. А теперь приступаем к изучению линейной алгебры. Что такое алгебра?Алгебра — раздел математики, исследующий операции, аналогичные сложению, вычитанию, умножению и делению, и выполняемые не только над числами, но и наддругими математическими объектами, например, многочленами, векторами, матрицами, операторами и т. д., т. е. над объектами самой различной природы.

Современнуюалгебру математики рассматривают как учение об операциях над любыми математическими объектами самой различной природы, как учение, формирующее общиепонятия и методы для всей математики. В центре внимания алгебры оказываются свойства операций, а не объекты, над которыми производятся операции.

Однимиз разделов алгебры является линейная алгебра. Какими проблемами занимаетсялинейная алгебра?В школе вы складывали действительные числа по одному правилу, а вектора —по другому правилу. В алгебре матриц матрицы складываются по третьему правилу. На первый взгляд кроме общего названия в этих трех операциях нет ничегообщего. Но если мы рассмотрим внимательнее операцию сложения в применении кразличным типам объектов, то увидим, что эти операции обладают многими общимисвойствами. Например,для любых действительных чисел a, b: a + b = b + a;для любых матриц A, B ∈ Amn : A + B = B + A;~для любых векторов ~a, b : ~a + ~b = ~b + ~a, т. е.

выполняется переместительное свойство. Можно привести и другие примеры общих свойств этой операции. Разглядетьэти общие свойства операции нам порою мешает конкретная природа объектов рассматриваемых совокупностей. Соблазнительно и следующее соображение: знаниеобщих свойств операции позволит избавить от нудных и однообразных повторенийпри переходе от исследования одной совокупности к другой.

Выход — рассмотретьсовокупность объектов лишенных конкретной природы. Изучить на них свойстваопераций. А затем применять уже готовые результаты у объектам любой, но ужеконкретной природы. Хотим — к числам, хотим — векторам, а можно и к матрицами т. д., ибо различных алгебр (помимо трех выше перечисленных) в приложенияхсколько угодно много. Вот прежде всего чем занимается линейная алгебра.Итак, линейная алгебра является наиболее широко используемым аппаратом длявсех разделов чистой и прикладной математики — от теории алгебраических чиселдо квантовой механики.

Логическая структура линейной алгебры проста и основывается на небольшом числе удобных в обращении понятий и аксиом. Тем не менее исегодня линейная алгебра, вследствие абстрактного характера ее основных понятий,сохраняет за собой репутацию сложной науки. Ее изучение потребует от вас гораздобольше усилий, чем аналитическая геометрия и даже математический анализ.§2.

Числовые поля.Главными объектами изучения далее будут матрицы, линейные пространства имногочлены от нескольких переменных. В определении каждого из них участвуетнекоторое множество чисел, которое обозначим символом K. Выбор K зависит отрешаемой задачи и научной дисциплины. Например, с алгебраической точки зрениярезультаты получают наиболее законченную форму, если в качестве K выбрать мно3жество всех комплексных чисел. Напротив - в геометрии и механике обычно рассматриваются действительные числа, а в теории чисел в качестве K естественно братьмножество рациональных чисел и даже множество лишь целых чисел. Поэтому, чтобы сделать результаты применимыми к более широкому кругу задач, целесообразнозаранее не фиксировать, какое именно индивидуальное множество понимается подK.

Так поступим и мы, но исключим из рассмотрения комплексные числа, хотявсе последующие построения справедливы и для K, содержащего комплексные числа. Это ограничение делается исключительно с целью сократить объем излагаемогоматериала. Таким образом, в нашем курсе будут рассматриваться различные множества действительных чисел, над которыми совершаются четыре операции, именуемыесложением, вычитанием, умножением, и делением, понимаемые всюду далее в смысле элементарной алгебры, т. е. алгебры, которую вы изучали в школе. При этомв четвертой операции делитель всегда берется отличным от нуля. Это требованиебудем считать выполненным всюду ниже.

Пусть K0 — множество всех действительных чисел, а поскольку далее будут использоваться только действительные числа,то договоримся их называть просто числами. Перечисленные выше четыре операции на множестве K0 обладают следующими свойствами: 1) выполнимость операцийдля любых чисел из K0 , 2) однозначность операций, 3) принадлежность результатавыполнения операции к числам того же множества K0 .Далеко не все известные вам операции обладают совокупностью таких свойств.Например, выполнимо вычисление логарифма не на всем множестве K0 , а толькодля положительных чисел.

Извлечение квадратного корня выполнимо на множествеположительных чисел, но неоднозначно. Однако даже если операция однозначновыполнима для всех чисел из рассматриваемого множества, результат ее выполненияможет не быть числом заданного множества. Так операция деления на множествецелых чисел однозначно выполнима для любых двух чисел из этого множества, норезультат ее выполнения не обязательно будет целым числом. Итак, мы пришли кочень важному в дальнейшем понятию.О п р е д е л е н и е. Операция называется корректной относительно некоторого множества B чисел, если всякой паре чисел из B эта операция ставит всоответствие однозначно определенное число из того же множества B.Например, операция сложения корректна относительно множества N натуральных чисел, так как сумма любых двух натуральных чисел есть натуральное число.Но эта же операция не является корректной относительно множества T всех нечетных чисел, ибо сумма любых двух нечетных чисел — четное число, т.